この項目では、テンソルについて説明しています。一般の項数が2の積については「二項演算 」をご覧ください。
多重線型代数学 における二項積 (にこうせき、英 : dyadic )あるいは二項テンソル (dyadic tensor ) は、二つのベクトルのある種の積として得られる二階テンソル である。二項積はしばしば二つのベクトルを併置することで表され、しかしその振舞いは行列 に対応する法則に従う。二項積に関する用語や概念は今日では比較的時代遅れのものであるが、連続体力学 や電磁気学 などの物理学において引き続き用例がある。
二項積の記法を確立した最初の人はジョサイア・ウィラード・ギブス で1884年の事である。
(本項では、大文字太字は二項積、小文字太字はベクトルを表すものとする。別な表記法として二項積およびベクトルのそれぞれに二重および一重の上付きまたは下付きのバーを付けるものがある。)
二 項 積 テ ン ソ ル 、 単 純 二 項 積 あ る い は 単 に 二 項 積 ( d y a d ; ダ イ ア ド ) は 二 つ の ︵ 一 般 に は 複 素 係 数 の ︶ ベ ク ト ル に 二 項 積 を 施 し た 結 果 と し て 得 ら れ る 二 次 の 二 階 テ ン ソ ル で あ る 。 一 般 に 二 次 の テ ン ソ ル を 総 称 し て 二 項 積 ( d y a d i c ) と 呼 ぶ 。
同 じ 積 を 表 す の に い く つ か 用 語 法 と 記 法 が 存 在 す る :
二 項 積 ( d y a d i c p r o d u c t )
ベ ク ト ル a , b の 二 項 積 は こ れ ら を 併 置 し た ab で 表 さ れ る 。
外 積 ︵ 直 積 ︶ ( o u t e r p r o d u c t )
列 ベ ク ト ル a , b の 外 積 は a ⊗ b あ る い は ab ⊤ で 表 さ れ る ︵ " ⊤ " は 転 置 で あ る ︶ 。
テ ン ソ ル 積 ( t e n s o r p r o d u c t )
ベ ク ト ル a , b の テ ン ソ ル 積 は a ⊗ b で 表 さ れ る 。
本 項 で 扱 う 文 脈 に お い て こ れ ら は 互 い に 同 じ も の を 定 め る 同 義 語 で あ る が 、 テ ン ソ ル 積 は よ り 一 般 の 対 象 に 対 し て よ り 抽 象 的 な 意 味 で も 用 い ら れ る こ と に 注 意 す べ き で あ る 。 ま た ﹁ 外 積 ﹂ ( o u t e r p r o d u c t ) は 全 く 別 の 概 念 で あ る 交 叉 積 や よ り 抽 象 的 な 楔 積 に 対 し て も 用 い ら れ る 。
こ れ ら の 語 法 の 等 価 性 を 見 る た め に 、 三 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド 空 間 を 例 に 取 ろ う 。 i , j , k ︵ あ る い は e 1 , e 2 , e 3 ︶ を 基 本 ベ ク ト ル と し て 、 二 つ の ベ ク ト ル
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
,
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ,}
b
=
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }
を 考 え る 。 a , b の 二 項 積 は ﹁ 九 元 数 の 形 ﹂ ( n o n i o n f o r m ) と 呼 ば れ る 和
a
b
=
a
1
b
1
i
i
+
a
1
b
2
i
j
+
a
1
b
3
i
k
+
a
2
b
1
j
i
+
a
2
b
2
j
j
+
a
2
b
3
j
k
+
a
3
b
1
k
i
+
a
3
b
2
k
j
+
a
3
b
3
k
k
{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathbf {ab} =&&a_{1}b_{1}&\;\mathbf {ii} &{}+a_{1}b_{2}&\;\mathbf {ij} &{}+a_{1}b_{3}&\;\mathbf {ik} \\&&{}+a_{2}b_{1}&\;\mathbf {ji} &{}+a_{2}b_{2}&\;\mathbf {jj} &{}+a_{2}b_{3}&\;\mathbf {jk} \\&&{}+a_{3}b_{1}&\,\mathbf {ki} &{}+a_{3}b_{2}&\,\mathbf {kj} &{}+a_{3}b_{3}&\,\mathbf {kk} \end{alignedat}}}
や 、 列 ベ ク ト ル や 行 ベ ク ト ル の ︵ ベ ク ト ル を 成 分 と す る よ う な ︶ 拡 張 を 考 え る こ と に よ り 3 × 3 行 列
a
b
≡
(
a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
2
b
1
a
2
b
2
a
2
b
3
a
3
b
1
a
3
b
2
a
3
b
3
)
=
(
a
1
a
2
a
3
)
(
b
1
b
2
b
3
)
≡
a
⊗
b
≡
a
b
⊤
{\displaystyle \mathbf {ab} \equiv {\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}\equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\top }}
で 表 現 す る こ と が で き る ︵ こ れ が a , b の テ ン ソ ル 積 の 結 果 と 同 じ で あ る こ と に 注 意 せ よ ︶ 。
単 純 二 項 積 ( d y a d ) は 上 記 の 和 の 項 あ る い は 行 列 の 成 分 を 言 う 。 つ ま り 基 底 ベ ク ト ル の 併 置 に 係 数 を か け た も の で あ る 。
基 本 ベ ク ト ル i , j , k が
i
=
e
1
=
(
1
0
0
)
,
j
=
e
2
=
(
0
1
0
)
,
k
=
e
3
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} =\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} =\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}
