ハウスホルダー作用素

線型代数に於いてハウスホルダー作用素は以下の様に定義される．$V$$V$を有限次元の内積空間として，内積を$\langle \cdot ,\cdot \rangle$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$で表し，$u\in V$$u\in V$を単位ベクトルとする．このとき$H_{u}\colon V\to V$$H_{u}\colon V\to V$は，

${\displaystyle H_{u}($x)=x-2\langle x,u\rangle u} $H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u$
で定義される．この作用素はベクトル$x$$x$を$u$$u$を法線ベクトルに持つ平面に関して鏡映させる．零ベクトルでない$q\in V$$q\in V$について，以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である．

${\displaystyle H_{q}($x)=x-2{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}q.} $H_{q}(x)=x-2{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}q.$

性質

ハウスホルダー作用素は以下の性質を満たす．

●線型性を持つ．即ち，$V$$V$を$K$$K$上の線型空間として，

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x,y)\in V^{2},\ H_{q}(\lambda x+\mu y)=\lambda H_{q}($x)+\mu H_{q}(y).} $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\ \forall (x,y)\in V^{2},\ H_{q}(\lambda x+\mu y)=\lambda H_{q}(x)+\mu H_{q}(y).$
●自己随伴︵エルミート作用素を参照︶である．

●特に$K=\mathbb {R}$$K=\mathbb {R}$のとき直交変換であり，$K=\mathbb {C}$$K=\mathbb {C}$のときユニタリ変換である．

特別な場合

実数または複素数上の線型空間については，ハウスホルダー作用素はハウスホルダー変換と言われる．

参考文献

• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5 

• Olver, Peter J.; Shakiban, Chehrzad (2018), Advanced Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.), Springer, ISBN 978-3-319-91040-6