数学 の線型代数学 周辺分野における行列 (ぎょうれつ、英 : matrix )は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。
横に並んだ一筋を行 (row)、縦に並んだ一筋を列 (column)と呼ぶ。
例えば、下記のような行列
[
1
9
−
13
20
5
−
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}
は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。
書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 i 行目、j 列目の成分を特に行列の (i , j ) 成分と言う。行列の (i , j ) 成分はふつう ai j のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にコンマ を入れることもある。また略式的に、行列 A の (i , j ) 成分を指定するのに Ai j という記法を用いることもある。
行列の和は、行の数と列の数が同じ行列において、成分ごとの計算によって与えられる。
行列の積 の計算はもっと複雑で、2つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。
行 列 の 応 用 と し て 代 表 的 な も の は 一 次 変 換 の 表 現 で 、 こ れ は f ( x ) = 4 x の よ う な 一 次 関 数 を 一 般 化 し た も の で あ る 。 例 え ば 、 三 次 元 空 間 に お け る ベ ク ト ル の 回 転 は 一 次 変 換 に あ た り 、 R が 回 転 行 列 で v が 空 間 の 点 の 位 置 を 表 す 列 ベ ク ト ル ︵ 1 列 し か な い 行 列 ︶ で あ る と き 、 そ れ ら の 積 R v は 回 転 後 の 点 の 位 置 を 表 す 列 ベ ク ト ル を 表 現 し て い る 。 ま た 2 つ の 行 列 の 積 は 、 2 つ の 一 次 変 換 の 合 成 を 表 現 す る も の と な る 。
行 列 計 算 の 効 率 的 な ア ル ゴ リ ズ ム の 研 究 は 数 値 解 析 に お け る 主 要 な 分 野 で あ り 、 こ れ は 何 世 紀 に も わ た る も の で 、 今 日 で も 研 究 領 域 が 広 が っ て い る 。
行 列 の 分 解 は 、 理 論 的 に も 実 用 的 に も 計 算 を 簡 単 化 す る も の で 、 そ の ア ル ゴ リ ズ ム は 正 方 行 列 や 対 角 行 列 な ど と い っ た 行 列 の 特 定 の 構 造 に 合 わ せ て 仕 立 て ら れ て お り 、 有 限 要 素 法 や そ の ほ か の 計 算 を 効 率 的 に 処 理 さ せ る 。
惑 星 運 動 論 や 原 子 論 で は 無 限 次 行 列 が 現 れ る 。
無 限 次 行 列 の 簡 単 な 例 と し て は 、 関 数 の テ イ ラ ー 級 数 に 対 し て 作 用 す る 微 分 作 用 素 を 表 す 行 列 が あ る 。
行 列 は 数 ま た は 数 を 表 わ す 文 字 か ら 成 る 要 素 ( 英 : e l e m e n t ) を 矩 形 状 に 書 き 並 べ て 、 大 き な 丸 括 弧 ︵ あ る い は 角 括 弧 ︶ で 括 っ た 形 に 書 か れ る 。 こ こ で 文 字 送 り の 方 向 ︵ 横 ︶ の 並 び を 行 ( 英 : r o w ) と い い 、 行 送 り の 方 向 ︵ 縦 ︶ の 並 び を 列 ( 英 : c o l u m n ) と 呼 ぶ [ 1 ] 。 例 え ば
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
]
,
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
)
,
[
3
−
4
6
0
1
−
2
]
,
(
3
−
4
6
0
1
−
2
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}},\ {\begin{bmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{pmatrix}}}
は 2 つ の 行 と 3 つ の 列 を 持 つ 行 列 で あ る 。 行 列 自 身 は 、 ふ つ う は ア ル フ ァ ベ ッ ト の 大 文 字 イ タ リ ッ ク ︵ し ば し ば 太 字 [ 注 釈 1 ] ︶ で 表 し 、 そ の 要 素 は 対 応 す る 小 文 字 に 二 つ の 添 字 を 付 け た も の で 表 す ︵ 略 式 的 に 行 列 を 表 す 大 文 字 に 添 字 を 付 け た も の を 用 い る こ と も あ る が 、 そ の 場 合 小 行 列 の 記 号 と 紛 ら わ し い ︶ 。 つ ま り 一 般 の m 行 n 列 の 行 列 を
A
=
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
=
[
a
i
j
]
m
×
n
,
(
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
)
=
(
a
i
j
)
m
×
n
,
(
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
)
{\displaystyle A=\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=[\mathbf {a} _{ij}]_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}=(\mathbf {a} _{ij})_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}}
の よ う に 書 く 。
書 き 並 べ ら れ た 要 素 は 行 列 の 成 分 ( 英 : e n t r y , c o m p o n e n t ) と 呼 ば れ る [ 1 ] 。 成 分 が 取 り 得 る 値 は ︵ さ ま ざ ま な 対 象 を 想 定 で き る が ︶ 大 抵 の 場 合 は あ る 体 ま た は 可 換 環 K の 元 で あ り 、 こ の と き K 上 の 行 列 ( 英 : m a t r i x o v e r K ) と い う 。 特 に 、 K が 実 数 全 体 の 成 す 体 R で あ る と き 実 行 列 と 呼 び 、 複 素 数 全 体 の 成 す 体 C の と き 複 素 行 列 と 呼 ぶ 。
一 つ の 成 分 を 特 定 す る に は 、 二 つ の 添 字 が 必 要 で あ る 。 行 列 の 第 i 行 目 、 j 列 目 の 成 分 を 特 に 行 列 の ( i , j ) 成 分 と 呼 ぶ [ 1 ] 。 例 え ば 上 記 行 列 A の ( 1 , 2 ) 成 分 は a 1 2 で あ る 。 行 列 の ( i , j ) 成 分 は ふ つ う a i j の よ う に 二 つ の 添 字 を 単 に 横 並 び に 書 く が 、 誤 解 を 避 け る た め に 添 字 の 間 に コ ン マ を 入 れ る こ と も あ る 。 例 え ば 1 行 11 列 目 の 成 分 を a 1 , 1 1 と 書 い て よ い 。 ま た 略 式 的 に は 、 行 列 A の ( i , j ) 成 分 を 指 定 す る の に A i j と い う 記 法 を 用 い る こ と が あ る 。 こ の 場 合 、 例 え ば 積 ︵ 後 述 ︶ A B の ( i , j ) 成 分 を ( A B ) i j と 指 定 し た り で き る の で 、 こ れ で 記 述 の 簡 素 化 を 図 れ る 場 合 も あ る 。
行 列 に 含 ま れ る 行 の 数 が m , 列 の 数 が n で あ る 時 に 、 そ の 行 列 を m 行 n 列 行 列 や m × n 行 列 、 m n 行 列 な ど と 呼 ぶ [ 1 ] 。 行 列 を 構 成 す る 行 の 数 と 列 の 数 の 対 を 型 ( 英 : t y p e ) あ る い は サ イ ズ と い う 。 し た が っ て m 行 n 列 行 列 の こ と を ( m , n ) 型 行 列 な ど と 呼 ぶ こ と も あ る [ 1 ] 。 K 上 の m × n 行 列 の 全 体 は K m × n , K m , n や M a t ( m , n ; K ) , M m × n ( K ) な ど で 表 さ れ る 。
1 つ の 列 を 持 つ 行 列 を 列 ベ ク ト ル 、 1 つ の 行 を も つ 行 列 を 行 ベ ク ト ル と 呼 ぶ 。 例 え ば 行 列
A
=
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}
に 対 し て 、 [ a 1 1
a 2 1 ] , [ a 1 2
a 2 2 ] は そ の 列 ベ ク ト ル 、 [ a 1 1 a 1 2 ] , [ a 2 1 a 2 2 ] は そ の 行 ベ ク ト ル で あ る 。
行 と 列 の 数 が 同 じ で あ る 行 列 は 正 方 行 列 と 呼 ば れ る 。 無 限 の 行 ま た は 列 を も つ 行 列 を 無 限 次 行 列 と 呼 ぶ 。 プ ロ グ ラ ミ ン グ に お い て 行 ま た は 列 を 持 た な い 行 列 を 考 え る と 便 利 と な る こ と が し ば し ば あ る が 、 こ の よ う な 行 列 を 空 行 列 と 呼 ぶ 。
名前
型
例
説明
行ベクトル
1 × n
[
