深さ (環論)
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可換およびホモロジー代数において、深さ、深度 (depth) は環と加群の重要な不変量である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換ネーター局所環上の加群のケースである。この場合、加群の深さはAuslander-Buchsbaum の公式によってその射影次元と関係する。深さのより初等的な性質は不等式
である、ただし dim Mは加群 Mのクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。
と定義される。定義によって、環 Rの深度は自身の上の加群としてのその深度である。
David Rees による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。
とし、M を有限生成 R-加群とする。このとき Mのすべての極大正則列 x1,..., xn、ただし各 xiは
に属する、は Mの
-深度と同じ長さ nをもつ。
とし、M を有限生成 R-加群とする。M の射影次元が有限であれば、Auslander–Buchsbaum の公式が述べているのは
が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 xが存在して
︵すなわち xは
を零化する︶。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分であるということだ。
例えば、環
︵ただし kは体︶は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 (
) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は1である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。
定義[編集]
R を可換ネーター環、I を Rのイデアル、M を IMが Mに真に含まれるという性質をもつ有限 R-加群とする。このとき Mの I-深度 (I-depth) は、 Mの grade とも呼ばれるが、定理 (Rees)[編集]
R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを深さと射影次元[編集]
可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを深さ0の環[編集]
可換ネーター局所環 Rが深さ 0 をもつこととその極大イデアル参考文献[編集]
- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, MR1322960
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1