深さ (環論)

可換およびホモロジー代数において、深さ、深度 (depth) は環と加群の重要な不変量である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換ネーター局所環上の加群のケースである。この場合、加群の深さはAuslander-Buchsbaum の公式によってその射影次元と関係する。深さのより初等的な性質は不等式

${\displaystyle \mathrm {depth} ($M)\leq \dim(M),} $\mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),$
である、ただし dim Mは加群 Mのクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。

定義

R を可換ネーター環、I を Rのイデアル、M を IMが Mに真に含まれるという性質をもつ有限 R-加群とする。このとき Mの I-深度 (I-depth) は、 Mの grade とも呼ばれるが、

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}($M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}} $\mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}$
と定義される。定義によって、環 Rの深度は自身の上の加群としてのその深度である。

David Rees による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。

定理 (Rees)

R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$とし、M を有限生成 R-加群とする。このとき Mのすべての極大正則列 x₁,..., x_n、ただし各 x_iは ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$に属する、は Mの ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$-深度と同じ長さ nをもつ。

深さと射影次元

可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$とし、M を有限生成 R-加群とする。M の射影次元が有限であれば、Auslander–Buchsbaum の公式が述べているのは

$\mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).$

深さ0の環

可換ネーター局所環 Rが深さ 0 をもつこととその極大イデアル ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 xが存在して $x{\mathfrak {m}}=0$$x{\mathfrak {m}}=0$︵すなわち xは ${\mathfrak {m}}$${\mathfrak {m}}$を零化する︶。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分であるということだ。

例えば、環 $k[x,y]/(x^{2},xy)$$k[x,y]/(x^{2},xy)$︵ただし kは体︶は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 ($x=0$$x=0$) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は1である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。

参考文献

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, MR1322960 
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1