3
7
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}
1つの行を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。
列ベクトル
n × 1
[
4
1
8
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}
1つの列を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。
正方行列
n × n
[
9
13
5
1
11
7
2
6
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}
行と列の数が同じである行列。鏡映 や回転 、せん断 のようなベクトル空間 の線形変換 を表すのに使われることがある。
行 列 は 二 重 に 添 字 づ け ら れ た 族 で あ り 、 添 字 の 各 対 ( i , j ) に 成 分 a ij を 割 り 当 て る 二 変 数 写 像
A
:
{
1
,
…
,
m
}
×
{
1
,
…
,
n
}
→
K
;
(
i
,
j
)
↦
a
i
j
{\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}
で あ る 。 例 え ば 添 字 の 対 ( 1 , 2 ) に は 写 像 の 値 と し て a 12 が 割 り 当 て ら れ る 。 値 a ij は 行 列 の i - 行 j - 列 成 分 で あ る と い い 、 m お よ び n は そ れ ぞ れ 行 お よ び 列 の 数 を 意 味 す る 。 写 像 と し て の 行 列 の 定 義 と 行 列 が 表 す 線 型 写 像 と を 混 同 し て は な ら な い 。
K に 成 分 を 持 つ m × n 行 列 の 全 体 は 、 し た が っ て 配 置 集 合
map
(
{
1
,
…
,
m
}
×
{
1
,
…
,
n
}
,
K
)
=
K
{
1
,
…
,
m
}
×
{
1
,
…
n
}
{\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}}
で あ り 、 省 略 形 と し て K m × n ︵ あ る い は や や 稀 だ が m K n ︶ や M ( m × n ; K ) な ど と 書 く こ と の 一 つ の 根 拠 に な る 。
行 の 数 と 列 の 数 が 一 致 す る よ う な 行 列 は 正 方 行 列 と 呼 ば れ る 。
た だ 一 つ の 列 を 持 つ 行 列 は 列 ベ ク ト ル 、 た だ 一 つ の 行 を 持 つ 行 列 は 行 ベ ク ト ル と 呼 ば れ る 。 K n の ベ ク ト ル は 、 文 脈 に よ っ て 行 ベ ク ト ル 空 間 K 1 × n ま た は 列 ベ ク ト ル 空 間 K n × 1 の 元 を 表 す の に も 用 い ら れ る 。
線 型 方 程 式 の 解 法 に お け る 応 用 に 関 し て 、 行 列 は 長 い 歴 史 を 持 つ 。 紀 元 前 10 世 紀 か ら 紀 元 前 2 世 紀 の 間 に 書 か れ た 中 国 の 書 物 ﹃ 九 章 算 術 ﹄ は 連 立 方 程 式 の 解 法 に 行 列 を 用 い た 最 初 の 例 で あ る と い わ れ [ 3 ] 、 そ れ に は 行 列 式 の 概 念 が 含 ま れ て い た 。 1 5 4 5 年 に イ タ リ ア の 数 学 者 ジ ェ ロ ラ モ ・ カ ル ダ ー ノ は ﹃ 偉 大 な る 術 ︵ ア ル ス ・ マ グ ナ ︶ ﹄ を 著 し 、 こ の 方 法 を ヨ ー ロ ッ パ に 持 ち 込 ん だ 。 日 本 の 関 孝 和 は 1 6 8 3 年 に 連 立 方 程 式 の 解 法 と し て 同 様 に 行 列 に よ る 方 法 を 用 い て い る [ 4 ] 。 ド イ ツ の ヨ ハ ン ・ デ ・ ウ ィ ッ ト は 1 6 5 9 年 の 著 書 E l e m e n t s o f C u r v e s に お い て 行 列 の 変 形 に つ い て 説 明 し て い る 。 1 7 0 0 年 か ら 1 7 1 0 年 に か け て ド イ ツ の ラ イ プ ニ ッ ツ は 50 以 上 の 異 な る 体 系 を 用 い て 行 列 の 使 い 方 を 発 表 し た 。 ク ラ メ ル が 有 名 な 公 式 を 生 み 出 す の は 1 7 5 0 年 の こ と で あ る 。
行 列 論 の 初 期 に お い て は 、 行 列 よ り も 行 列 式 の ほ う に 非 常 に 重 き が 置 か れ て お り 、 行 列 式 か ら 離 れ て 現 代 的 な 行 列 の 概 念 と 同 種 の も の が 浮 き 彫 り に さ れ る の は 1 8 5 8 年 、 ケ イ リ ー の 歴 史 的 論 文 M e m o i r o n t h e t h e o r y o f m a t r i c e s ︵ ﹁ 行 列 論 回 想 ﹂ ︶ に お い て で あ る 。 用 語 " m a t r i x " ︵ ラ テ ン 語 で ﹁ 生 み 出 す も の ﹂ の 意 味 の 語 に 由 来 ︶ [ 7 ] は シ ル ベ ス タ ー が 導 入 し た 。 シ ル ベ ス タ ー は 行 列 を 、 ︵ 今 日 小 行 列 式 と 呼 ば れ る ︶ も と の 行 列 か ら 一 部 の 行 や 列 を 取 り 除 い て 得 ら れ る 小 行 列 の 行 列 式 と し て 、 た く さ ん の 行 列 式 を 生 じ る も の と し て 理 解 し て い た [ 注 釈 2 ] 。 1 8 5 1 年 の 論 文 で シ ル ベ ス タ ー は
I h a v e i n p r e v i o u s p a p e r s d e f i n e d a " M a t r i x " a s a r e c t a n g u l a r a r r a y o f t e r m s , o u t o f w h i c h d i f f e r e n t s y s t e m s o f d e t e r m i n a n t s m a y b e e n g e n d e r e d a s f r o m t h e w o m b o f a c o m m o n p a r e n t . ︵ 以 前 の 論 文 で 、 項 を 矩 形 状 に 並 べ た 配 列 と し て 定 義 し た " M a t r i x " は 、 そ の う ち で 異 な る 行 列 式 の 体 系 を 生 み 出 す 共 通 の 親 と し て の 母 体 で あ る 。 ︶
と 説 明 し て い る [ 8 ] 。
行 列 式 の 研 究 は い く つ か の 流 れ か ら 生 じ て き た も の で あ る 。 数 論 的 な 問 題 は ガ ウ ス が 二 次 形 式 ︵ つ ま り 、
x
2
+
x
y
−
2
y
2
{\displaystyle x^{2}+xy-2y^{2}}
の よ う な 数 式 ︶ の 係 数 と 三 次 元 の 線 型 写 像 を 行 列 に 結 び 付 け た こ と に 始 ま り 、 ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン が こ れ ら の 概 念 を さ ら に 進 め て 、 現 代 的 な 用 語 で い え ば 行 列 の 積 が 非 可 換 で あ る こ と な ど を 指 摘 し た 。 コ ー シ ー は 行 列
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
の 行 列 式 と し て 、 多 項 式
a
1
a
2
⋯
a
n
∏
i
<
j
(
a
j
−
a
i
)
{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})}
︵ こ こ で ∏ は 条 件 を 満 た す 項 の 総 乗 を 表 す ︶ の 冪 a j
k を a jk で 置 き 換 え た も の と い う 定 義 を 採 用 し 、 そ れ を 用 い て 行 列 式 に つ い て の 一 般 的 な 主 張 を 証 明 し た 最 初 の 人 で あ る 。 コ ー シ ー は 1 8 2 9 年 に 、 対 称 行 列 の 固 有 値 が 全 て 実 数 で あ る こ と も 示 し て い る 。 ヤ コ ビ は 、 幾 何 学 的 変 換 の 局 所 的 あ る い は 無 限 小 の レ ベ ル で の 挙 動 を 記 述 す る こ と が で き る 関 数 行 列 式 ︵ 後 に シ ル ベ ス タ ー が ﹁ ヤ コ ビ 行 列 式 ﹂ と 呼 ん だ ︶ の 研 究 を 行 っ た 。 ク ロ ネ ッ カ ー の V o r l e s u n g e n ü b e r d i e T h e o r i e d e r D e t e r m i n a n t e n と ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の Z u r D e t e r m i n a n t e n t h e o r i e は と も に 1 9 0 3 年 に 出 版 さ れ た 。 前 者 は 、 そ れ ま で の コ ー シ ー の 用 い た 公 式 の よ う な 具 体 的 な 手 法 と は 反 対 に 、 行 列 式 を 公 理 的 に 扱 っ た も の で あ る 。 こ れ を 以 っ て 、 行 列 式 の 概 念 が き っ ち り と 確 立 さ れ た と 見 な さ れ て い る 。
