「ガロア理論」の版間の差分
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グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。''K''上のエタール代数は[[アフィンスキーム]] Spec(''K'') の上のエタール層を表しており、埋め込み''K'' → ''K''<sup>sep</sup>に対応する射 Spec(''K''<sup>sep</sup>) → Spec(''K'') が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 F<sub>''K''<sup>sep</sup></sub>: ''A'' → Hom<sub>''K''</sub>(''A'', ''K''<sup>sep</sup>) が、圏同値 |
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。''K''上のエタール代数は[[アフィンスキーム]] Spec(''K'') の上のエタール層を表しており、埋め込み''K'' → ''K''<sup>sep</sup>に対応する射 Spec(''K''<sup>sep</sup>) → Spec(''K'') が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 F<sub>''K''<sup>sep</sup></sub>: ''A'' → Hom<sub>''K''</sub>(''A'', ''K''<sup>sep</sup>) が、圏同値 |
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: Spec(''K'')上のエタール層の圏 Et<sub>''K''</sub> ≡ Gが連続的に作用する集合の圏 [[トポス (数学)|BG]] |
: Spec(''K'')上のエタール層の圏 Et<sub>''K''</sub> ≡ Gが連続的に作用する集合の圏 [[トポス (数学)|BG]] |
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をひきおこしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手 <math>F_{K^\text{sep}}: Et_K \rightarrow (Sets)</math>からガロア群を復元できることがわかる。また、上の圏同値によって、体''K''上の ガロアコホモロジーは、Spec(''K'') 上の[[エタールコホモロジー]]理論と同値となる。
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をひきおこしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手 <math>F_{K^\text{sep}}: Et_K \rightarrow (Sets)</math>からガロア群を復元できることがわかる。また、上の圏同値によって、体''K''上の ガロアコホモロジーは、Spec(''K'') 上の[[エタール・コホモロジー]]理論と同値となる。
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=== 逆問題 === |
=== 逆問題 === |
2011年10月17日 (月) 08:31時点における版
概要
ガロア理論では加減乗除ができるような数の範疇での代数方程式がとらえられる。したがって有理数や複素数の範囲で多項式によって表された方程式の解を考えたり、あるいは整係数の多項式で素数を法とした解を考える場合がガロア理論の直接的な対象となる。 代数方程式が代数的に解ける、つまり係数に対する四則演算と根号の有限個の組合せで解が表せるかどうかが問題になる。4次までの代数方程式についてはこれがなりたっており、例えば二次の多項式 x2− 2ax + b=0 の二つの根はより発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。一般に体 Kの有限次分離拡大の﹁合併﹂として Kの分離閉包 Ksep が考えられる。Ksep の正規部分拡大 Lの自己同型で Kの元を固定しているもの全体 Gal(L/K) は Lに含まれる Kの有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。Gal(L/K) は各点収束の位相について位相群となり、L の中間体のなす系と、 Gal(L/K) の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。 体 Kに対しその絶対ガロア群 GK= Gal(Ksep/K) が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 Xが与えられたとする。このとき Xから Ksep への写像の空間 (Ksep)X に対する GKの作用 (g.f)[x] = f(g−1x) が考えられる。この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、X の任意の一点の固定部分群に関する Ksep の不変部分体と同型になる︵X の点の取り替えは Ksep の中での共役な部分体の取り替えに対応する︶。X への作用の推移性を外すことは Kの分離拡大体の代わりに K上のエタール代数を考えることに対応し、こうして K上のエタール代数のなす圏と GKが連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化がえられる。 グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム Spec(K) の上のエタール層を表しており、埋め込みK → Ksepに対応する射 Spec(Ksep) → Spec(K) が表す﹁点﹂でのファイバーをとることに対応する関手FKsep: A→ HomK(A, Ksep) が、圏同値 Spec(K)上のエタール層の圏EtK ≡ Gが連続的に作用する集合の圏 BG をひきおこしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手逆問題
与えられた方程式︵あるいは体のガロア拡大︶のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式︵あるいは体の拡大︶を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。有限体上のガロア群
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