「同型写像」を編集中
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これは第三の概念、[[自然同型]]を導く‥{{mvar|V}} と {{mvar|''V''**}} は異なる集合であるが、それらの間の同型写像の﹁自然﹂な取り方が存在する。﹁任意の選択に依存しない同型写像﹂というこの直観的な概念は[[自然変換]]の概念において定式化される‥端的には、''任意の''ベクトル空間に対して一貫した方法でベクトル空間とその二重双対を同一視、あるいはより一般に、写す <math>V \, \overset{\sim}{\to} \, V^{**}</math> ことができる。この直観の定式化は圏論の発展の動機づけである。
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これは第三の概念、[[自然同型]]を導く‥{{mvar|V}} と {{mvar|''V''**}} は異なる集合であるが、それらの間の同型写像の﹁自然﹂な取り方が存在する。﹁任意の選択に依存しない同型写像﹂というこの直観的な概念は[[自然変換]]の概念において定式化される‥端的には、''任意の''ベクトル空間に対して一貫した方法でベクトル空間とその二重双対を同一視、あるいはより一般に、写す <math>V \, \overset{\sim}{\to} \, V^{**}</math> ことができる。この直観の定式化は圏論の発展の動機づけである。
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しかしながら、自然同型と等号の区別が通常されない場合がある。[[普遍性]]によって特徴づけられる対象に対してである。実は、同じ普遍性を共有する2つの対象の間には、自然でなければならない一意的な同型が存在する。典型的な例は[[実数]]の集合であり、無限十進展開、無限二進展開、[[コーシー列]]、[[デデキント切断]]、多くの他の方法によって定義できる。形式的にはこれらの構成は異なる対象を定義するが、すべて同じ普遍性の解である。これらの対象はちょうど同じ性質を持つから、構成の手法は忘れてそれらを等しいと考えることができる。これが "''the'' set of the real numbers" と言う時に誰もがやっていることである。同じことは[[ |
しかしながら、自然同型と等号の区別が通常されない場合がある。[[普遍性]]によって特徴づけられる対象に対してである。実は、同じ普遍性を共有する2つの対象の間には、自然でなければならない一意的な同型が存在する。典型的な例は[[実数]]の集合であり、無限十進展開、無限二進展開、[[コーシー列]]、[[デデキント切断]]、多くの他の方法によって定義できる。形式的にはこれらの構成は異なる対象を定義するが、すべて同じ普遍性の解である。これらの対象はちょうど同じ性質を持つから、構成の手法は忘れてそれらを等しいと考えることができる。これが "''the'' set of the real numbers" と言う時に誰もがやっていることである。同じことは[[商空間]]で起こる:それらは一般に[[同値類]]の集合として構成される。しかしながら、集合の集合を話すことは直観に反するかもしれず、商空間は一般に、しばしば「点」と呼ばれる未決定な対象の集合とこの集合への全射との対と考えられる。 |
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任意の同型︵選択に依存するもの︶と自然同型︵一貫してできるもの︶との区別を描きたい場合、自然でない同型には {{math|≈}} を書き、自然同型には {{math|{{larger|≅}}}} と書くことができる。例えば {{math|1=''V'' ≈ ''V''*}} と {{math|1=''V'' <span style="font-size:120%">≅</span> ''V''**}} である。この慣習は広く用いられているものではなく、自然でない同型と自然同型を区別したい著者は一般に明示的に違いを述べる。
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任意の同型︵選択に依存するもの︶と自然同型︵一貫してできるもの︶との区別を描きたい場合、自然でない同型には {{math|≈}} を書き、自然同型には {{math|{{larger|≅}}}} と書くことができる。例えば {{math|1=''V'' ≈ ''V''*}} と {{math|1=''V'' <span style="font-size:120%">≅</span> ''V''**}} である。この慣習は広く用いられているものではなく、自然でない同型と自然同型を区別したい著者は一般に明示的に違いを述べる。
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