一般化線形モデル

一般化線形モデル (いっぱんかせんけいモデル、英: Generalized linear model、GLM)は、残差を任意の分布とした線形モデル。似たものとして一般線形モデルがあるが、これは残差が多変量正規分布に従うモデル。一般化線形モデルには線形回帰、ポアソン回帰、ロジスティック回帰などが含まれる。1972年にネルダーとウェダーバーンによって提唱された。

概要

確率変数 $Y$  が指数型分布族である、つまり確率密度関数 ${\displaystyle f($y)}   は正準 (canonical) パラメーター $\theta$ , 分散 (dispersion) パラメーター $\phi$  とスカラー関数 $a(\theta )$ , $c(y,\,\theta )$  を用いて指数型


$f(y;\theta ,\phi )=\exp \left\{{\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )\right\}$ 


で表すことができるものとする。

一般化線形モデルでは、指数型分布族の正準パラメーター $\theta$  について、リンク関数 (link function) と呼ばれる滑らかな関数 $g(\theta )$  と、別の確率変数 $\mathbf {X}$  の実現値 $\mathbf {x}$  とを用いて、$g(\theta )=\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}$  と表すことができるものとする。

一般化線型モデルは下記の3つの要素から構成される。

1. 指数型分布族の確率分布

2. 線形予測子 (linear predictor) $\eta =\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\beta }}$

3. リンク関数 (link function) $g$ such that $g(\theta )=\eta$

指数分布族の性質

下記のように尤度関数を定める。


$L\equiv \log {f(y;\theta ,\phi )}={\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )$ 


このとき、下記等式が成立する。


$E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)=0,\;E\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial \theta ^{2}}}\right)=-E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)^{2}$ 


この等式を用いて計算すると、確率変数 $Y$  の平均は $a'(\theta )$ 、分散は $\phi \,a''(\theta )$  であることが分かる。

下記の他、多くの確率分布が指数分布族に分類される。

• 正規分布
• ベルヌーイ分布
• ポアソン分布
• 二項分布
• ガウス分布

実例

正規分布に従うモデル

既知の値 $\sigma ^{2}$  を用いて $a(\theta )=\theta ^{2}/2$ , $\phi =\sigma ^{2}$ , $c(y,\,\phi )=-\left(y^{2}/\sigma ^{2}+\log {2\pi \sigma ^{2}}\right)/2$  と表されるとき、$f(y;\theta )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left(-{\frac {(y-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$  は平均 $\theta$ , 分散 $\sigma ^{2}$  の正規分布に相当する。

リンク関数として $g(\theta )=\theta$  (正準リンク<canonical link>とよぶ) を取るとき、これは、正規線型モデル (通常の線型回帰) に相当する。平均 $\theta$  は $\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}$  で与えられる。

ベルヌーイ分布に従うモデル

$p=e^{\theta }/(1+e^{\theta })$  を用いて $a(\theta )=-\log {(1-p)}$ , $\phi =1$ , $c=0$  と表されるとき、$f(y;\theta )=p^{y}(1-p)^{1-y}$  は生起確率 $p$  のベルヌーイ分布に相当する。

リンク関数として $g(\theta )=\theta$  を取るとき、これはロジスティック回帰モデル (logistic regression model) に相当する。$Y=1,0$  の確率は、それぞれ、


$P(Y=1\mid \mathbf {x} )={\frac {\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}$ 



$P(Y=0\mid \mathbf {x} )={\frac {1}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}$ 


で与えられる。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\psi ^{-1}($p)}   (ただし、$\psi$  は標準正規分布の累積分布関数) を取るとき、これはプロビット回帰モデルに相当する。$p=\psi (\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})$ となる。

パラメーターの決定には、ニュートン法を用いた最尤法などがある。

参考文献

• McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). Generalized Linear Models, Second Edition. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 0-412-31760-5 
• Henrik Madsen and Poul Thyregod (2011). Introduction to General and Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-9155-7 
• Julia でデータサイエンス 一般化線形モデルにおける各種診断プロットの描画法の Julia コード

関連項目

• 一般線形モデル
• 混合モデル
• 一般化線形混合モデル