半正多面体
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半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) またはアルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものである。また、対称性が低い (Dihedral) 角柱・反角柱・ミラーの立体も除く。全部で13種類ある。
一様多面体の条件は、全ての面が正多角形で、頂点形状が合同︵頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ︶なことである。正多面体︵別名‥プラトンの立体︶は除外するので、半正多面体の面は2種類以上の正多角形で構成される。
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。
semi-regular polyhedron のことを準正多面体ということがあるが、数学用語の一般的な訳し方に沿うなら semi-regular polyhedron は半正多面体、quasi-regular polyhedron は準正多面体である[1]。
一覧
編集多面体 | 構成面 | 面 | 辺 | 頂点 | 頂点形状 | 双対 | 図 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
切頂四面体 | 正三角形 4枚
正六角形 4枚 |
8 | 18 | 12 | 3,6,6 | 三方四面体 | |
切頂六面体 | 正三角形 8枚
正八角形 6枚 |
14 | 36 | 24 | 3,8,8 | 三方八面体 | |
切頂八面体 | 正方形 6枚
正六角形 8枚 |
14 | 36 | 24 | 4,6,6 | 四方六面体 | |
切頂十二面体 | 正三角形 20枚
正十角形 12枚 |
32 | 90 | 60 | 3,10,10 | 三方二十面体 | |
切頂二十面体
(サッカーボール型) |
正五角形 12枚
正六角形 20枚 |
32 | 90 | 60 | 5,6,6 | 五方十二面体 | |
立方八面体 | 正三角形 8枚
正方形 6枚 |
14 | 24 | 12 | 3,4,3,4 | 菱形十二面体 | |
二十・十二面体 | 正三角形 20枚
正五角形 12枚 |
32 | 60 | 30 | 3,5,3,5 | 菱形三十面体 | |
斜方立方八面体 | 正三角形 8枚
正方形 18枚 |
26 | 48 | 24 | 3,4,4,4 | 凧形二十四面体 | |
斜方二十・十二面体 | 正三角形 20枚
正方形 30枚 |
62 | 120 | 60 | 3,4,5,4 | 凧形六十面体 | |
斜方切頂立方八面体 | 正方形 12枚
正六角形 8枚 |
26 | 72 | 48 | 4,6,8 | 六方八面体 | |
斜方切頂二十・十二面体 | 正方形 30枚
正六角形 20枚 |
62 | 180 | 120 | 4,6,10 | 六方二十面体 | |
変形立方体
(鏡像あり) |
正三角形 32枚
正方形 6枚 |
38 | 60 | 24 | 3,3,3,3,4 | 五角二十四面体 | |
変形十二面体
(鏡像あり) |
正三角形 80枚
正五角形 12枚 |
92 | 150 | 60 | 3,3,3,3,5 | 五角六十面体 |
半正多面体でない多面体
編集
﹁面が正多角形で頂点形状が合同﹂という条件を満たすが、対称性が低いために半正多面体に含められない多面体に、ミラーの立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱がある。
ミラーの立体は、斜方立方八面体の上部三分の一を45度ひねった多面体である。頂点形状は合同であるが、対称性が2次元的で (D4d)、頂点に関する推移性を満たさない。ただし、ミラーの立体を半正多面体に含め、キラルな変形立方体と変形十二面体の鏡像を区別し、半正多面体を16種類とする場合もある。[2]
アルキメデスの正角柱とアルキメデスの反角柱を含めないのは、一般に対称性が2次元的であることの他、種類が無限にあることも理由である。アルキメデスの立体と言った場合は含むこともある。
正多面体からの作製
編集
半正多面体は、正多面体のいずれかを削って作ると考えて、以下の5種類に分類することができる。[3]
切頂 n面体
正 n面体の頂点まわりを切頂したもの。切隅 n面体、切頭 n面体とも。拡張シュレーフリ記号は t{p, q}
n・m 面体︵準正多面体︶
正 nまたは m面体の頂点まわりを各辺の中点まで切ったもの。拡張シュレーフリ記号は
斜方 n・m 面体
正 nまたは m面体の各辺まわりの切稜と頂点まわりの切頂を組み合わせたもの。そのうち切頂面が正三角形のものを指す。小斜方 n・m 面体、︵小︶菱形 n・m 面体とも。拡張シュレーフリ記号は
斜方切頂 n・m 面体
正 nまたは m面体の各辺まわりの切稜と頂点まわりの切頂を組み合わせたもの。そのうち切頂面が正六角形のものを指す。
大斜方 n・m 面体、大菱形 n・m 面体とも。拡張シュレーフリ記号は
[注意] ﹁n・m 面体の頂点を切ったもの。切頂 n・m 面体﹂というような説明や理解も存在するが、準正多面体 n・m 面体 を切頂した面は、正方形とはならず長方形となるので、誤りである。
変形 n面体
正 n面体の面上に、縮小した各面を捩じって配置し、隣接する頂点が正三角形となるように切り取ったもの。鏡像がある。捩れ n面体とも呼ばれる。拡張シュレーフリ記号は
双対
編集出典
編集- ^ コラム第7回 自分で自分の首を絞めた話 ~準正多面体と半正多面体~
- ^ 正多面体を解く. 東海大学出版会. (2002)
- ^ 正多面体を解く. 東海大学出版会. (2002/5/20)