多 く の 定 理 は 、 初 め て 確 立 さ れ た と き に は 小 さ い サ イ ズ の 行 列 に 限 っ た 主 張 と し て 示 さ れ た 。 例 え ば ケ ー リ ー = ハ ミ ル ト ン の 定 理 は 、 ケ イ リ ー が 先 述 の 回 想 録 に お い て 2 × 2 行 列 に 対 し て 示 し 、 ハ ミ ル ト ン が 4 × 4 行 列 に 対 し て 証 明 し て 、 そ の 後 の 1 8 9 8 年 に フ ロ ベ ニ ウ ス が 双 線 型 形 式 に つ い て の 研 究 の 過 程 で 任 意 次 元 に 拡 張 し た 。 ま た 、 19 世 紀 の 終 わ り に 、 ︵ ガ ウ ス の 消 去 法 と し て 今 日 知 ら れ る も の を 特 別 の 場 合 と し て 含 む ︶ ガ ウ ス – ジ ョ ル ダ ン 消 去 法 を ジ ョ ル ダ ン ︵ 英 語 版 ︶ が 確 立 し 、 20 世 紀 の 初 頭 に は 行 列 は 線 型 代 数 学 の 中 心 的 役 割 を 果 た す よ う に な っ た 。 前 世 紀 の 超 複 素 数 系 の 分 類 に も 行 列 の 利 用 が 部 分 的 に 貢 献 し た 。
ハ イ ゼ ン ベ ル ク 、 ボ ル ン 、 ジ ョ ル ダ ン ら に よ る 行 列 力 学 の 創 始 は 、 行 ま た は 列 の 数 が 無 限 で あ る よ う な 行 列 の 研 究 へ 繋 が る も の で あ っ た 。 後 に フ ォ ン ・ ノ イ マ ン は 、 ︵ 大 体 無 限 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド 空 間 に あ た る ︶ ヒ ル ベ ル ト 空 間 上 の 線 型 作 用 素 な ど の 関 数 解 析 学 的 な 概 念 を さ ら に 推 し 進 め る こ と に よ り 、 量 子 力 学 の 数 学 的 基 礎 を 提 示 し た 。
二 つ の 行 列 は 、 そ れ が 同 じ 型 を 持 つ な ら ば 互 い に 加 え る こ と が で き 、 こ の 算 法 を 行 列 の 加 法 、 演 算 の 結 果 を 和 と 言 う [ 15 ] 。 異 な る 型 の 行 列 に 対 し て は 和 は 定 義 さ れ な い 。 つ ま り 、 m 行 n 列 の 行 列 同 士 の 和 を 、 成 分 ご と の 和
A
+
B
:=
[
a
i
j
+
b
i
j
]
i
=
1
,
…
,
m
,
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}
で 定 め る [ 15 ] 。
例 え ば
[
5
6
−
7
8
]
+
[
1
−
2
3
−
4
]
=
[
5
+
1
6
+
(
−
2
)
−
7
+
3
8
+
(
−
4
)
]
=
[
6
4
−
4
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}}
で あ る 。
線 型 代 数 学 に お い て 成 分 は ふ つ う ︵ 実 数 や 複 素 数 の 全 体 の よ う な ︶ 体 で あ り 、 こ の 場 合 の 行 列 の 加 法 は 、 結 合 的 か つ 可 換 で あ り 、 ま た 単 位 元 と し て 零 行 列
0
≡
O
:=
[
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
]
{\displaystyle 0\equiv O:={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}}
を 持 つ [ 15 ] 。 一 般 に 、 こ れ ら の 三 性 質 を 満 た す 代 数 系 に 成 分 を 持 つ ︵ 同 じ 型 の ︶ 行 列 の 全 体 は 、 や は り こ れ ら の 性 質 を 満 た す 。
行 列 の 各 成 分 に 一 つ の ス カ ラ ー を 掛 け る こ と に よ り 、 任 意 の 行 列 の ス カ ラ ー 倍
λ
A
:=
[
λ
a
i
j
]
i
=
1
,
…
,
m
,
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \lambda A:=[\lambda a_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}
が 定 義 さ れ る [ 15 ] 。 例 え ば 、
5
⋅
[
1
−
3
2
1
2
7
]
=
[
5
⋅
1
5
⋅
(
−
3
)
5
⋅
2
5
⋅
1
5
⋅
2
5
⋅
7
]
=
[
5
−
15
10
5
10
35
]
{\displaystyle 5\cdot {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{bmatrix}}}
で あ る 。
ス カ ラ ー 乗 法 が 意 味 を 持 つ た め に は 、 ス カ ラ ー λ と 行 列 の 成 分 が 同 じ 環 ( K , + , · , 0 ) か ら と っ た 元 で あ る べ き で あ り 、 こ の と き m × n 行 列 の 全 体 K m × n は 、 左 K - 加 群 ︵ K が 体 な ら ば ベ ク ト ル 空 間 ︶ に な る 。 ベ ク ト ル 空 間 ︵ あ る い は 自 由 加 群 ︶ と し て の K m × n は m n 次 元 数 ベ ク ト ル 空 間 K m n と 同 型 で あ る 。
行列の積の模式図
行 列 の 積 を 初 め て 定 義 し た の は ケ イ リ ー で あ る 。 行 列 の 積 は 狭 い 意 味 で の 二 項 演 算 ︵ 即 ち 、 台 と す る 集 合 X に 対 し て X × X → X な る 写 像 を 定 め る も の ︶ で は な い 。 l × m 行 列 A と m × n 行 列 B の 積 は l × n 行 列 と な り 、 C = A B の ( i , j ) 成 分 c i j は 、
c
i
j
=
∑
k
=
1
m
a
i
k
b
k
j
{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}
で 与 え ら れ る [ 16 ] 。
例 え ば 、
[
5
6
7
8
]
[
1
2
3
4
]
=
[
5
⋅
1
+
6
⋅
3
5
⋅
2
+
6
⋅
4
7
⋅
1
+
8
⋅
3
7
⋅
2
+
8
⋅
4
]
=
[
23
34
31
46
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}}
で あ る 。
行 列 の 積 は 可 換 で な い
即 ち 一 般 に は
B
⋅
A
≠
A
⋅
B
{\displaystyle B\cdot A\neq A\cdot B}
と な る こ と が 両 辺 が 定 義 さ れ る 場 合 ( l = n ) で あ っ て も 起 こ り 得 る 。 さ ら に m = n ( = l ) の と き 、 つ ま り 両 辺 が 正 方 行 列 同 士 の 積 で あ れ ば 両 辺 と も 定 義 さ れ る が 、 そ の 場 合 で も 一 般 に は 両 者 は 異 な る [ 16 ] 。
行 列 の 積 は 結 合 的 で あ る
即 ち 、 乗 法 が 定 義 さ れ る 限 り に お い て
(
A
⋅
B
)
⋅
C
=
A
⋅
(
B
⋅
C
)
{\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}
が 成 り 立 つ [ 17 ] 。
行 列 の 乗 法 は 加 法 の 上 に 分 配 的 で あ る
即 ち 、 各 項 に お け る 加 法 と 乗 法 が 定 義 さ れ る 限 り に お い て
(
A
+
B
)
⋅
C
=
A
⋅
C
+
B
⋅
C
{\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}
お よ び
A
⋅
(
B
+
C
)
=
A
⋅
B
+
A
⋅
C
{\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}
が 成 り 立 つ [ 17 ] 。
正 方 行 列 に 関 し て 行 列 の 乗 法 は 特 別 な 役 割 を 持 つ 。 環 R 上 の 正 方 行 列 全 体 R n × n は 行 列 の 加 法 と 乗 法 に 関 し て 、 ふ た た び 環 を 成 す の で あ る 。 環 R が 単 位 的 ︵ つ ま り 単 位 元 1 を 持 つ ︶ な ら ば 、 単 位 行 列
E
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
1
]
{\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}
は 行 列 の 積 に 関 す る 単 位 元 と な り 、 環 R n × n も ま た 単 位 的 と な る 。 し か し 、 n > 1 の と き 、 こ の 環 は ︵ 基 礎 環 R が 可 換 環 で あ っ て も ︶ 可 換 環 で な い 。
行 列 が 区 分 行 列 に 分 解 さ れ る と き 、 そ の よ う な 行 列 の 積 は 、 そ れ ら の ブ ロ ッ ク が 適 当 な サ イ ズ な ら ば 、 ブ ロ ッ ク 成 分 ご と に 積 を 計 算 す る こ と が で き る 。 例 え ば
[
a
b
0
0
c
d
0
0
x
y
1
0
z
w
0
1
]
⋅
[
n
0
m
0
q
1
p
0
]
=
[
A
0
X
E
2
]
⋅
[
N
0
Q
[
1
0
]
]
=
[
A
N
+
0
0
+
0
X
N
+
E
2
Q
0
+
E
2
[
1
0
]
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