で 表 さ れ る ︵ 転 置 を と る 流 儀 も あ る ︶ の と 同 様 に 、 基 本 二 項 積 テ ン ソ ル は
i
i
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
…
j
i
=
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
,
…
j
k
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
,
…
{\displaystyle \mathbf {ii} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots \mathbf {ji} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots \mathbf {jk} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots }
の よ う な 表 現 を 持 つ 。 例 え ば :
A
=
2
i
j
+
3
2
j
i
−
8
π
j
k
+
2
2
3
k
k
=
2
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
+
3
2
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
−
8
π
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
+
2
2
3
(
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
=
(
0
2
0
3
/
2
0
−
8
π
0
0
2
2
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\sqrt {3}}/2&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
3 - 個 よ り 少 な い 数 の 単 純 二 項 積 の 和 に 簡 約 す る こ と の で き な い 二 項 積 は 完 全 ( c o m p l e t e ) で あ る と 言 う 。 こ の と き 、 成 分 ベ ク ト ル は 平 面 的 で な い ( n o n - c o p l a n a r ) [ 疑 問 点 – ノ ー ト ] s e e C h e n ( 1 9 8 3 ) 。
三次元ベクトルの二項積の分類
行列式
余因子行列
階数
零階
= 0
= 0
rank 0 : 零行列
一階 (線型)
= 0
= 0
rank 1 : 少なくとも一つの成分が 0 でなく、ひとつの単純二項積で書ける
二階 (平面的)
= 0
≠ 0: 一つの単純二項積で書ける
rank 2 : 少なくとも一つ 2 × 2 小行列式が 0 でない
三階 (完全)
≠ 0
≠ 0
rank 3 : 行列式が 0 でない
三 次 元 の 場 合 を 容 易 に N - 次 元 に 拡 張 で き る 。 標 準 基 底 e i ( i = 1 , 2 , 3 , … , N ) で 表 し た 二 つ の ベ ク ト ル
a
=
∑
i
=
1
N
a
i
e
i
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
a
N
e
N
{\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots a_{N}\mathbf {e} _{N}}
b
=
∑
j
=
1
N
b
j
e
j
=
b
1
e
1
+
b
2
e
2
+
⋯
b
N
e
N
{\displaystyle \mathbf {b} =\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots b_{N}\mathbf {e} _{N}}
に 対 し て 、 こ れ ら の 二 項 積 ( d y a d i c p r o d u c t ) は 代 数 的 な 和
A
=
a
b
=
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
N
a
i
b
j
e
i
e
j
.
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}{\mathbf {e} }_{i}\mathbf {e} _{j}.}
で あ り 、 行 列 の 形 に 書 け ば
(
a
1
a
2
⋮
a
N
)
(
b
1
b
2
⋯
b
N
)
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
⋯
a
1
b
N
a
2
b
1
a
2
b
2
⋯
a
2
b
N
⋮
⋮
⋱
⋮
a
N
b
1
a
N
b
2
⋯
a
N
b
N
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}}
と な る 。 ︵ 二 次 テ ン ソ ル 冪 ∧ 2 ( V ) の 元 と い う 意 味 で の ︶ 一 般 の 二 項 積 テ ン ソ ル ( d y a d i c ) A は 二 項 積 多 項 式 ( d y a d i c p o l y n o m i a l ) と も 呼 ば れ 、 複 数 の ベ ク ト ル a i , b j の 単 純 二 項 積 の 線 型 和
A
=
∑
i
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
+
⋯
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\dotsb }
で あ る 。 次 元 と 同 じ 数 N - 個 よ り 少 な い 数 の 単 純 二 項 積 の 和 に 簡 約 す る こ と の で き な い 二 項 積 は 完 全 ( c o m p l e t e ) で あ る と 言 う 。
二項積の定義から直接に以下の等式が成り立つことが分かる[1]
スカラー倍 と両立する:
(
α
a
)
b
=
a
(
α
b
)
=
α
(
a
b
)
{\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}
.
