チェビシェフの偏り

チェビシェフの偏りとは、あるNまでの素数には、4k + 3 の形をした素数︵非ピタゴラス素数︶が4k + 1 の形をした素数︵ピタゴラス素数︶より多い現象である。1853年にパフヌティ・チェビシェフによって最初に発見された。

詳細

いま π(x; 4, 1) を、x までの4k + 1 形の素数の個数、 π(x; 4, 3) を、x までの4k + 3 形の素数の個数とする。そのとき算術級数の素数定理より、

$\pi (x;4,1)\simeq \pi (x;4,3)\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}$$\pi (x;4,1)\simeq \pi (x;4,3)\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}$
であるから、素数の半分は4k + 1 の形であり、残りの半分は4k + 3 の形である。すると、π(x; 4, 1) > π(x; 4, 3) となる xも π(x; 4, 1) < π(x; 4, 3) となる xもそれぞれ50％ずつ存在するであろうと推測できるが、実際には π(x; 4, 3) > π(x; 4, 1) となる区間が(少なくとも小さな xに対しては)はるかに長く、x が5, 17, 41, 461において π(x; 4, 3) = π(x; 4, 1) となる4個を除いた26833未満の素数 xに対しては π(x; 4, 3) > π(x; 4, 1) が成立し続ける。

いま 0 < a, b< qかつ (a, q) = (b, q) = 1 となる整数に対して、a が平方剰余、b が平方非剰余である場合には、π(x; q, b) > π(x; q, a) となる区間の方がより長いことが一般に言える。これは、強いリーマン仮説が成立する仮定の下では証明される。しかし、﹁π(x; 4, 3) > π(x; 4, 1) が成り立つ xの稠密度は1である﹂というKnapowskiとTuránの予想は否定された。一方、それらの対数密度︵logarithmic density︶は約0.9959である。

関連項目

• Shanks–Rényi race problem

参考文献

• P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
• Granville, Andrew; Martin, Greg (2006). “Prime number races”. Amer. Math. Monthly 113: 1–33. JSTOR 27641834. 
• J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
• S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). “Chebyshev's bias”. Experimental Mathematics 3: 173–197. doi:10.1080/10586458.1994.10504289. 
• Weisstein, Eric W. "Chebyshev Bias". mathworld.wolfram.com (英語).
• オンライン整数列大辞典の数列 A007350 (where prime race 4n-1 versus 4n+1 changes leader)
• オンライン整数列大辞典の数列 A007351 (where prime race 4n-1 versus 4n+1 is tied)
• 数学セミナー2019年4月号P2～P5 高校数学ではじめる整数論(第1回) 素数のレース