で あ る 。 こ こ で E 2 は 二 次 の 単 位 行 列 、 右 辺 の 0 は 全 て の 成 分 が 0 R ︵ 基 礎 環 R の 零 元 ︶ で あ る よ う な 適 当 な サ イ ズ の 行 列 で あ る 。
m × n 行列 A = [a i j ] の転置 とは n × m 行列 t A = [a j i ], 即ち
A
=
[
a
11
…
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
m
1
…
a
m
n
]
⟺
t
A
=
[
a
11
…
a
m
1
⋮
⋱
⋮
a
1
n
…
a
m
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}
である[18] 。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a 1 1 , a 2 2 , … に関して折り返したものになっている。
転置行列は以下の計算規則に従う[18] :
t
(
A
+
B
)
=
t
A
+
t
B
t
(
c
A
)
=
c
t
A
t
(
t
A
)
=
A
t
(
A
B
)
=
t
B
t
A
t
(
A
−
1
)
=
(
t
A
)
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}}
n × n 行列 A = [a i j ] の行列式 とは、
det
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
i
σ
(
i
)
{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}}
で定義される数である[19] 。これは行列の固有値 の積と一致し、det(En ) = 1 , det(A B ) = det(A ) det(B ) などが成り立つ。
行 列 A の ラ ン ク ま た は 階 数 と は 、 こ の 行 列 の 列 ベ ク ト ル の 中 で 線 型 独 立 な も の の 最 大 個 数 で あ り 、 ま た
行 ベ ク ト ル の 中 で 線 型 独 立 な も の の 最 大 個 数 と も 等 し い 。 あ る い は A の 表 現 す る 線 型 写 像 の 像 の 次 元 と 言 っ て も 同 じ で あ る 。 階 数 ・ 退 化 次 数 の 定 理 は 、 行 列 の 核 に 階 数 を 加 え る と 、 そ の 行 列 の 列 の 数 に 等 し い こ と を 述 べ る も の で あ る 。
n × n 行列 A = [a i j ] のトレース または跡 とは、その対角線上にある成分の和
tr
(
A
)
=
a
11
+
a
22
+
⋯
+
a
n
n
{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}}
のことである[23] 。これは tr(A B ) = tr(B A ) を満たし[23] 、行列のトレースはその固有値 の和に等しい。
K - 加 群 と し て の M m × n ( K ) は ま た 、 行 列 の 積 t A B の ト レ ー ス
⟨
A
,
B
⟩
=
tr
(
t
A
B
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
a
i
j
b
i
j
{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}}
を 内 積 に 持 つ 。 K = R の と き 、 こ れ は ユ ー ク リ ッ ド ノ ル ム を 導 き 、 M m × n ( R ) は m n - 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間 K m n に な る 。 こ の 内 積 空 間 に お い て 、 対 称 行 列 全 体 の 成 す 部 分 空 間 と 歪 対 称 行 列 全 体 の 成 す 部 分 空 間 と は 互 い に 直 交 す る 。 即 ち 、 A が 対 称 , B が 歪 対 称 な ら ば ⟨ A , B ⟩ = 0 が 成 り 立 つ 。 同 様 に K = C の 場 合 に は 、 M m × n ( C ) は
⟨
A
,
B
⟩
=
tr
(
t
A
¯
B
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
a
¯
i
j
b
i
j
{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}}
︵ た だ し 、 上 付 き の バ ー は 複 素 共 軛 ︶ を エ ル ミ ー ト 内 積 と し て 複 素 ユ ニ タ リ 空 間 を 成 す ︵ こ の 内 積 を ヒ ル ベ ル ト ・ シ ュ ミ ッ ト 内 積 と 呼 ぶ ︶ 。 こ の 内 積 は フ ロ ベ ニ ウ ス ノ ル ム を 導 き 、 M m × n ( C ) は バ ナ ッ ハ 空 間 と な る 。
任 意 の 行 列 B に 対 し 、 そ の 成 分 を そ れ ぞ れ の 成 分 の 加 法 逆 元 に 全 て 取 り 換 え た 行 列 を − B と 書 け ば 、 同 じ サ イ ズ の 行 列 A , B の 和 A + ( − B ) を A − B と 略 記 し て 差 を 定 め る こ と が で き る [ 注 釈 3 ] 。 よ り 強 く 、 ス カ ラ ー 乗 法 が 定 義 さ れ る 場 合 に は 、 特 に ス カ ラ ー ( − 1 ) - 倍 は ( − 1 ) B = − B を 満 た す の だ か ら 、 和 と ス カ ラ ー 倍 を 使 っ て 差 を 定 義 す る こ と も で き る 。
[
5
6
−
7
8
]
−
[
1
−
2
3
−
4
]
=
[
5
−
1
6
−
(
−
2
)
−
7
−
3
8
−
(
−
4
)
]
=
[
4
8
−
10
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}}
と す れ ば よ い .
n × n の正方行列 A に対して行列のべき乗 は An (ここで n は実数) と書かれる[24] 。
行列 A が対角化 可能であれば、An = (P −1 DP )n = P −1 Dn P として容易に計算できる。
v と w を n × 1 の列ベクトルとすると、v と w との間に行列の積は定義されないが、t v w および v t w は行列の積として定義することができる。前者は 1 × 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、v と w との標準内積 ⟨v , w ⟩ に他ならない。いっぽう後者は、階数 1 の n × n 行列で、v と w との二項積 v w あるいはテンソル積 v ⊗ w と呼ばれる。
可換環 K 上の m × n 行列の全体 M m ×n (K ) は加法とスカラー倍について K -加群を成すばかりでなく、その上の三項演算
M
m
×
n
(
K
)
×
M
m
×
n
(
K
)
×
M
m
×
n
(
K
)
→
M
m
×
n
(
K
)
;
(
X
,
Y
,
Z
)
↦
{
X
,
Y
,
Z
}
:=
X
t
Y
Z
{\displaystyle M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z}
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な三項系 (三項積)の一般論は、ジョルダン環 あるいはリー環 の理論とかかわりを持つ[25] 。
以下のような計算は定義されないため実行してはならない[26] 。
[
a
b
c
d
e
f
]
+
[
g
h
i
j
k
l
]
=
⋯
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots }
[
a
b
c
d
e
f
]
−
1
=
⋯
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots }
det
[
a
b
c
d
e
f
]
=
⋯
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }
[
a
b
c
d
e
f
]
[
x
1
x
2
]
=
λ
[
x
1
x
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
tr
[
a
b
c
d
e
f
]
=
⋯
{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }
行列を2つあるいは3つの行列の積に因数分解 するには以下の方法が知られている。
LU分解 - 正方行列Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = LU
コレスキー分解 - 正値 対称行列(またはエルミート行列)Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = U* U
QR分解 - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)Qと上三角行列Rに分解 A = QR
固有値分解 -
特異値分解 - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)U,Vと対角行列Dに分解 A = UDV*
2 × 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。
行 列 と そ の 乗 法 は 、 こ れ を 一 次 変 換 ︵ つ ま り 線 型 写 像 ︶ と 関 連 付 け る と き 、 そ の 本 質 的 な 特 徴 が 浮 き 彫 り に な る 。
線 型 写 像 の 行 列 表 現