(α は任意のスカラー)ベクトルの加法 に対して分配的 :
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
,
{\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {ab} +\mathbf {ac} ,}
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
.
{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {ac} +\mathbf {bc} .}
ベクトル同士の演算に基づいて、(結果がまた二項積となるように)ベクトルと二項積の間に四種類の積を構成できる。
左乗法
右乗法
ドット積 (点乗積 )
c
⋅
(
a
b
)
=
(
c
⋅
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \mathbf {b} )=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }
(
a
b
)
⋅
c
=
a
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}
クロス積 (交叉積 )
c
×
(
a
b
)
=
(
c
×
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \times (\mathbf {ab} )=(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\mathbf {b} }
(
a
b
)
×
c
=
a
(
b
×
c
)
{\displaystyle (\mathbf {ab} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}
二項積同士の積がまた二項積となるように五種類の演算を以下のように定義する。a , b , c , d はベクトルとする。
一般二項積テンソル
A
=
∑
i
a
i
b
i
,
B
=
∑
i
c
i
d
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{i}\mathbf {c} _{i}\mathbf {d} _{i}}
に対しては:
点乗積
交叉積
点乗積
点乗積 :
A
⋅
B
:=
∑
j
∑
i
(
b
i
⋅
c
j
)
a
i
d
j
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} :=\sum _{j}\sum _{i}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}}
二重点乗積 :
A
:
B
:=
∑
j
∑
i
(
a
i
⋅
d
j
)
(
b
i
⋅
c
j
)
,
or
A
:
B
:=
∑
j
∑
i
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} :\mathbf {B} &:=\sum _{j}\sum _{i}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}),\quad {\text{or}}\\\mathbf {A} :\mathbf {B} &:=\sum _{j}\sum _{i}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}).\end{aligned}}}
点交叉積 :
A
×
⋅
B
:=
∑
j
∑
i
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} ^{\textstyle \cdot }\mathbf {B} :=\sum _{j}\sum _{i}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j})}
交叉積
交叉点乗積 :
A
⋅
×
B
:=
∑
j
∑
i
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \cdot }} ^{\textstyle \times }\mathbf {B} :=\sum _{j}\sum _{i}(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})}
二重交叉積 :
A
×
×
B
:=
∑
i
,
j
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} ^{\textstyle \times }\mathbf {B} :=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j})}
ダブルドット積(二重点乗積)の定義には二通りあり、何れの意味で用いる規約になっているのかは文脈に注意すべきである。この二項積同士の積に対応する行列の演算はなく、このような定義を持ち出すことに疑問は無かろう。
通常のドット積(点乗積)が可換 であるため、このダブルドット積(二重点乗積)もまたそうなる:
A
:
B
=
B
:
A
.
{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} .}
ダブルドット積(二重点乗積)は転置に関して特別の性質を持つ:
A
:
B
⊤
=
A
⊤
:
B
.
{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} .}
他には:
A
:
B
=
(
A
⋅
B
⊤
)
:
I
=
(
B
⋅
A
⊤
)
:
I
.
