捩れ (代数学)

抽象代数学において、捩れ︵しばられ、英: torsion︶は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。

定義

捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Zの上の加群と見ることができ、この場合は2つの捩れの考え方は一致する。

群に対して

群 Gの元 gは、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、g^m = eとなるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで eは群の単位元を、 g^mは m個の gのコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という。アーベル群 Aの捩れ元全体 Tは部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる。このとき A/T は捩れのない群である。

加群に対して

環 R上の加群 Mの元 mは、環の正則元 rが存在して、m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という。加群 Mの捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。

環 R上の加群 Mは、t(M) = Mであるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が Mの部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 Rが整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環であることと、t(M) がすべての右 R加群に対して Mの部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。

より一般的に、M を環 R上の加群とし、S を Rの積閉集合とする。このとき標準的な写像 M→ M_Sの核を t_S(M) と表す。t_S(M) = Mのとき、つまり Mのすべての元 mは、S のある元 sによって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる。また t_S(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 Rの正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。

例

群に対して

●任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイドの問題は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。︵答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。︶

●行列式が1の 2×2 整数行列の群 SL(2, Z) を中心で割ったモジュラー群 Γ において、任意の非自明な捩れ元は、位数2で元 Sに共役であるか、あるいは、位数3で元 STに共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、S・ST = Tであるが、この位数は無限大である。

●mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Qがその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。

●加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 Rや Zは捩れがない。捩れのないアーベル群の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroupであるときである。

加群に対して

●M を任意の環 R上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K上のベクトル空間は K上の加群と見たとき、捩れがない。

●有限次元ベクトル空間 Vに作用する線型作用素 Lを考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、︵多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって︶V は捩れ F[L] 加群である。

主イデアル整域の場合

R を︵可換︶主イデアル整域とし、M を有限生成 R-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 Mの詳細な記述を与える。特に、この定理は、

${\displaystyle M\simeq F\oplus t($M),} $M\simeq F\oplus t(M),$
であることを言っている。ここに Fは︵M のみに依存する︶有限な階数の自由 R-加群であり、 t(M) は Mの捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない R上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては成り立たず、2変数多項式環 R = K[x, y] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。

捩れと局所化

R を可換な整域で、M を R-加群と仮定する。また、Q を環 Rの分数体とする。すると、M から係数拡大により与えられる Q-加群 

$M_{Q}=M\otimes _{R}Q$$M_{Q}=M\otimes _{R}Q$
を考えることができる。Q は体であるから、Q 上の加群はベクトル空間である︵無限次元かもしれない︶。M から M_Qへのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 t(M) である。より一般に、S を環 Rの積閉部分集合とすると、R 加群 Mの局所化

$M_{S}=M\otimes _{R}R_{S}$$M_{S}=M\otimes _{R}R_{S}$
を考えることができる。これは、局所化 R_S上の加群である。M から M_Sへの標準的な準同型が存在し、その核がちょうど Mの S-捩れ部分加群となる。したがって、M の捩れ部分加群は、﹁局所化したときに消える﹂元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 Sと右 R-加群 Mに対して、成り立つ。

ホモロジー代数における捩れ

捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と Nを可換環 R上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorR
i(M, N) の族を与える。R-加群 Mの S-捩れ t_S(M) は、標準的に TorR
1(M, R_S/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも Sが右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。

アーベル多様体

複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群

アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式(division polynomials)の項として計算される。

参考文献

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. https://books.google.co.jp/books?id=MVEuBAAAQBAJ 
• Cohn, P. M. (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. Springer. ISBN 1-85233-587-4. MR1935285. https://books.google.co.jp/books?id=VESm0MJOiDQC 
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001), “Torsion submodule”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/T/t093330.htm 
• Lam, T. Y. (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, New York: Springer, pp. xviii+412, doi:10.1007/978-0-387-48899-8, ISBN 978-0-387-98850-4, MR2278849, https://books.google.co.jp/books?id=LKMCTP4EecYC 
• Robinson, Derek (1996). A course in the theory of groups. Graduate Texts in Mathematics. 80 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3. MR1357169. Zbl 0836.20001. https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ 

関連項目

• 解析的トーション
• 数論力学
• 平坦加群
• 加群の局所化
• アーベル群のランク
• レイ・シンガーのトーション
• 捩れ部分群
• 捩れのないアーベル群
• 普遍係数定理