m × n 行 列 A か ら 線 型 写 像 R n → R m が 各 ベ ク ト ル x ∈ R n を 行 列 と し て の 積 A x ∈ R m へ 写 す も の と し て 定 ま る 。 逆 に 、 各 線 型 写 像 f : R n → R m を 生 じ る m × n 行 列 A は 一 意 的 に 決 ま る 。 陽 に 書 け ば 、 A の ( i , j ) - 成 分 は 、 f ( e j ) の 第 i - 成 分 で あ る 。 た だ し e j = ( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) は 第 j - 成 分 だ け が 1 で 他 が 全 部 0 の 単 位 ベ ク ト ル で あ る 。
こ の と き 、 行 列 A は 線 型 写 像 f を 表 現 す る と 言 い 、 A を f の 変 換 行 列 ま た は 表 現 行 列 と 呼 ぶ 。
例 え ば 2 × 2 行 列
A
=
[
a
c
b
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}
は 、 単 位 正 方 形 を ( 0 , 0 ) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) , ( c , d ) を 頂 点 と す る 平 行 四 辺 形 に 写 す も の と 見 做 す こ と が で き る 。 こ の 平 行 四 辺 形 は 、 単 位 正 方 形 の 頂 点 を 成 す 四 つ の ︵ 列 ︶ ベ ク ト ル ( 0
0 ) , ( 1
0 ) , ( 1
1 ) , ( 0
1 ) の 各 々 に A を 掛 け る こ と に よ っ て 得 ら れ る 。
こ の 行 列 と 線 型 写 像 と の 間 の 一 対 一 対 応 の も と で 、 行 列 の 乗 法 は 写 像 の 合 成 に 対 応 す る : 上 記 の A と f に 加 え て 、 k × m 行 列 B が 別 の 線 型 写 像 g : R m → R k を 表 現 す る も の な ら ば 、 合 成 g ∘ f は 行 列 の 積 BA で 表 現 さ れ る 。 実 際 、
( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( A x ) = B ( A x ) = ( BA ) x
で あ る 。 最 後 の 等 号 は 行 列 の 積 の 結 合 性 に よ る 。
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学 では行列の成分をもっと一般の(可換 とは限らない)体 や環 としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソル は、(行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して)数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群 を成す。
し ば し ば 実 ま た は 複 素 成 分 の 行 列 に 焦 点 を 当 て る こ と も あ る が 、 そ れ 以 外 に も も っ と 一 般 の 種 類 の 成 分 を 持 っ た 行 列 を 考 え る こ と が で き る 。 一 般 化 の 最 初 の 段 階 と し て 任 意 の 体 ︵ す な わ ち 四 則 演 算 が 自 由 に で き る 集 合 、 例 え ば R , C 以 外 に 有 理 数 体 Q や 有 限 体 F q な ど ︶ を 成 分 と し て 考 え る 。 例 え ば 符 号 理 論 で は 有 限 体 上 の 行 列 を 利 用 す る 。 ど の 体 で 考 え る と し て も 、 固 有 値 は 多 項 式 の 根 と し て 考 え る こ と が で き て 、 そ れ は 行 列 の 係 数 体 の 拡 大 体 の 中 に 存 在 す る 。 た と え ば 、 実 行 列 の 場 合 は 固 有 値 は 複 素 数 で あ る 。 あ る 行 列 の 成 分 を よ り 大 き な 体 の 元 と 解 釈 し な お す こ と は で き る ︵ 例 え ば 実 行 列 を 全 て の 成 分 が 実 数 で あ る よ う な 複 素 行 列 と み る こ と が で き る ︶ か ら 、 そ の よ う な 十 分 大 き な 体 の 中 で 任 意 の 正 方 行 列 に つ い て そ の 固 有 値 全 て か ら 成 る 集 合 を 考 え る こ と が で き る 。 あ る い は 最 初 か ら 、 複 素 数 体 C の よ う な 代 数 閉 体 に 成 分 を 持 つ よ う な 行 列 の み を 考 え る も の と す る こ と も で き る 。
も っ と 一 般 に 、 抽 象 代 数 学 で は 環 に 成 分 を 持 つ 行 列 と い う も の が 甚 だ 有 用 で あ る 。 環 は 除 法 演 算 を 持 た な い 点 に お い て 体 よ り も 一 般 の 概 念 で あ る 。 こ の 場 合 も 、 行 列 の 加 法 と 乗 法 は そ の ま ま ま っ た く 同 じ 物 を 使 う こ と が で き る 。 R 上 の n - 次 正 方 行 列 全 体 の 成 す 集 合 M ( n , R ) は 全 行 列 環 と 呼 ば れ る 環 で あ り 、 左 R - 加 群 R n の 自 己 準 同 型 環 に 同 型 で あ る 。 環 R が 可 換 環 、 す な わ ち そ の 乗 法 が 可 換 律 を 満 た す な ら ば 、 全 行 列 環 M ( n , R ) は ︵ n = 1 で な い 限 り ︶ 非 可 換 な R 上 の 単 位 的 結 合 多 元 環 と な る 。 可 換 環 R 上 の 正 方 行 列 の 行 列 式 は ラ イ プ ニ ッ ツ の 公 式 を 用 い て 定 義 す る こ と が で き て 、 可 換 環 R 上 の 正 方 行 列 が 可 逆 で あ る こ と の 必 要 十 分 条 件 を そ の 行 列 式 が R の 可 逆 元 で あ る こ と と 述 べ る こ と が で き る ︵ こ れ は 零 元 で な い 任 意 の 元 が 可 逆 元 で あ っ た 体 の 場 合 の 一 般 化 に な っ て い る ︶ 。 超 環 ︵ 英 語 版 ︶ 上 の 行 列 は 超 行 列 ︵ 英 語 版 ︶ と 呼 ば れ る 。
行 列 の 成 分 が 必 ず し も す べ て 同 じ 環 に 属 す る と い う わ け で は な い ︵ し 、 す べ て が 全 く 別 の 環 に 成 分 を 持 つ と い う わ け で も な い ︶ 。 一 つ の 特 別 な 、 し か し よ く 用 い ら れ る 場 合 と し て 、 成 分 自 体 が 行 列 と な っ て い る よ う な 行 列 と 見 な す こ と も で き る 区 分 行 列 が 挙 げ ら れ る 。 そ の 成 分 は 二 次 元 的 な 行 列 で あ る 必 要 は な い し 、 ま た 通 常 の 環 の 元 で あ る 必 要 も な い が 、 そ の 大 き さ に 関 し て は 適 当 な 両 立 条 件 を 満 足 す る も の で な け れ ば な ら な い 。
線 型 写 像 R n → R m は 既 に 述 べ た よ う に m × n 行 列 と 等 価 で あ る 。 一 般 に 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 線 型 写 像 f : V → W は ︵ V の 次 元 を n , W の 次 元 を m と し て ︶ V の 基 底 v 1 , … , v n と W の 基 底 w 1 , … , w m を 選 べ ば
f
(
v
j
)
=
∑
i
=
1
m
a
i
,
j
w
i
(
j
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)}
を 満 た す 行 列 A = ( a ij ) に よ っ て 記 述 す る こ と が で き る 。 言 い 換 え れ ば 、
A の 第 j - 列 は 基 底 ベ ク ト ル v j の 像 を W の 基 底 { w i } に 関 し て 表 し た も の に な っ て い る 。 従 っ て こ の よ う な 関 係 は 行 列 A の 成 分 か ら 一 意 的 に 定 ま る 。 注 意 す べ き は 線 型 写 像 を 表 す 行 列 は 基 底 の 取 り 方 に 依 存 す る こ と で あ る 。 基 底 の 取 り 方 を 変 え れ ば 別 な 行 列 が 生 じ る が 、 そ れ は も と の 行 列 と 同 値 に な る 。 既 に 述 べ た 具 体 的 な 概 念 の 多 く は こ の 方 法 を 通 し て 解 釈 し な お す こ と が で き る 。 例 え ば 転 置 行 列 A ⊤ は A の 定 め る 線 型 写 像 の 転 置 写 像 を 、 双 対 基 底 に 関 し て 記 述 す る も の で あ る 。 。
よ り 一 般 に 、 m × n 行 列 全 体 の 成 す 集 合 は 、 勝 手 な 単 位 的 環 R に 対 し て 自 由 加 群 R m お よ び R n の 間 の R - 線 型 写 像 を 表 す の に 利 用 す る こ と が で き る 。 n = m の と き 、 そ の よ う な 写 像 の 合 成 を 定 義 す る こ と が で き て 、 n - 次 正 方 行 列 全 体 の 成 す 全 行 列 環 が 、 R n の 自 己 準 同 型 環 を 表 現 す る も の と し て 生 じ る 。
