シュレーフリ記号

シュレーフリ記号︵シュレーフリきごう、Schläfli symbol︶は、正多胞体を {p,q,r,...} の形で記述する記法。なお日本語ではシュレーフリの記号とも言うが、Schläfli's symbolとはあまり言わない。19世紀スイスの幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリ (Ludwig Schläfli (en), 1814-1895) が発案した。

正多胞体とは、正多角形・正多面体の一般次元への一般化である。なお、線分は1次元、正多角形は2次元、正多面体は3次元の正多胞体とみなす。また、星型正多胞体と正空間充填形を正多胞体に含めて述べる︵ただし、正空間充填形は1つ上の次元の正多胞体とみなす︶。たとえば、3次元では星型正多面体と正平面充填形を正多面体に含める。

一様多胞体を記述できる拡張シュレーフリ記号 (extended Schläfli symbol) を含めてシュレーフリ記号と言うこともあるが、ここではまず狭義のシュレーフリ記号について述べ、拡張シュレーフリ記号については最後に述べる。

定義

次のように再帰的に適用される。

(一)線分のシュレーフリ記号は {} である。

(二)正p角形のシュレーフリ記号は {p}である。

(三)n ≧ 3 のとき、各ピークに n- 1 次元正多胞体のファセット {p₁, p₂, ... ,p_n - 2} が q個集まった n次元正多胞体のシュレーフリ記号は {p₁, p₂, ... ,p_n - 2, q} である。

ピーク (peak)、リッジ (ridge)、ファセット (facet) とは、n 次元多胞体のそれぞれ n- 3、n - 2、n - 1 次元要素 (element) である。例えば、多面体︵3次元多胞体︶に対しては頂点︵0次元要素︶・辺︵1次元要素︶・面︵2次元要素︶、4次元多胞体に対しては辺︵1次元要素︶・面︵2次元要素︶・セル︵3次元要素︶である。

ある低次元要素に集まるファセットの様子は、その要素の次元が高いほど単純である。ただし、最も高次元なリッジに集まるファセットは、単純すぎて常に2個であり︵たとえば、正多面体の辺には常に2面が集まる︶、正多胞体の性質を現さない。そこで、次に高次元な、ピークに集まるファセットの個数を使えば、最も簡潔に多胞体の性質を表すことができる。

非整数は 5/2 のようにスラッシュを使った分数で記述する。分母︵先の例では2︶は、星型多角形の密度を表す。ピークに集まるファセットも、星型多角形のように密度を持ちえ、その場合分数表記される。

性質

n次元正多胞体とそのシュレーフリ記号 {p₁,p₂,...,p_n - 1} には以下の性質がある。

●数値の個数は n- 1 個である。

●正多胞体では数値は全て整数だが、星型正多胞体では1つが分数である。

●3次元以上の狭義の正多胞体では、数値は 3, 4, 5 の3種類しか現れない︵星型正多胞体では5/2、ユークリッド空間充填形では6が加わる︶。5次元以上では3, 4の2種類しか現れない。

●m 次元要素は m次元正多胞体 {p₁,p₂,...,p_m - 1} である。

●m 次元要素の近傍の適切な n- m- 1 次元超断面︵n - m- 1 次元超平面との共通部分、断面の一般次元への拡張︶は、 n- m- 1 次元正多胞体 {p_m + 2,p_m + 3,...,p_n - 1} である。

●双対多胞体は {p_n - 1,p_n - 2,...,p₁} である。

特に、正多面体とそのシュレーフリ記号 { p, q} には以下の性質がある。

●面は正 p角形である。

●各頂点には q個の面が集まっている。つまり、頂点近傍の適切な平面での断面は正 q多角形である。つまり、頂点を切頭すると正 q多角形が現れる。

●双対多面体は { q, p} である。

例

2次元

• 正n角形 - {n}
• 正n/m角形 - {n/m}

3次元

• 正四面体 - {3,3}
• 正六面体 - {4,3} （立方体）
• 正八面体 - {3,4}
• 正十二面体 - {5,3}
• 正二十面体 - {3,5}
• 小星型十二面体 - {5/2,5}
• 大十二面体 - {5,5/2}
• 大星型十二面体 - {5/2,3}
• 大二十面体 - {3,5/2}
• 正三角形による平面充填形 - {3,6}
• 正方形による平面充填形 - {4,4}
• 正六角形による平面充填形 - {6,3}

4次元

• 正五胞体 - {3,3,3}
• 正八胞体 - {4,3,3}
• 正十六胞体 - {3,3,4}
• 正二十四胞体 - {3,4,3}
• 正百二十胞体 - {5,3,3}
• 正六百胞体 - {3,3,5}
• 大壮星型百二十胞体 - {5/2,3,3}
• 壮六百胞体 - {3,3,5/2}
• 大星型百二十胞体 - {5/2,3,5}
• 壮百二十胞体 - {5,3,5/2}
• 壮星型百二十胞体 - {5/2,5,5/2}
• 小星型百二十胞体 - {5/2,5,3}
• 二十面体百二十胞体 - {3,5,5/2}
• 大二十面体百二十胞体 - {3,5/2,5}
• 大壮百二十胞体 - {5,5/2,3}
• 大百二十胞体 - {5,5/2,5}
• 立方体による空間充填形 - {4,3,4}

5次元以上

• 正単体 - {3,3,...,3}
• 正測体 - {4,3,3,...,3}
• 正軸体 - {3,3,...,3,4}
• 正測体による空間充填形 - {4,3,3,...,3,4}
• 正八胞体による空間充填形 - {4,3,3,4}
• 正十六胞体による空間充填形 - {3,3,4,3}
• 正二十四胞体による空間充填形 - {3,4,3,3}

直積

複数のシュレーフリ記号を { ... } × { ... } × ... × { ... } と記載することで、直積集合を表現できる。

3次元の例

• 正p角柱（特にアルキメデスのp角柱） - {} × {p} （{p} × {} でも可）
• 直方体（特に立方体） - {} × {} × {}

拡張シュレーフリ記号

詳細は「en:Schläfli_symbol#Extended Schläfli symbols for uniform polytopes」を参照

シュレーフリ記号を拡張した拡張シュレーフリ記号は、一様多胞体を表すことができる。拡張シュレーフリ記号を含めてシュレーフリ記号ということもある。

一様多胞体とは、各ファセットが1次元低い一様多胞体︵必ずしも合同ではない︶で、各頂点の近傍が合同な多胞体である。たとえば、一様多面体︵3次元一様多胞体︶には正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反正角柱、およびそれらを一般化した星型多面体が含まれる。

なお、一様多胞体は各頂点の近傍が合同なため、拡張シュレーフリ記号以外に、ディンキン図形︵コクセター・ディンキン図形︶や頂点形状でも記述できる︵ただし、4次元以上の一様多胞体の頂点形状を簡潔に記述することは難しい︶。一様多面体はワイソフ記号でも記述できる。またすでに述べたとおり、アルキメデスの正角柱︵およびその高次元への一般化︶はシュレーフリ記号の直積でも記述できる。

3次元の例

• アルキメデスのp角柱 - t{2,p}
• アルキメデスの反p角柱 - s{2,p} （正式には $s{\begin{Bmatrix}2\\p\end{Bmatrix}}$）