対称差

数学において、2つの集合

A

と

B

との対称差︵たいしょうさ、英: symmetric difference^[1]︶とは、“

A

に属し、

B

に属さないもの” と “

B

に属し、

A

に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である^[2]。一般に、集合

A

と

B

との対称差を、記号

ベン図による対称差の表現

性質

対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる^[2]‥

A △ B = (A - B) \cup (B - A)

。

X

を1つの集合とし、

A, B

を

X

の2つの部分集合とする。集合

{0, 1}

における二項演算として排他的論理和

\oplus : {0,

1} \times {0, 1}

→

{0, 1}

を定義すれば、

X

における指示関数に関して次が成り立つ‥

X

の任意の元

x

に対して

χ A △ B (x) = χ A (x) \oplus χ B (x)

。アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける‥

[x \in A △ B] = [x \in A] \oplus [x \in B]

。対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる^[2]‥

A △ B = (A \cup B) - (A \cap B)

。特に、

A △ B

は

A \cup B

の部分集合である‥

A △ B \subset A \cup B

。また、

A

と

B

とが互いに素であるときかつそのときに限り

A △ B

= A \cup B

である。さらには、

A △ B

と

A \cap B

とは互いに素であって、集合

{A △ B, A \cap B}

は

A \cup B

の1つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

A \cup B = (A △ B) △ (A \cap B)

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質

対称差について、次の4つが成り立つ^[2]‥ (一)

(A △ B) △ C = A △ (B △ C)

︵結合法則︶、 (二)

A △ \emptyset = \emptyset △ A = A

、 (三)

A △ A = \emptyset

、 (四)

A △ B = B △ A

︵交換法則︶。

X

を1つの集合とし、

P (X)

を

X

の冪集合とする。

P (X)

\times P (X)

の元

(A, B)

に

P (X)

の元

A △ B

を対応させれば、

P (X)

における1つの二項算法が得られる。上の4つの性質から、その算法に関して

P (X)

はアーベル群となる。空集合

\emptyset

はその群の単位元である。

P (X)

の任意の元

A

に対して

A

は

A

の逆元であるから、

P (X)

はブール群でもある。

X

がちょうど2個の元から成る集合であるならば、その可換群

P (X)

はクラインの四元群

Z 2 \times Z 2

^[注釈1]と同型である。共通部分は対称差に対して分配法則を満たす^[2]‥

A \cap (B △ C) = (A \cap B) △ (A \cap C)

。よって、

X

を1つの集合とするとき、

P (X) \times P (X)

の元

(A, B)

に

P (X)

の元

A △ B

を対応させて得られる二項算法を加法とし、

P (X) \times P (X)

の元

(A, B)

に

P (X)

の元

A \cap B

を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、

P (X)

は環となる。また、

P (X)

はブール環でもある。

その他の性質

$X$ を 1 つの集合とし、 $A, B$ を $X$ の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

A △ B = (X - A) △ (X - B)

。 ●

Λ

を1つの集合とし、

Λ

の各元

λ

に対して2つの集合

A λ

, B λ

が定められているとき、次が成り立つ‥

{\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }{\biggr )}\bigtriangleup {\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }{\biggr )}\subset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\bigl (}A_{\lambda }\bigtriangleup B_{\lambda }{\bigr )}

●

f

を集合

S

から集合

T

への1つの写像とし、

A, B

を

T

の2つの部分集合とするとき、次が成り立つ‥

f - 1 (A △ B) = f - 1 (A) △ f - 1 (B)

。

多項対称差

対称差は結合法則と交換法則を満たすので、

n

個の集合

A 0, \dots,

A n - 1

の対称差

A 0 △ \dots △ A n - 1

= (⋯(

A 0 △

A 1) △ \dots △ A n - 1)

は順番に依らない。このことから対称差はより一般に︵各元における重複度が有限であるような︶集合族　

{\textstyle \{A_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}

　に対し以下のように拡張できる。

\mathop {\triangle } _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }={\biggl \{}a\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\mathrel {\bigg |} {\bigl |}\{\lambda \in \Lambda \mid a\in A_{\lambda }\}{\bigr |}{\text{ が 奇 数 }}{\biggr \}}

上記のような集合族について

Λ

及び各

A λ

がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ︵和集合の場合にも同様の公式が成り立つ︶。

{\Bigl |}\mathop {\triangle } _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }{\Bigr |}=\sum _{\mathrm {M} \subset \Lambda }(-2)^{|\mathrm {M} |-1}{\biggl |}\bigcap _{\lambda \in \mathrm {M} }A_{\lambda }{\biggr |}

測度空間上の対称差

2つの集合の対称差の﹁大きさ﹂は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。今

μ

を集合

X

上の測度とし

Σ

を測度有限な可測集合全体とする。このとき

Σ \times Σ

上の関数の

d

を

d_{\mu }(A,B):=\mu (A\bigtriangleup B)

と定めると、これは

Σ

上の擬距離になる。この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が

μ

に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

A, B

が

Σ

の元であるとき

{\displaystyle {\bigl |}\mu (

が成立する。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ $Z 2$ は $Z$ の $2 Z$ による商群に等しい： $Z 2 = Z /2 Z$ 。ここで、 $Z$ は加法群（整数全体の集合）、 $2 Z$ は ${2}$ によって生成される $Z$ の部分群（偶数全体の集合）である。

出典

^ 小田　稔ほか編「symmtric dfference」『理化学英和辞典』JapanKnowledge、1998年。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 松坂 1968, pp. 21–22 第1章 §2 問題7-9
^ 松坂 1976, p. 50 第2章 §2 問題9
^ 松坂 1976, p. 111 第3章 §1 問題8

参考文献

松坂, 和夫 (1968), 集合・位相入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005424-4
松坂, 和夫 (1976), 代数系入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005634-4

外部リンク

symmetric difference in nLab
Weisstein, Eric W. "Symmetric Difference". mathworld.wolfram.com (英語).
symmetric difference - PlanetMath.（英語）
Definition:Symmetric Difference at ProofWiki
Voitsekhovskii, M.I. (2001), “Symmetric difference of sets”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

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[5] $Z 2$ は $Z$ の $2 Z$ による商群に等しい： $Z 2 = Z /2 Z$ 。ここで、 $Z$ は加法群（整数全体の集合）、 $2 Z$ は ${2}$ によって生成される $Z$ の部分群（偶数全体の集合）である。

[1] 小田　稔ほか編「symmtric dfference」『理化学英和辞典』JapanKnowledge、1998年。

[FOOTNOTE松坂196821–22-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 松坂 1968, pp. 21–22 第1章 §2 問題7-9

[FOOTNOTE松坂197650-3] 松坂 1976, p. 50 第2章 §2 問題9

[FOOTNOTE松坂1976111-4] 松坂 1976, p. 111 第3章 §1 問題8

[1]

[2]

[3]

[4]

[注釈1]

対称差

目次

性質

代数学的な性質

その他の性質

多項対称差

測度空間上の対称差

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目

外部リンク