群 と い う の は 集 合 と 二 項 演 算 ︵ つ ま り 、 任 意 の 二 つ の 対 象 を 結 合 し て 第 三 の 対 象 を 作 る 操 作 ︶ か ら な る 数 学 的 構 造 で 、 適 当 な 条 件 を 満 た す も の で あ る 。 行 列 を そ の 元 と し 、 行 列 の 積 を 群 演 算 と す る よ う な 群 は 、 行 列 群 ま た は 線 型 代 数 群 と 呼 ば れ る [ 注 釈 5 ] 。 群 の 任 意 の 元 は 可 逆 で あ る か ら 、 最 も 一 般 の 行 列 群 は 与 え ら れ た サ イ ズ の 可 逆 行 列 全 体 の 成 す 群 GL n で あ り 、 一 般 線 型 群 と 呼 ば れ る 。
行 列 の 性 質 の う ち で 積 と 反 転 に 関 し て 保 た れ る も の を 用 い る と 、 さ ら に 別 の 行 列 群 を 定 義 す る こ と も で き る 。 例 え ば 、 与 え ら れ た サ イ ズ の 行 列 式 が 1 で あ る よ う な 行 列 の 全 体 は 、 同 じ サ イ ズ の 一 般 線 型 群 に 含 ま れ る 部 分 群 と な り 、 特 殊 線 型 群 SL n と 呼 ば れ る 。 ま た 、 条 件
M ⊤ M = I
で 定 ま る 直 交 行 列 の 全 体 は 直 交 群 O ( n ) を 成 す 。 ﹁ 直 交 ﹂ の 名 は 、 対 応 す る R n の 線 型 変 換 が 、 M を 掛 け る 操 作 で 二 つ の ベ ク ト ル の 内 積 を 変 え な い
( Mv ) · ( Mw ) = v · w
と い う 意 味 で 角 を 保 つ こ と に 由 来 す る 。
任 意 の 有 限 群 は 何 ら か の 行 列 群 同 型 で あ る 。 な ん と な れ ば 対 称 群 の 正 則 表 現 を 考 え れ ば よ い 。 故 に 、 表 現 論 の 意 味 で 、 一 般 の 群 を 比 較 的 よ く わ か っ て い る 行 列 群 を 用 い て 調 べ る こ と が で き る 。
行 ま た は 列 の 数 を 無 限 に し た 行 列 と 呼 べ る よ う な も の も 考 え る こ と が で き る が 、 そ の よ う な も の を 陽 な か た ち に 書 き 記 す こ と は で き な い の で 、 行 を 添 字 付 け る 集 合 と 列 を 添 字 付 け る 集 合 を 用 意 し て ︵ 添 字 集 合 は 必 ず し も 自 然 数 か ら 成 る も の で な く て よ い ︶ 、 そ れ ら の 各 元 に 対 し て 行 列 の 成 分 が 矛 盾 無 く 定 義 さ れ る と い う 方 法 で 扱 う こ と に な る 。 こ の と き 、 和 ・ 差 、 ス カ ラ ー 倍 、 転 置 と い っ た 基 本 演 算 に つ い て は 問 題 な く 定 義 さ れ る が 、 行 列 の 乗 法 に 関 し て は そ の 成 分 が 無 限 和 と し て 与 え ら れ る こ と に な り 、 こ れ は ︵ 適 当 な 制 約 条 件 を 抜 き に し て は ︶ 一 般 に は 定 義 さ れ な い 。
R を 任 意 の 単 位 的 環 と す れ ば 、 右 R - 加 群 と し て の
M
=
⨁
i
∈
I
R
{\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}
の 自 己 準 同 型 環 は 、 I × I で 添 字 付 け ら れ 、 各 列 の 非 零 成 分 の 数 が 有 限 個 で あ る よ う な 列 有 限 行 列 の 環 C F M I ( R ) に 同 型 で あ る 。 こ れ と 対 応 す る も の と し て 、 左 R - 加 群 と し て の M の 自 己 準 同 型 環 を 考 え れ ば 、 同 様 に 各 行 の 非 零 成 分 の 数 が 有 限 な 行 有 限 行 列 の 環 R F M I ( R ) が 得 ら れ る 。
無 限 次 元 行 列 を 線 型 写 像 を 記 述 す る の に 用 い る な ら ば 、 次 に 述 べ る よ う な 理 由 か ら 、 そ の 各 列 ベ ク ト ル が 有 限 個 の 例 外 を 除 い て 全 て の 成 分 が 0 と な る も の と な ら な け れ ば 無 用 で あ る 。 A が 適 当 な 基 底 に 関 し て 線 型 写 像 f : V → W を 表 現 す る も の と す る と 、 そ れ は 定 義 に よ り 、 空 間 の 任 意 の ベ ク ト ル を 基 底 ベ ク ト ル の ︵ 有 限 ︶ 線 型 結 合 と し て 一 意 に 表 す こ と に よ っ て 与 え ら れ る の で あ る か ら 、 従 っ て ︵ 列 ︶ ベ ク ト ル v の 成 分 v i で 非 零 と な る も の は 有 限 個 に 限 ら れ る 。 ま た 、 A の 各 列 は V の 各 基 底 ベ ク ト ル の f に よ る 像 を W の 基 底 に 関 し て 表 し た も の と な っ て い る か ら 、 こ れ が 意 味 を 持 つ の は こ れ ら の 列 ベ ク ト ル の 非 零 成 分 が 有 限 個 で あ る 場 合 に 限 る 。 し か し 一 方 で 、 A の 行 に 関 し て は 何 の 制 約 も な い 。 事 実 、 v の 非 零 成 分 が 有 限 個 で あ る な ら ば 、 積 Av は そ の 各 成 分 が 見 か け 上 無 限 和 の 形 で 与 え ら れ る と し て も 、 実 際 に は そ れ は 非 零 の 項 が 有 限 個 し か な い か ら 、 間 違 い な く 決 定 す る こ と が で き る 。 さ ら に 言 え ば 、 こ れ は A の 実 質 的 に 有 限 個 の 列 の 線 型 結 合 を 成 す こ と に な り 、 ま た 各 列 の 非 零 成 分 は 有 限 個 だ か ら 結 果 と し て 得 ら れ る 和 も 非 零 成 分 が 有 限 個 に な る 。 ︵ 通 常 は 、 行 と 列 が 同 じ 集 合 で 添 字 付 け ら れ る よ う な ︶ 与 え ら れ た 型 の 二 つ の 行 列 の 積 は 矛 盾 無 く 定 義 で き て 、 も と と 同 じ 型 を 持 ち 、 線 型 写 像 の 合 成 に 対 応 す る こ と も 確 認 で き る 。
R が ノ ル ム 環 な ら ば 、 行 ま た は 列 に 関 す る 有 限 性 条 件 を 緩 め る こ と が で き る 。 す な わ ち 、 有 限 和 の 代 わ り に 、 そ の ノ ル ム に 関 す る 絶 対 収 束 級 数 を 考 え れ ば よ い 。 例 え ば 、 列 和 が 絶 対 収 束 列 と な る よ う な 行 列 の 全 体 は 環 を 成 す 。 も ち ろ ん 同 様 に 、 行 和 が 絶 対 収 束 列 と な る よ う な 行 列 の 全 体 も 環 を 成 す 。
こ の 文 脈 で は 、 収 束 し て 連 続 的 な 問 題 を 生 じ 、 適 当 な 制 約 条 件 を 満 た す よ う な 無 限 次 行 列 は ヒ ル ベ ル ト 空 間 上 の 作 用 素 を 記 述 す る も の と し て 利 用 す る こ と が で き る 。 し か し 、 こ の よ う な や り 方 は 行 列 と し て の 陽 な 観 点 は 曖 昧 に な り が ち [ 注 釈 6 ] で あ り 、 む し ろ そ の 代 わ り に 関 数 解 析 学 の 抽 象 的 で よ り 強 力 な 手 法 が 利 用 で き る 。
空 行 列 は 行 ま た は 列 ︵ あ る い は そ の 両 方 ︶ の 数 が 0 で あ る よ う な 行 列 を い う [ 注 釈 7 ] 。 零 ベ ク ト ル 空 間 を 含 め て 写 像 を 考 え る 場 合 に 、 空 行 列 は 役 に 立 つ 。 例 え ば 、 A が 3 × 0 行 列 で B が 0 × 3 行 列 な ら ば 、 積 AB は 三 次 元 空 間 V か ら そ れ 自 身 へ の 空 写 像 に 対 応 す る 3 × 3 零 行 列 で あ る 。 空 行 列 を 表 す 記 号 と い う の は 特 に 定 ま っ て は い な い が 、 多 く の 数 式 処 理 シ ス テ ム で は 空 行 列 を 作 成 し た り 空 行 列 に 関 す る 計 算 を し た り す る こ と が で き る 。 0 × 0 行 列 の 行 列 式 は 1 と 定 義 さ れ る 。 こ れ は 行 列 式 に 関 す る ラ イ プ ニ ッ ツ の 公 式 ︵ 置 換 に 関 す る 和 と し て 表 す 公 式 ︶ が 空 積 と な り 、 そ れ は 通 常 1 で あ る こ と に よ る 。 ま た こ の こ と は 、 任 意 の 有 限 次 元 空 間 に お け る 恒 等 変 換 ︵ に 対 応 す る 行 列 ︶ の 行 列 式 が 1 で あ る と い う 事 実 と も 整 合 す る 。
行 列 は 数 学 と 科 学 に お け る 数 多 く の 場 面 で 応 用 さ れ る 。 そ の う ち の い く つ か は 単 に 行 列 に お け る 数 字 の 組 を 簡 潔 に 表 現 す る た め に 利 用 さ せ る 。 例 え ば 、 ゲ ー ム 理 論 や 経 済 学 に お け る 利 得 行 列 は 2 人 の プ レ イ ヤ ー の 利 得 を 符 号 化 す る 。
複 素 数 は 2 × 2 の 実 行 列 で
a
+
i
b
↔
[
a
−
b
b
a
]
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}
