セグレの多重複素数
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数学における多重複素数︵たじゅうふくそすう、英: Multicomplex number︶ℂn は、Segre (1892) が導入した、各自然数︵0 を含む︶ n∈ ℕ に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれは ℝ 上 2n-次元の可換結合多元環を成す。
定義[編集]
再帰的[編集]
多重複素数環 ℂn は、初期値 ℂ0 ≔ ℝ から再帰的に構成することができる。 n ≥ 1 のとき、ℂn−1 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位in ∉ ℂn−1 を i2 n= −1 および他の虚数単位 i1, …, in−1 と可換なるものとして導入し、 と置く。直截的[編集]
n ≥ 1 に対し、 1および inは ℂn−1 の任意の数と可換、また span(1, in) ∉ ℂn−1︵特に in∉ ℂn−1︶とする。 関係式 ℂn = {x + yin | (x, y) ∈ ℂn−12} は代数のテンソル積を用いて ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ span(1, in) と書き直せる。さらに言えば、条件 i2 n= −1 から span(1, in) ≅ ℂ であり、ℂn ≔ ℂn−1 ⊗ℝ ℂ と書いてもよい。ℝ はテンソル積 ⊗ℝ の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると代数的性質[編集]
●各階 nにおいて成分数は倍化し、ℂ0 ≔ ℝ が ℝ 上一次元であるから、ℂn は ℝ 上の次元が 2nである。 ●各 ℂn はバナッハ代数を成す。 ●n ≥ 2 に対し、可換環 ℂn は零因子を持つ: なんとなれば ●二つの自然数が a≠ bのとき、ia − ib≠ 0 かつ ia+ ib≠ 0 だが (ia − ib)(ia + ib) = i2 a− i2 b= 0 を満たす; ●二つの自然数が a≠ bのとき、ia⋅ib − 1 ≠ 0 かつ ia⋅ib + 1 ≠ 0 だが (ia⋅ib − 1)(ia⋅ib + 1) = i2 a⋅i2 b − 1 = 0 を満たす。部分環[編集]
●n ≥ 1 に対し、ℂ0, …, ℂn−1 は何れも ℂn の部分環である。 ●k ≤ nに対し、ℂn は ℂk 上 2n−k-次元である。 ●n ≥ 1 に対し、各虚数単位 ikは i2 k= −1 を満足するから、ℂn は複素数平面の n個のコピーを含む。 ●n ≥ 2 および a≠ bに対し、数 ja,b ≔ ia⋅ib = ib⋅ia は ja,b2 = 1 を満たすから、ℂn は n(n−1)/2 個の分解型複素数平面を含む。系列の最初のほうの代数[編集]
小さい nに対してはよく知られた代数も含まれる:関連項目[編集]
参考文献[編集]
- (イタリア語) Segre, Corrado (1892), “The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities”, Mathematische Annalen 40
- (英語) Price, G. Baley (1991), An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, New York: Marcel Dekker