同値

同値︵どうち︶または等価︵とうか︶とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。﹁if and only if︵～のとき、かつそのときに限る︶﹂を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQなどが使われる。

真理値表

命題 P	命題 Q	P ⇔ Q
真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	真

性質

基本的な性質

同値の基本的な性質は以下の通り。
（$\Rightarrow$は論理包含（ならば）、$\land$は論理積（かつ））

• 反射律: $p\Leftrightarrow p$
• 対称律: $(p\Leftrightarrow q)\Rightarrow (q\Leftrightarrow p)$
• 推移律: $[(p\Leftrightarrow q)\land (q\Leftrightarrow r)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow r)$

その他

他にも次のような性質がある。
（$\lnot$ は否定、$\veebar$ は排他的論理和）

• 反対称律: $[(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\Leftrightarrow q)$
• $(p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot (p\veebar q)$

必要十分条件

二つの条件 p、q に対して、﹁ pを満たすものは全て qも満たす ﹂ というとき、﹁ pは qである為の十分条件である ﹂ あるいは ﹁ qは pである為の必要条件である ﹂ という。

また、﹁ pは qである為の十分条件であり、q は pである為の十分条件である ﹂ というとき、﹁ pは qである為の必要十分条件である ﹂ あるいは ﹁ pと qとは同値である ﹂ という。

例 1

ある数が4の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。

また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。

他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。

例 2

自然数変数 nについての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

●p(n)‥ n>10

●q(n)‥2n >20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n >10は2n >20である為の必要十分条件である。

例 3

実数変数 xについての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

●p(x)‥ x> 0

●q(x)‥ x²> 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 ﹁q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす﹂ とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 4

￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への1つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への1つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)

●p(A, B)‥ ￢( A⇔B ) = 真

●q(A, B)‥ ( ￢A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、﹁￢( A⇔B ) = 真﹂ は ﹁( ￢A )⇔B = 真﹂ である為の必要十分条件である。

関連項目

• 数理論理学
• 命題
• 同一性

外部リンク

• Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
• Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).