ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数の無理性の証明︵ねいぴあすうのむりせいのしょうめい︶は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 eは 2 < e<3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

e を底とする指数関数 e^xは以下のようにテイラー展開される。

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$
x = 1 を代入すると

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots$$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots$
以下、これを eの定義として無理数であることを証明する。

証明

e = a/b を満たす自然数 a, bが存在すると仮定すると b! ⋅ eは以下のように展開される。

${\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}$
左辺は $b!\cdot e=b!\cdot {\frac {a}{b}}=a(b-1)!$$b!\cdot e=b!\cdot {\frac {a}{b}}=a(b-1)!$であるから自然数である。右辺は (　) 内の b!から b!/b! までの項は全て自然数であるが、{　} 内の b!/(b + 1)! 以降の全ての項の和は、b が 1以上であることから

${\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}$${\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}$
と1未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに e= a/b を満たす自然数 a, bが存在するという仮定は誤りである。

ネイピア数の冪乗の無理性

一般に、q を 0 でない有理数とすると、e^q は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、﹃天書の証明﹄で1ページ程度にまとめられている。

脚注

参考文献

●塩川宇賢﹃無理数と超越数﹄森北出版、1999年3月30日。ISBN 4-627-06091-2。 
1〜2頁および60〜61頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

●ジャン=ポール・ドゥラエ﹃π――魅惑の数﹄畑政義訳、朝倉書店、2001年10月20日。ISBN 4-254-11086-3。 
130頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

関連項目

●ネイピア数

●無理数

●円周率の無理性の証明