倍数
数学において、数 aの倍数︵ばいすう、英:multiple︶とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、
… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …
を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。
a を整数に限ると、a の倍数とは﹁a で割り切れる整数﹂のことであり、a の約数︵﹁a を割り切る整数﹂︶と対比されることも多いが、倍数は aが整数でなくても定義できる。
倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、
0, ±a, ±2a, ±3a, …
と表すこともある。とくに aが正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は︵正の︶倍数として
a, 2a, 3a, …
だけを考えることも多い。
整数全体からなる集合 
を用いると、a の倍数は 
である。
を用いると、a の倍数は である。
例
編集| 整数の倍数 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 番号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1の倍数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2の倍数 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3の倍数 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4の倍数 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5の倍数 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6の倍数 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7の倍数 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8の倍数 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9の倍数 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10の倍数 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
●2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
●偶数に等しい。
●3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
●12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
●12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。
「九九」も参照
数学的性質
編集整数に関する性質
編集
●0 だけ倍数の個数が有限︵0 のみ︶である。︵したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない︶
●0 は全ての数の倍数である。
●全ての数は自分自身の倍数である。
●全ての整数は 1と −1 の倍数である。
●偶数とは 2の倍数のことである。偶数は﹁2つの等しい整数の和で表せる数﹂とも定義できるが、この定義は 2の倍数であることと同値である。
●a が整数のとき、N が aの倍数であることは、a が Nの約数であることと同じ意味である。
●整数 a, bに対して、b が aで割り切れることと、b の倍数が aの倍数に含まれることは同値である。すなわち、
●2 以上の整数はある素数の倍数である。
●素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
︵→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ︶
●a の倍数かつ bの倍数であるものを aと bの公倍数という︵3個以上の場合でも同様︶。ab は aと bの公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
●a と bの公倍数は aと bの最小公倍数の倍数である。
●a の倍数の倍数は aの倍数である。
●P, Qが 共に aの倍数ならば、kP + lQ︵k, lは整数︶は共に aの倍数である。
●特に、P ± Qは aの倍数である
●有理整数環 で二項関係を 
で定義すると、これは同値関係になる。
●その商集合 
は加法に関するアーベル群である。︵→同値関係#商集合の例︶
●2 以上の整数はある素数の倍数である。
●素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
︵→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ︶
●a の倍数かつ bの倍数であるものを aと bの公倍数という︵3個以上の場合でも同様︶。ab は aと bの公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
●a と bの公倍数は aと bの最小公倍数の倍数である。
●a の倍数の倍数は aの倍数である。
●P, Qが 共に aの倍数ならば、kP + lQ︵k, lは整数︶は共に aの倍数である。
●特に、P ± Qは aの倍数である
●有理整数環 で二項関係を で定義すると、これは同値関係になる。
●その商集合 は加法に関するアーベル群である。︵→同値関係#商集合の例︶
整除性の判定法
編集
整除性の判定法[1]︵せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critère de divisibilité, 露: признаки делимости, 中: 整除规则︶は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか︵余りがゼロであるか︶を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう[2]。
様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。
一の位の数で判定
一の位がMであればMの倍数、という方法。
各桁の和︵数字和︶で判定
一桁の最後の数︵10-1︶の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での︵2、4、︶8の倍数、十進数での︵3、︶9の倍数、十六進数での︵3、5、︶15の倍数、二十五進数の︵2、3、4、6、8、12︶24の倍数など。
下P桁で判定
下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
11が合成数の場合
11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例‥八進数での9︵= 118︶の倍数︵32 = 11︶、二十進数での3の倍数と7の倍数︵3×7 = 11︶、三十二進数での3の倍数と11の倍数︵33 = 11︶など。
一の位をa倍
乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数︵7×3 = 21︶、十二進数における5の倍数︵5×5 = 21︶、十六進数における11の倍数︵3×B ＝ 21︶、四十進数における33 の倍数︵3×3×3×3 ＝ 21︶など。