{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{\top }):\mathbf {I} =(\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ^{\top }):\mathbf {I} .}
任 意 の 二 つ の ベ ク ト ル a , b の 二 項 積 に 対 し て 、 そ の ダ ブ ル ク ロ ス 積 ︵ 二 重 交 叉 平 方 、 自 身 と の 二 重 交 叉 積 ︶ は 必 ず 0 に な る :
a
b
×
×
a
b
=
(
a
×
a
)
(
b
×
b
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {ab} \mathop {_{\textstyle \times }} ^{\textstyle \times }\mathbf {ab} =(\mathbf {a} \times \mathbf {a} )(\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=0.}
し か し 一 般 の 二 項 積 テ ン ソ ル に 対 し て 、 そ の ダ ブ ル ク ロ ス 積 ︵ 二 重 交 叉 平 方 ︶ は 一 般 に は 0 で な い 。 例 え ば ど の 二 つ も 一 致 し な い ベ ク ト ル か ら 得 ら れ る 一 般 二 項 積
A
=
∑
i
=
1
3
a
i
b
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}
に 対 し て 、 積 ︵ 平 方 ︶
A
×
×
A
=
2
[
(
a
1
×
a
2
)
(
b
1
×
b
2
)
+
(
a
2
×
a
3
)
(
b
2
×
b
3
)
+
(
a
3
×
a
1
)
(
b
3
×
b
1
)
]
{\displaystyle \mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} ^{\textstyle \times }\mathbf {A} =2[(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2})(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})+(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})+(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1})(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})]}
は 0 で な い 。
二 項 積 を 基 本 ベ ク ト ル で 展 開 し て ベ ク ト ル の 併 置 を 点 乗 積 に 置 き 換 え れ ば 、 蹟 ( s p u r ) あ る い は 展 開 因 子 ( e x p a n s i o n f a c t o r ) が 得 ら れ る 。
|
A
|
=
A
11
i
⋅
i
+
A
12
i
⋅
j
+
A
13
i
⋅
k
+
A
21
j
⋅
i
+
A
22
j
⋅
j
+
A
23
j
⋅
k
+
A
31
k
⋅
i
+
A
32
k
⋅
j
+
A
33
k
⋅
k
=
A
11
+
A
22
+
A
33
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&=\quad A_{11}\,\mathbf {i\cdot i} +A_{12}\,\mathbf {i\cdot j} +A_{13}\,\mathbf {i\cdot k} \\&\quad +A_{21}\,\mathbf {j\cdot i} +A_{22}\,\mathbf {j\cdot j} +A_{23}\,\mathbf {j\cdot k} \\&\quad +A_{31}\mathbf {k\cdot i} +A_{32}\mathbf {k\cdot j} +A_{33}\mathbf {k\cdot k} \\&=A_{11}+A_{22}+A_{33}.\end{aligned}}}
こ の 二 項 積 の 縮 約 を ア イ ン シ ュ タ イ ン の 和 の 規 約 に 従 っ て 添 字 記 法 で 書 け ば
|
A
|
=
A
i
i
.
{\displaystyle |\mathbf {A} |=A_{i}{}^{i}.}
ま た 三 次 元 の 場 合 に 限 ら れ る が 、 併 置 を ク ロ ス 積 ︵ 交 叉 積 ︶ で 置 き 換 え れ ば 回 転 因 子 ( r o t a t i o n f a c t o r ) が 得 ら れ る :
⟨
A
⟩
=
A
11
i
×
i
+
A
12
i
×
j
+
A
31
i
×
k
+
A
21
j
×
i
+
A
22
j
×
j
+
A
23
j
×
k
+
A
31
k
×
i
+
A
32
k
×
j
+
A
33
k
×
k
=
A
12
k
−
A
31
j
−
A
21
k
+
A
23
i
+
A
31
j
−
A
32
i
=
(
A
23
−
A
32
)
i
+
(
A
31
−
A
13
)
j
+
(
A
12
−
A
21
)
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle &=\quad A_{11}\,\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\,\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{31}\,\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\&\quad +A_{21}\,\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\,\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\,\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\&\quad +A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\&=\quad A_{12}\mathbf {k} -A_{31}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\&\quad +A_{23}\,\mathbf {i} \,+A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\&=(A_{23}-A_{32})\mathbf {i} +(A_{31}-A_{13})\mathbf {j} +(A_{12}-A_{21})\mathbf {k} .\end{aligned}}}
A の こ の 縮 約 を レ ヴ ィ – チ ヴ ィ タ テ ン ソ ル で 書 け ば :
⟨
A
⟩
=
ϵ
i
j
k
A
j
k
.
{\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}
単 位 二 項 積 ( U n i t d y a d i c ) す な わ ち 任 意 の ベ ク ト ル a に 対 し て 以 下 を 満 た す 二 項 積 I が 存 在 す る :
I
⋅
a
=
a
⋅
I
=
a
.
