連続の方程式

連続の方程式︵れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う︶は物理学で一般的に適用できる方程式で、﹁原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない﹂という自然な考え方を表す。

保存則と密接に関わっている。

狭義

狭義には、流体力学における質量保存則


${\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0$ 

︵ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。︶

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した


$\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$ 

を指す。

広義

広義には、スカラー物理量 qについての保存則


${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$ 

︵ρ‥q の密度、j‥q の流束︶

あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式︵一般の保存則︶


${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma$ 

︵σ‥q の湧き出し密度︶

を指すこともある。

広義の連続の方程式の導出

領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より
$\Delta M+\Delta tJ=\Delta tS$
$(6-5)+3=4$
が成り立つ事がわかる。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、

領域 Ω における qの単位時間あたりの増加量 ${\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}$  と 境界 ∂Ω における qの単位時間あたりの流出量︵流量︶ Jとの和は、 領域Ωにおける qの単位時間あたりの湧き出し量 Sに等しい。
${\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S$ 

と表現できる。

ここで qは連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの﹁密度量﹂で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j、q の湧き出し密度 σ を導入すると、

${\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}$ 

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す qの流量であることを表している。

これにより連続の式は

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V$ 

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると

$\int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0$ 

となるので、微分形

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma$ 

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$ 

を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。

流体における連続の式

質量保存則

速度が vで表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 vでの物質の移動であるので、流束は

${\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}$ 

となる。

質量保存則から連続の式は

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0$ 

となる。

輸送定理による導出

速度が vで表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。

${\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega ($t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}  

ここで、${D \over Dt}$  は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

${D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$ 

が成立する。

この式は、実質微分の定義

${D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla$ 

と公式

$\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho$ 

を使って、

${\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0$ 

と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式

連続の方程式

${D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$ 

に対して、非圧縮性流体の性質︵密度が一定であること︶を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、${\frac {D\rho }{Dt}}=0$  となるので、ρ≠ 0 であることから、

$\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$ 

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の方程式

電荷保存則

電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$

となる。

変位電流

マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}$ 

に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}$ 

において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、

$\nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$ 

となり、ガウスの式

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$ 

を代入することで連続の式が得られる。

四元電流

電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 J^μ (μ= 0, 1, 2, 3) を

$J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)$ 

と表す。ここで cは光速である。微分演算子

$\partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)$ 

を定義すると、連続の式は

$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ 

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学

量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。

Ψ(r , t) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 jを

${\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}$ 

と定義すると、シュレディンガー方程式

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi$ 

を用いて、確率に対する連続の式

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$ 

が得られる。

連続の式の導出

シュレディンガー方程式とその複素共役の式

${\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}$

それぞれに Ψ^* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると

$\mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}$

更に

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)$

となり、連続の式

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0$

ただし、

${\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}$

が得られる。

拡散方程式　

ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則︵フィックの第一法則︶により流束は

${\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho$ 

と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 $\mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}$  をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式

${\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho$ 

が得られる。

脚注