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捩れ (代数学)

群の場合は、有限位数の元を、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う
（捩れ (代数)から転送）
曖昧さ回避 その他の用法については「ねじれ」をご覧ください。

抽象代数学において、捩れ︵ねじれ、英: torsion︶は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。捩れという言葉は、捩れた図形のホモロジー群に有限位数の元が現れることに由来する[1]。

定義

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捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。

群に対して

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群 Gの元 gは、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = eとなるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで eは群の単位元を、 gmは m個の gのコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という[2]。アーベル群 Aの捩れ元全体 Tは部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる[3]。このとき A/T は捩れのない群である。

加群に対して

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環 R上の加群 Mの元 mは、環の正則元[注1] rが存在して、m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[4][注2]。加群 Mの捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。

環 R上の加群 Mは、t(M) = Mであるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が Mの部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 Rが可換であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環︵英語版︶であることと、t(M) がすべての右 R加群に対して Mの部分加群であることとは同値である[5]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。

より一般的に、M を環 R上の加群とし、S を Rの積閉集合とする。このとき標準的な写像 M→ MSの核を tS(M) と表す。tS(M) = Mのとき、つまり Mのすべての元 mは、S のある元 sによって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[6]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 Rの正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。

例

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群に対して

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●任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイド問題︵英語版︶は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。︵答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。︶
●行列式が1の 2×2 整数行列の群 SL(2, Z) を中心で割ったモジュラー群 Γ において、任意の非自明な捩れ元は、位数2で元 Sに共役であるか、あるいは、位数3で元 STに共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、S・ST = Tであるが、この位数は無限大である。
●mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Qがその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
●加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 Rや Zは捩れがない。捩れのないアーベル群︵英語版︶の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup︵英語版︶であるときである。

加群に対して

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●M を任意の環 R上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K上のベクトル空間は K上の加群と見たとき、捩れがない。
●有限次元ベクトル空間 Vに作用する線型作用素 Lを考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、︵多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって︶V は捩れ F[L] 加群である。

主イデアル整域の場合

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R を︵可換︶主イデアル整域とし、M を有限生成 R-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 Mの詳細な記述を与える。特に、この定理は、

 
であることを言っている。ここに Fは︵M のみに依存する︶有限な階数の自由 R-加群であり、 t(M) は Mの捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない R上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては成り立たず、2変数多項式環 R = K[x, y] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。

捩れと局所化

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R を可換な整域で、M を R-加群と仮定する。また、Q を環 Rの分数体とする。すると、M から係数拡大により与えられる Q-加群 

 
を考えることができる。Q は体であるから、Q 上の加群はベクトル空間である︵無限次元かもしれない︶。M から MQへのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 t(M) である。より一般に、S を環 Rの積閉部分集合とすると、R 加群 Mの局所化

 
を考えることができる。これは、局所化 RS上の加群である。M から MSへの標準的な準同型が存在し、その核がちょうど Mの S-捩れ部分加群となる。したがって、M の捩れ部分加群は、﹁局所化したときに消える﹂元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 Sと右 R-加群 Mに対して、成り立つ。

ホモロジー代数における捩れ

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捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と Nを可換環 R上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorR
i(M, N) の族を与える。R-加群 Mの S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR
1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも Sが右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。

アーベル多様体

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複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群

アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式︵英語版︶(division polynomials)の項として計算される。

脚注

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注

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(一)^ すべての 0 ≠ s∈ Rに対して rs≠ 0 ≠ srが成り立つような元 r∈ Rを正則元という。

(二)^ 整域︵零因子が 0 のみの可換環︶では、全ての非零元が正則であるので、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元により零化される元であり、これを捩れ元の定義として使っている著者もいる。しかしこの定義は、一般の環の上ではうまくいかない︵例えば後述の捩れがない加群は、零因子を持つ環上零加群しか存在しなくなってしまう︶。

出典

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  1. ^ Stillwell 2009, p. 8.
  2. ^ Robinson 1996, p. 12.
  3. ^ Robinson 1996, p. 93.
  4. ^ Cohn 2003, p. 90.
  5. ^ Lam 2007, Ex. 10. 19.
  6. ^ Auslander & Buchsbaum 2014, p. 318.

参考文献

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関連項目

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