{\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} .}
三 次 元 の 場 合 に 、 基 底 ベ ク ト ル a , b , c お よ び そ の 逆 ベ ク ト ル ˆ a , ˆ b , ˆ c を 用 い れ ば 単 位 二 項 積 は
I
=
a
a
^
+
b
b
^
+
c
c
^
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}
と 書 け る 。 標 準 基 底 ︵ 基 本 ベ ク ト ル ︶ で 書 け ば
I
=
i
i
+
j
j
+
k
k
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }
で あ る 。 対 応 す る 行 列
I
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
は 単 位 行 列 に な る 。
こ れ は ︵ 併 置 記 法 が 何 を 意 味 す る の か と い う 論 理 的 な 文 脈 で ︶ よ り 注 意 深 く 基 礎 付 け る こ と が で き る 。 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 V と V 上 の 二 項 積 テ ン ソ ル は 、 V と そ の 双 対 空 間 に 関 す る テ ン ソ ル 積 の 基 本 テ ン ソ ル で あ る 。
V と そ の 双 対 空 間 V ∗ と の テ ン ソ ル 積 が V か ら V へ の 線 型 写 像 の 空 間 に 線 型 同 型 で あ る こ と に 基 づ け ば 、 二 項 積 vf は w ∈ V を f ( w ) v へ 写 す 線 型 写 像 と 看 做 す こ と が で き る 。 V が n - 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間 の と き は 、 内 積 を 用 い て V は そ の 双 対 空 間 と 同 一 視 で き る か ら 、 二 項 積 は ユ ー ク リ ッ ド 空 間 の 二 つ の ベ ク ト ル の 基 本 テ ン ソ ル 積 に な る 。
こ の 意 味 で 、 基 本 二 項 積 ij は a 1 i + a 2 j + a 3 k を a 2 i に 写 す 三 次 元 空 間 か ら そ れ 自 身 へ の 写 像 で あ り 、 同 様 に jj は 同 じ 和 を a 2 j に 写 す 。 そ う す る と 、 ii + jj + kk は 恒 等 写 像 ︵ 単 位 元 ︶ で あ る と い う こ と に は っ き り と 意 味 が で き て 、 こ れ は a 1 i + a 2 j + a 3 k を そ れ 自 身 に 写 す 。
単 位 二 項 積 の 性 質
(
a
×
I
)
⋅
(
b
×
I
)
=
a
b
−
(
a
⋅
b
)
I
,
{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {I} )\cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {I} )=\mathbf {ab} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {I} ,}
I
⋅
×
a
b
=
b
×
a
,
{\displaystyle \mathbf {I} \mathop {_{\textstyle \cdot }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {ab} =\mathbf {b} \times \mathbf {a} ,}
I
×
×
A
=
(
A
×
×
I
)
I
−
A
⊤
,
{\displaystyle \mathbf {I} \mathop {_{\textstyle \times }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {A} =(\mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\top },}
I
:
a
b
=
(
I
⋅
a
)
⋅
b
=
a
⋅
b
=
tr
(
a
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {I} :\mathbf {ab} =(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\operatorname {tr} (\mathbf {ab} ).}
こ こ で 、 " tr " は 対 角 和 ︵ 蹟 、 t r a c e ︶ を 表 す 。
二 次 元 の 任 意 の ベ ク ト ル a に 対 し て 単 位 二 項 積 へ の 左 交 叉 積 :
a
×
I
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {I} }
は a の 周 り の 9 0 ° 反 時 計 回 り の 回 転 を 与 え る 二 項 積 で あ る 。 あ る い は 、 一 般 二 項 積 テ ン ソ ル
J
=
j
i
−
i
j
=
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji-ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
も 二 次 元 の 9 0 ° 反 時 計 回 り の 回 転 に な る 。 こ れ は ベ ク ト ル に 左 点 乗 積 で 回 転 を 表 す :
(
j
i
−
i
j
)
⋅
(
x
i
+
y
j
)
=
x
j
i
⋅
i
−
x
i
j
⋅
i
+
y
j
i
⋅
j
−
y
i
j
⋅
j
=
−
y
i
+
x
j
,
{\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}
行 列 と し て 書 け ば
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
=
(
−
y
x
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}
一 般 に 、 反 時 計 回 り の 角 θ の 二 次 元 回 転 二 項 積 は
I
cos
θ
+
J
sin
θ
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}
で 与 え ら れ る 。 た だ し 、 I , J は 上 で 与 え た も の と す る 。
幾らかの文献において、二項積 (dyadic ) を一般化して三項積 (triadic ), 四項積 (tetradic ), …, 多項積 (polyadic ) などを同様の方法で定めるものがある[2] 。
^ Spencer (1992), page 19.
^ For example, I. V. Lindell and A. P. Kiselev (2001). “POLYADIC METHODS IN ELASTODYNAMICS”. Progress In Electromagnetics Research, PIER 31 : 113–154. [1]
P. Mitiguy (2009年). “Vectors and dyadics” . Stanford , USA. http://www.stanford.edu/class/me331b/documents/VectorBasisIndependent.pdf Chapter 2
Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis, Schaum's outlines . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7
A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics . Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6 .
Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), “§1.6: Dyadics and other vector operators”, Methods of theoretical physics, Volume 1 , New York: McGraw-Hill , pp. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8 , MR 0059774 .
Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6 .
Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8 .