乗法的関数

数論における乗法的関数︵じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function︶とは、正の整数 nの数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と bが互いに素であるならば常に f(ab) = f(a) f(b) が成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と bに対しても、f(1) = 1、f(ab) = f(a) f(b) が成り立つ時、完全乗法的関数︵英語: completely multiplicative function︶と呼ぶ^[1]。

例

gcd(n,k) : nとkの最大公約数（k を固定して、n の関数とみなした場合）
任意の整数 k に対する $n^{k}$
メビウス関数: $\mu (n)$
- $\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r}&{\text{(if }}n{\text{ is square-free and a product of distinct }}r{\text{ prime numbers)}}\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}$
約数関数: n の約数の個数を表す $d(n)$
- $d(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1$
k乗約数和関数: $\sigma _{k}(n)$
- $\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^{k}$
n の正の奇数の約数の個数を表す $\tau _{o}(n)$
- $\tau _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1$
n の正の奇数の約数の和を表す $\sigma _{o}(n)$
- $\sigma _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d$
オイラー関数: $\varphi (n)$
- $\varphi (n)=\#\{k\mid 1\leq k\leq n,\ (k,n)=1\}$
ディリクレ指標: $\chi (n)$
リウヴィルのラムダ関数: $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ （ただし、 $\Omega (n)$ はn の素因数の重複も含めた総数）
ラマヌジャンの和関数:

$c_{q}(n)=\!\!\sum _{1\leq h\leq q,\ (h,q)=1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!e^{2\pi ihn/q}$

ラマヌジャンの τ 関数: $\tau (n)$
- $\tau (n)$ は、 $q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}$ の n 次の係数
任意の正整数 k に対する、 $k^{\omega (n)}$ （ただし、 $\omega (n)$ はn の異なる素因数の総数）