の よ う に 表 現 す る こ と で 複 素 数 と 行 列 に お け る 和 と 積 を そ れ ぞ れ 対 応 さ せ る こ と が 可 能 と な る 。 例 え ば 2 × 2 の 回 転 行 列 は 絶 対 値 が 1 で あ る 複 素 数 の 乗 算 を 表 す 。 こ れ と 同 じ よ う な 解 釈 は 一 般 に 四 元 数 や ク リ フ ォ ー ド 代 数 に お い て も 可 能 で あ る 。
運 動 学 や ロ ボ ッ ト 工 学 の 分 野 で は 、 2 次 元 ま た は 3 次 元 空 間 に お け る 物 体 の 位 置 や 姿 勢 ︵ 回 転 角 ︶ を 表 現 す る の に 行 列 が 用 い ら れ 、 ベ ク ト ル お よ び ク ォ ー タ ニ オ ン ︵ 四 元 数 ︶ と と も に 姿 勢 制 御 に 応 用 さ れ て い る 。 任 意 の オ イ ラ ー 角 は 回 転 行 列 の 積 で 表 現 で き る 。 ま た 、 同 次 座 標 ︵ 英 語 版 ︶ 系 で の 座 標 変 換 を 導 入 す る た め に 、 2 次 元 ベ ク ト ル を 座 標 変 換 す る 際 は 同 次 座 標 を 追 加 し た 3 次 元 ベ ク ト ル と 3 × 3 行 列 の 積 が 、 3 次 元 ベ ク ト ル を 座 標 変 換 す る 際 は 同 次 座 標 を 追 加 し た 4 次 元 ベ ク ト ル と 4 × 4 行 列 の 積 が 使 用 さ れ る 。 コ ン ピ ュ ー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス で も 、 ア フ ィ ン 変 換 を 使 っ て 2 次 元 平 面 上 の 図 形 を 平 行 移 動 ・ 回 転 ・ 拡 大 縮 小 ・ せ ん 断 変 形 し た り 、 ポ リ ゴ ン メ ッ シ ュ や 自 由 曲 面 を 使 っ て 仮 想 空 間 上 に 物 体 を 表 現 す る 際 、 物 体 を 構 成 す る 頂 点 集 合 の 位 置 や 姿 勢 を 表 し た り 、 カ メ ラ の 画 角 を 表 現 し た り 、 3 次 元 空 間 上 の モ デ ル を 正 規 化 デ バ イ ス 座 標 系 や 2 次 元 の ス ク リ ー ン 座 標 系 に 投 影 し た り す る の に 行 列 が 使 わ れ て い る 。
ヒ ル 暗 号 の よ う な 初 期 の 暗 号 技 術 に お い て も 行 列 は 用 い ら れ る 。 し か し 、 行 列 の 線 型 性 に よ っ て 、 こ の よ う な 暗 号 は か な り 簡 単 に 突 破 さ れ て し ま う 。
多 項 式 環 に お け る 行 列 は 制 御 理 論 を 学 ぶ 際 に 重 要 と な る 。
図のような無向グラフの隣接行列は
[
1
1
0
1
0
1
0
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}
である。
有限グラフの隣接行列 はグラフ理論 における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、距離行列 は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念はハイパーリンク によって繋がれたウェブサイト や道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことからネットワーク理論 においても行列は用いられることとなる。
微分可能関数 ƒ : R n → R のヘッセ行列 はƒ の二階導関数によって
H
(
f
)
=
[
∂
2
f
∂
x
i
∂
x
j
]
{\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right]}
のようになる。これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。
^ 下線や二重下線などを付けることもあるが、これはタイプライター原稿で用いられた太字書体を指示する書式の名残[2]
^ OED によれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. J. Sylvester in London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37 (1850), p. 369: "We ‥commence‥ with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.
^ これは与えられた行列の全ての成分が加法逆元を持つ限りにおいて、加法のみから定められることに注意。特にスカラー乗法が(任意のスカラーと任意の行列に対する演算として)定義されている必要はない。従って、同じサイズの任意の行列に対する減法を定めるならば、例えば係数域が加法についてアーベル群 であれば十分であるが、通例として行列の係数域は何らかの可換環と仮定するから、それには環の加法群構造を用いればよい
^ 正方行列でない行列に対して行列式を考える理論も存在する。これは C. E. Cullis により導入された。[27]
^ 普通はさらに一般線型群の閉集合 となることも要求する。
^ "Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps."
^ "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero",[43] "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", [44]
(一) ^ a b c d e 斎 藤 2 0 1 7 、 21 頁 。
(二) ^ h t t p s : / / r a k s u l . c o m / d i c t i o n a r y / u n d e r l i n e /
(三) ^ S h e n , C r o s s l e y & L u n 1 9 9 9 c i t e d b y B r e t s c h e r 2 0 0 5 , p . 1
(四) ^ N e e d h a m , J o s e p h ; W a n g L i n g ( 1 9 5 9 ) . S c i e n c e a n d C i v i l i s a t i o n i n C h i n a . I I I . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . p . 1 1 7 . I S B N 9 7 8 0 5 2 1 0 5 8 0 1 8 . https://books.google.co.jp/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117
(五) ^ C a y l e y 1 8 8 9 , p p . 4 7 5 – 4 9 6 , v o l . I I .
(六) ^ D i e u d o n n é 1 9 7 8 , p . 9 6 , V o l . 1 , C h . I I I .
(七) ^ M e r r i a m – W e b s t e r d i c t i o n a r y , M e r r i a m – W e b s t e r , http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix 2 0 0 9 年 4 月 20 日 閲 覧 。
(八) ^ T h e C o l l e c t e d M a t h e m a t i c a l P a p e r s o f J a m e s J o s e p h S y l v e s t e r : 1 8 3 7 – 1 8 5 3 , P a p e r 3 7 , p . 2 4 7
(九) ^ K n o b l o c h 1 9 9 4 .
(十) ^ H a w k i n s 1 9 7 5 .
(11) ^ K r o n e c k e r 1 8 9 7 .
(12) ^ W e i e r s t r a s s 1 9 1 5 , p p . 2 7 1 – 2 8 6 .
(13) ^ B ô c h e r 2 0 0 4 .
(14) ^ M e h r a & R e c h e n b e r g 1 9 8 7 .
(15) ^ a b c d 斎 藤 2 0 1 7 、 23 頁 。
(16) ^ a b 斎 藤 2 0 1 7 、 24 頁 。
(17) ^ a b 斎 藤 2 0 1 7 、 25 頁 。
(18) ^ a b 斎 藤 2 0 1 7 、 31 頁 。
(19) ^ 斎 藤 2 0 1 7 、 89 頁 。
(20) ^ B r o w n 1 9 9 1 , D e f i n i t i o n I I . 3 . 3 .
(21) ^ G r e u b 1 9 7 5 , S e c t i o n I I I . 1 .
(22) ^ B r o w n 1 9 9 1 , T h e o r e m I I . 3 . 2 2 .
(23) ^ a b 斎 藤 2 0 1 7 、 34 頁 。
(24) ^ 斎 藤 2 0 1 7 、 26 頁 。
(25) ^ h t t p : / / w w w 2 . m a t h . k y u s h u - u . a c . j p / ~ t n o m u r a / E d A c t / 2 0 1 0 T K R . p d f
(26) ^ S t e p h e n P . B o y d . “ C r i m e s a g a i n s t M a t r i c e s ” ( p d f ) . 2 0 1 3 年 3 月 2 日 閲 覧 。
(27) ^ 中 神 祥 臣 ・ 柳 井 晴 夫 著 、 ﹃ 矩 形 行 列 の 行 列 式 ﹄ 、 丸 善 、 2 0 1 2 年 。 I S B N 9 7 8 - 4 - 6 2 1 - 0 6 5 0 8 - 2 .
(28) ^ G r e u b 1 9 7 5 , S e c t i o n I I I . 2 .