乗算表の最後の数︷(10-1)2 = a1︸の場合は、一の位をa倍して、﹁整数第二位以上﹂と﹁一の位をa倍﹂の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での34 = 81の倍数など。
﹁整数第三位以上﹂に﹁下二桁をa倍﹂を加算
﹁整数第三位以上﹂に﹁下二桁をa倍﹂を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15︵1110︶の倍数、十進数での35 = 243 の倍数など。
素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。
とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 32+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである︵その上に10の素因数も複数ある︶。例えば、23×32×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと﹁下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数﹂で計3種類︵1400, 3200, 5000, 10400…︶、十進数だと﹁一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数﹂で計2510種類︵360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…︶となる。
十進数での例
編集十進数での倍数判定法がいくつか存在する。
| 割る数 M |
整除性の判定法（倍数の判定法） | 具体例・備考 | Mの倍数 一覧 (OEIS) |
|---|---|---|---|
| 1 | 任意の整数は1で割り切れる | ||
| 2 | 最後の桁が偶数（0、2、4、6、8）ならば2で割り切れる | 1294：最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる[3] | The nonnegative even numbers: a(n) = 2n. (A005843) |
| 3 | 各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる | 405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる[3] | a(n) = 3*n. (A008585) |
| 各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる | 16,499,205,854,376：1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる | ||
| 4 | 最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である | 40,832：最後の2桁である32が4で割り切れる[3] | Multiples of 4. (A008586) |
| 10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8 10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である |
40,832：10の位の3は奇数で、1の位が2である | ||
| 10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である | 40832：2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数 | ||
| 5 | 1の位が0または5 | [3] | Multiples of 5: a(n) = 5 * n. (A008587) |
| 6 | 2と3で同時に割り切れる | 1458：1 + 4 + 5 + 8 = 18、∴3で割り切れる。最後の桁2は偶数であるから2で割り切れ、よって6で割り切れる[4] | Nonnegative multiples of 6. (A008588) |
| 10の位より上の数に4を掛け、1の位の数を加える。この操作を1桁になるまで続け、それが6で割り切れればもとの数は6の倍数である | 354: 35 × 4 + 4 = 144，14 × 4 + 4 = 60，6 × 4 + 0 = 24，2 × 4 + 4 = 12，1 × 4 + 2 = 6，よって354は6の倍数 | ||
| 7 | 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 | 1,369,851：851 − 369 + 1 = 483、これは7で割り切れる。よって1,369,851は7の倍数[4] | Multiples of 7. (A008589) |
| 下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 | 16,498,888：16 + 498888 = 498904、これは7で割り切れる。以下略 | ||
| 1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数 | 483：48 −（3×2）= 42、7で割り切れる。 | ||
| 1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数 | 483：48 + (3 × 5) = 63，7で割り切れる。 | ||
| 最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 | 483：4×3 + 8 = '20'、20を48に置き換える。203：2×3 + 0 = '6'、6を20に置き換えます。63：6×3 + 3 = 21、7で割り切れる | ||
| 下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 | 483,595：95 +（2×4835）= 9765、65 +（2×97）= 259、59 +（2×2）= 63、7で割り切れる。 | ||
| （6, 12, 18…桁の数に有効）下の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け（周期性あり）、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数 | 483,595：(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7，7で割り切れる | ||
| 8 | 100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数 | Multiples of 8. (A008590) | |
| 100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えて8の倍数になればもとの数は8の倍数 | 352：100の位3は奇数で、下2桁の52に4を加えれば56、これは8で割り切れる | ||
| 下から数えて2桁以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数 | 56：（5×2）+ 6 = 16、8で割り切れる。 | ||
| 下3桁が8で割り切れれば8の倍数 | 34,152：152は8で割り切れる[5] | ||
| 100の位を4倍する。10の位を2倍する。これらの合計に1の位を加える。結果が8で割り切れれば8の倍数 | 34,152：1×4 + 5×2 + 2 = 16、8で割り切れる。 | ||
| 9 | 各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数 | 2880：2 + 8 + 8 + 0 = 18：1 + 8 = 9、9で割り切れる[3] | Multiples of 9: a(n) = 9*n. (A008591) |
| 10 | 1の位が0ならば10の倍数 | [5] | Multiples of 10: a(n) = 10 * n. (A008592) |
|---|---|---|---|
| 11 | 下から数えて奇数桁目は-1倍、偶数桁目は+1倍して合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 918,082：9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22、11で割り切れる[3] | Multiples of 11. (A008593) |
| 下から2桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 627：6 + 27 = 33、11で割り切れる 50,215：5 + 02 + 15 = 22、11で割り切れる | ||
| 下から数えて2桁以上の数から下1桁を引く。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 627：62 − 7 = 55、11で割り切れる。 | ||
| 1の桁を10倍して10以上の桁の数に加える。2桁になるまで続ける。11の倍数に行きついたらもとの数は11の倍数 | 627：62 + 70 = 132：13 + 20 = 33、11で割り切れる。 | ||
| 全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの（中間の）桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 918,082（6桁）→1808 +（9 − 2）= 1815、81 + 1 − 5 = 77、これは11で割り切れる。 | ||
| 全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの（中間の）桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 14,179（5桁）→417 −（1 + 9）= 407、0-（4 + 7）= -11、11で割り切れる。 | ||
| 12 | 同時に3と4で割り切れれば12の倍数 | [4] | Multiples of 12. (A008594) |
| 下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数 | 288：28×2 − 8 = 48、12で割り切れる。 | ||
| 13 | 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 2,911,272：2-911 + 272 = -637、13で割り切れる[4] | Multiples of 13. (A008595) |
| 下から6桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 161,480,059：161 + 480059 = 480220、これは13で割り切れる | ||
| 下1桁を4倍する。それを残りの桁に加え、13の倍数になればもとの数は13の倍数 | 637：63 + 7×4 = 91、9 + 1×4 = 13、13で割り切れる。 | ||
| 100の位以上の数を4倍する、そこから下2桁を引く。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 923：9×4-23 = 13、13で割り切れる。 | ||
| 下1桁を9倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 637：63-7×9 = 0、13で割り切れる。 | ||
| 14 | 2と7で同時に割り切れる | [4] | Multiples of 14. (A008596) |
| 下から数えて3桁以上の数を2倍する。それに下2桁を加える。結果が14で割り切れれば14の倍数 | 364：3×2 + 64 = 70 1764：17×2 + 64 = 98、どちらも14で割り切れる | ||
| 下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れれば14の倍数 | 1358：135×4 − 8 = 532、14で割り切れる。 | ||
| 15 | 同時に3と5で割り切れる | [4] | Multiples of 15. (A008597) |
| 16 | Multiples of 16. (A008598) | ||
| 1000の位が奇数の場合、下3桁に8を加えたものが16で割り切れれば16の倍数 | 3408：1000の位の3は奇数。下3桁は408。408 + 8 = 416で、16で割り切れる | ||
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それの下2桁を加える。結果が16で割り切れれば16の倍数 | 1168：11×4 + 68 = 112、16で割り切れる | ||
| 下4桁が16で割り切れる | 157,648：下4桁の7648は16で割り切れる[5] | ||
| 17 | 下1桁を5倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 221：22 −1×5 = 17、17で割り切れる。 | Multiples of 17. (A008599) |
| 下から数えて3桁以上の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 4,675：46×2-75 = 17、これは17で割り切れます。 | ||
| 下から8桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 117,250,581：17250581-1 = 17250580、これは17で割り切れる | ||
| 18 | 2と9で同時に割り切れる。 | Multiples of 18. (A008600) | |
| 19 | 下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 437：43 + 7×2 = 57、19で割り切れる。 | Multiples of 19. (A008601) |
| 下2桁に4を掛ける。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 6935：69 + 35×4 = 209、これは19で割り切れる | ||
| 下から9桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 1,232,228,318：232228318-1 = 232228317、これは19で割り切れる |
| 20 | 1の位が0、10の位が偶数 | 下2桁が20の倍数 | Multiples of 20. (A008602) |
|---|---|---|---|
| 21 | 同時に3と7で割り切れる。 | Multiples of 21. (A008603) | |
| 下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が21で割り切れれば21の倍数 | 168：16 −8×2 = 0、21で割り切れる。 | ||
| 22 | 2と11で同時に割り切れる。 | Multiples of 22. (A008604) | |