(29) ^ C o b u r n 1 9 5 5 , C h . V .
(30) ^ L a n g 2 0 0 2 , C h a p t e r X I I I .
(31) ^ L a n g 2 0 0 2 , X V I I . 1 , p . 6 4 3 .
(32) ^ L a n g 2 0 0 2 , P r o p o s i t i o n X I I I . 4 . 1 6 .
(33) ^ R e i c h l 2 0 0 4 , S e c t i o n L . 2 .
(34) ^ G r e u b 1 9 7 5 , S e c t i o n I I I . 3 .
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(37) ^ B a k e r 2 0 0 3 , T h e o r e m 1 . 2 .
(38) ^ A r t i n 1 9 9 1 , C h a p t e r 4 . 5 .
(39) ^ A r t i n 1 9 9 1 , T h e o r e m 4 . 5 . 1 3 .
(40) ^ R o w e n 2 0 0 8 , E x a m p l e 1 9 . 2 , p . 1 9 8 .
(41) ^ I t õ 1 9 8 7 , " M a t r i x " .
(42) ^ H a l m o s 1 9 8 2 , p . 2 3 , C h a p t e r 5 .
(43) ^ G l o s s a r y , O - M a t r i x v 6 U s e r G u i d e .
(44) ^ M A T L A B D a t a S t r u c t u r e s
● A r n o l d , V . I . ; C o o k e , R o g e r ( 1 9 9 2 ) , O r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 5 4 8 1 3 - 3
● A r t i n , M i c h a e l ( 1 9 9 1 ) , A l g e b r a , P r e n t i c e H a l l , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 9 8 7 1 - 5 1 0 - 1
● A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g M a c h i n e r y ( 1 9 7 9 ) , C o m p u t e r G r a p h i c s , T a t a M c G r a w – H i l l , I S B N 9 7 8 - 0 - 0 7 - 0 5 9 3 7 6 - 3
● B a k e r , A n d r e w J . ( 2 0 0 3 ) , M a t r i x G r o u p s : A n I n t r o d u c t i o n t o L i e G r o u p T h e o r y , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 1 - 8 5 2 3 3 - 4 7 0 - 3
● B a u I I I , D a v i d ; T r e f e t h e n , L l o y d N . ( 1 9 9 7 ) , N u m e r i c a l l i n e a r a l g e b r a , P h i l a d e l p h i a : S o c i e t y f o r I n d u s t r i a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 9 8 7 1 - 3 6 1 - 9
● B r e t s c h e r , O t t o ( 2 0 0 5 ) , L i n e a r A l g e b r a w i t h A p p l i c a t i o n s ( 3 r d e d . ) , P r e n t i c e H a l l
● B r o n s o n , R i c h a r d ( 1 9 8 9 ) , S c h a u m ' s o u t l i n e o f t h e o r y a n d p r o b l e m s o f m a t r i x o p e r a t i o n s , N e w Y o r k : M c G r a w – H i l l , I S B N 9 7 8 - 0 - 0 7 - 0 0 7 9 7 8 - 6
● B r o w n , W i l l i a m A . ( 1 9 9 1 ) , M a t r i c e s a n d v e c t o r s p a c e s , N e w Y o r k : M . D e k k e r , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 2 4 7 - 8 4 1 9 - 5
● C o b u r n , N a t h a n i e l ( 1 9 5 5 ) , V e c t o r a n d t e n s o r a n a l y s i s , N e w Y o r k : M a c m i l l a n , O C L C 1 0 2 9 8 2 8
● C o n r e y , J . B . ( 2 0 0 7 ) , R a n k s o f e l l i p t i c c u r v e s a n d r a n d o m m a t r i x t h e o r y , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , I S B N 9 7 8 - 0 - 5 2 1 - 6 9 9 6 4 - 8
● F u d e n b e r g , D . ; T i r o l e , J e a n ( 1 9 8 3 ) , G a m e T h e o r y , M I T P r e s s
● G i l b a r g , D a v i d ; T r u d i n g e r , N e i l S . ( 2 0 0 1 ) , E l l i p t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f s e c o n d o r d e r ( 2 n d e d . ) , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 4 1 1 6 0 - 4
● G o d s i l , C h r i s ; R o y l e , G o r d o n ( 2 0 0 4 ) , A l g e b r a i c G r a p h T h e o r y , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , 2 0 7 , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 5 2 2 0 - 8
● G o l u b , G e n e H . ; V a n L o a n , C h a r l e s F . ( 1 9 9 6 ) , M a t r i x C o m p u t a t i o n s ( 3 r d e d . ) , J o h n s H o p k i n s , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 0 1 8 - 5 4 1 4 - 9
● G o l u b , G e n e H . ; V a n L o a n , C h a r l e s F . ( 2 0 1 3 ) , M a t r i x C o m p u t a t i o n s ( 4 t h e d . ) , J o h n s H o p k i n s , I S B N 9 7 8 - 1 - 4 2 1 4 - 0 7 9 4 - 4
● G r e u b , W e r n e r H i l d b e r t ( 1 9 7 5 ) , L i n e a r a l g e b r a , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 0 1 1 0 - 7
● H a l m o s , P a u l R i c h a r d ( 1 9 8 2 ) , A H i l b e r t s p a c e p r o b l e m b o o k , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , 19 ( 2 n d e d . ) , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 0 6 8 5 - 0 , MR 6 7 5 9 5 2
● H o r n , R o g e r A . ; J o h n s o n , C h a r l e s R . ( 2 0 1 3 ) . M a t r i x a n a l y s i s ( S e c o n d e d . ) . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . I S B N 9 7 8 - 0 - 5 2 1 - 5 4 8 2 3 - 6 . MR 2 9 7 8 2 9 0 . https://books.google.co.jp/books?id=5I5AYeeh0JUC
● H o u s e h o l d e r , A l s t o n S . ( 1 9 7 5 ) , T h e t h e o r y o f m a t r i c e s i n n u m e r i c a l a n a l y s i s , N e w Y o r k : D o v e r P u b l i c a t i o n s , MR 0 3 7 8 3 7 1
● K r z a n o w s k i , W . J . ( 1 9 8 8 ) , P r i n c i p l e s o f m u l t i v a r i a t e a n a l y s i s , O x f o r d S t a t i s t i c a l S c i e n c e S e r i e s , 3 , T h e C l a r e n d o n P r e s s O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , I S B N 9 7 8 - 0 - 1 9 - 8 5 2 2 1 1 - 9 , MR 9 6 9 3 7 0
● I t õ , K i y o s i , e d . ( 1 9 8 7 ) , E n c y c l o p e d i c d i c t i o n a r y o f m a t h e m a t i c s . V o l . I - - I V ( 2 n d e d . ) , M I T P r e s s , I S B N 9 7 8 - 0 - 2 6 2 - 0 9 0 2 6 - 1 , MR 9 0 1 7 6 2
● L a n g , S e r g e ( 1 9 6 9 ) , A n a l y s i s I I , A d d i s o n - W e s l e y
● L a n g , S e r g e ( 1 9 8 7 a ) , C a l c u l u s o f s e v e r a l v a r i a b l e s ( 3 r d e d . ) , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 6 4 0 5 - 8
● L a n g , S e r g e ( 1 9 8 7 b ) , L i n e a r a l g e b r a , B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 6 4 1 2 - 6
● L a n g , S e r g e ( 2 0 0 2 ) , A l g e b r a , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , 2 1 1 ( R e v i s e d t h i r d e d . ) , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 5 3 8 5 - 4 , MR 1 8 7 8 5 5 6 , https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC
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● O n l i n e I n v e r s e M a t r i x C a l c u l a t o r u s i n g A J A X
● O n l i n e C a l c u l a t o r - O p e r a t i o n w i t h m a t r i c e s i n R ( d e t e r m i n a n t , t r a c k , i n v e r s e , a d j o i n t , t r a n s p o s e )
● ﹃ 行 列 ﹄ - コ ト バ ン ク
歴 史
● M a c T u t o r : M a t r i c e s a n d d e t e r m i n a n t s
● M a t r i c e s a n d L i n e a r A l g e b r a o n t h e E a r l i e s t U s e s P a g e s
● E a r l i e s t U s e s o f S y m b o l s f o r M a t r i c e s a n d V e c t o r s
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● M a t r i x F o r m u l a s
関 連 す る 学 会 、 学 術 雑 誌 等
● 日 本 応 用 数 理 学 会 ﹁ 行 列 ・ 固 有 値 問 題 の 解 法 と そ の 応 用 ﹂ 研 究 部 会