| 23 | 下1桁を7倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。繰り返して23の倍数に行きつけばもとの数は23で割り切れる | 3128：312 + 8×7 = 368、36 + 8×7 = 92、これは23で割り切れる | Multiples of 23. (A008605) |
| 下2桁を3倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 1725：17 + 25×3 = 92、これは23で割り切れる | ||
| 1の位の数を16倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 391: 39 - 16 = 23、よって391は23の倍数 | ||
| 下から数えて2桁以上の数を下1桁の数で割る。結果が16ならば23の倍数 | 1449: 144/9 = 16、23の倍数 | ||
| 下から11桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 167,788,290,564：67788290564-1 = 67788290563、これは23で割り切れる | ||
| 24 | 同時に3と8で割り切れる。 | Multiples of 24. (A008606) | |
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それに下2桁を加える。結果が24で割り切れれば24の倍数 | 1632：16×4 + 32 = 96、24で割り切れる | ||
| 25 | 下2桁が25の倍数（00、25、50、75） | Multiples of 25. (A008607) | |
| 26 | 2と13で同時に割り切れる。 | Multiples of 26. (A252994) | |
| 27 | 下から3桁ごとに区分する。それらの区分を合計して27で割り切れれば27の倍数 | 2,644,272：2 + 644 + 272 = 918、これは27で割り切れます。 | a(n) = 27*n. (A305548) |
| 下1桁を-1倍して下から2桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数 | 621：62 −1×8 = 54、27で割り切れる。 | ||
| 下2桁の-2倍を下から3桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数 | 6507：65×8-7 = 513、27で割り切れる | ||
| 28 | 同時に4と7で割り切れる。 | Multiples of 28. (A135628) | |
| 29 | 下1桁に3を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数 | 493：49 + 3×3 = 58、29で割り切れる | Multiples of 29. (A195819) |
| 下2桁を9倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数 | 5510：55 + 10×9 = 145、これは29で割り切れる |
| 30 | 下1桁が0、その他の桁の数の合計が3で割り切れる | 270：2 + 7 = 9, 3で割り切れる∴270は30の倍数 | a(n) = 30*n. (A249674) |
|---|---|---|---|
| 31 | 下1桁を最後3倍する。これを下から2桁以上の位の数字から引く。結果が31で割り切れれば31の倍数 | 341：34 −1×3 = 31、31で割り切れる。 | Multiples of 31. (A135631) |
| 下から4桁以上の位の数を8倍する。これに下3桁を加える。結果が31で割り切れれば31の倍数 | 18042：18×8 + 42 = 186、これは31で割り切れる | ||
| 32 | 10000の位が偶数の場合、下4桁が32で割り切れる | 32*n. (A174312) | |
| 10000の位が奇数の場合、下4桁に16を加えたものが32で割り切れる | 340,179,488：10000の位の7は奇数。9488 + 16 = 9504，これは32で割り切れる | ||
| 下から3桁以上の位の数に、下2桁の4倍を加える。これが32で割り切れれば32の倍数 | 1376：13 × 4 + 76 = 128，これは32で割り切れる | ||
| 下から4桁以上の位の数を8倍して下3桁を加える。結果が32で割り切れれば32の倍数 | 19584：19×8 + 584 = 736、これは32で割り切れます。 | ||
| 下5桁が32の倍数 | |||
| 33 | 下から2桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計したものが33で割り切れる | 169,257：16 + 92 + 57 = 165、これは33で割り切れる | （登録なし） |
| 同時に3と11で割り切れる。 | |||
| 下1桁を10倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が33で割り切れれば33の倍数 | 16104：1610 + 4×10 = 1650, 165 + 0×10 = 165, これは33で割り切れる | ||
| 34 | 下から3桁以上の位の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が34で割り切れれば34の倍数 | 2516：25×2 − 16 = 34、34で割り切れる。 | （登録なし） |
| 同時に2と17で割り切れる。 | |||
| 35 | 下から3桁以上の位の数を5倍する。そこから下2桁を引く。結果が35で割り切れれば35の倍数 | 7455：74×5 − 55 = 315、35で割り切れる。 | （登録なし） |
| 36 | 下から3桁以上の位の数を8倍する。そこから下2桁を引く。結果が36で割り切れれば36の倍数 | 1512：15×8 − 12 = 108。36で割り切れる。 | Multiples of 36. (A044102) |
| 4と9で同時に割り切れる。 | |||
| 37 | 下から3桁以上の位の数を11倍する。そこから下2桁を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数 | 68265：682×11 − 65 = 7437、37で割り切れる。 | Multiples of 37. (A085959) |
| 下から3桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。それが37で割り切れれば37の倍数 | 728,395,061：728 + 395 + 61 = 1184、これは37で割り切れる | ||
| 下から2桁以上の位の数から下1桁の11倍を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数 | 2294：229 −4×11 = 185、37で割り切れる。 | ||
| 38 | 2と19で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 39 | 3と13で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 下から6桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。これが39で割り切れれば39の倍数 | 458,535,168：458 + 535168 = 535626、これは39で割り切れます。 | ||
| 下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が39で割り切れれば39の倍数 | 2262：226 + 2×4 = 234、これは39で割り切れます。 |
| 40 | 下1桁が0。下3桁と下2桁を2桁の数とみなし、それが4の倍数。 | 15960：最後の桁は0。96は4の倍数 | a(n) = 40*n. (A317095) |
|---|---|---|---|
| 下3桁が40の倍数 | |||
| 下から3桁以上の位の数を20倍する。これに下2桁を加える。結果が40で割り切れれば40の倍数 | 322840：3228×20 + 40 = 64600、これは40で割り切れる | ||
| 100の位が偶数の場合、下2桁が00, 40, 80 100の位が奇数の倍、下2桁が20, 60 |
467520、100の位の5は奇数で、下2桁は20。これは40の倍数 | ||
| 41 | 下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が41で割り切れれば41の倍数 | 492：49 −2×4 = 41、41で割り切れる。 | （登録なし） |
| 下から5桁ごとに区分する。各区分を合計し、41で割り切れる | 147,559：1 + 47559 = 47560、これは41で割り切れる | ||
| 42 | 2と3と7で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れ、かつ数字和が3の倍数ならば42の倍数。 | 210: 21*4 = 84, 84 - 0 = 84。84は14で割り切れ、数字和2+1+0が3の倍数。 | ||
| 43 | 下1桁を13倍し、下から2桁以上の位の数に加える。これが43で割り切れれば43の倍数 | 50998：5099 + 8×13 = 5203、520 + 3×13 = 559、これは43で割り切れます。 | （登録なし） |
| 下2桁を3倍する。ここから下から3桁以上の位の数を引く。これが43で割り切れれば43の倍数 | 2021：21×3-20 = 43、43で割り切れる | ||
| 44 | 4と11で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 45 | 5と9で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 46 | 2と23で同時に割り切れる。 | （登録なし） | |
| 下から3桁以上の位の数に8を掛ける。それに下2桁を加える。結果が46で割り切れれば46の倍数 | 162,288：88 +（8×1622）= 13064、64 +（8×130）= 1104、4 +（8×11）= 92、46で割り切れる。 | ||
| 47 | 下から3桁以上の位の数に6を掛ける。それに下2桁を加える。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 30691：91+6×306 = 1927、47で割り切れる。 | （登録なし） |
| 下1桁を33倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 48128：4812 + 8×33 = 5076、および507 + 6×33 = 705、47で割り切れる | ||
| 下1桁に14を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 3948：394 −8×14 = 282、47で割り切れる。 | ||
| 48 | 下から3桁以上の位の数に4を掛ける。それに下2桁を加える。結果が48で割り切れれば48の倍数 | 5712：12 + 4×57 = 240、48で割り切れる。 | （登録なし） |
| 3と16で同時に割り切れる。 | |||
| 49 | 下2桁を2倍する。それを下から3桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数 | 12457956：56 + 2×124579 = 249214、14 + 2×2492 = 4998、98+ 2×49 = 196、49で割り切れる。 | （登録なし） |
| 下1桁を5倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数 | 3871：387 + 1×5 = 392、これは49で割り切れる | ||
| 50 | 下2桁が50の倍数（00, 50） | （登録なし） |
割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。
●一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51で割って余りが 0 であれば、その数は51の倍数である。
●一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81で割って余りが 0 であれば、その数は81の倍数である。
●下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99で割り切れれば、その数は99の倍数である。
●下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
●下三桁が 125 の倍数︵つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000︶ならば、その数は 125 の倍数である。
これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,・・・, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。
●4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
●5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
●3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
●2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
●8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。
出典
編集- ^ G. H. ハーディ、E. M. ライト 著、示野信一, 矢野毅 訳『数論入門Ⅰ』シュプリンガーフェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス〉、2001年、152頁。ISBN 4431708480。
- ^ 三野栄治「倍数の判定法について―整除性の特性から」『長崎大学教育学部教科教育学研究報告』第12号、1989年、15頁、NAID 120006970193。
- ^ a b c d e f 日本大百科全書 1987, p. 524.
- ^ a b c d e f 学校数学事典 2014, p. 20.
- ^ a b c Richmond et Richmond 2009, p. 102-108.
参考文献
編集
●﹃日本大百科全書﹄13巻︵初版第一刷︶、小学館、1987年11月1日。ISBN 4-09-526018-1。
●Fritz Reinhardt 著、長岡昇勇et長岡由美子 訳﹃カラー図解 学校数学事典﹄共立出版、2014年4月25日。ISBN 978-4-320-01895-2。
●Bettina Richmond; Thomas Richmond (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. 3. American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-4789-3