ヤコビの定理 (幾何学)

隣接する色の角は等しい。 N は△ABCとこの角に対するヤコビ点。

ユークリッド幾何学において, ヤコビの定理︵やこびのていり、英語: Jacobi's theorem︶とは任意の三角形△ABCと角α, β, γについての定理である。 三点 X, Y, Z が$${\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}$$を満たすときAX, BY, CZは共点でありその点をヤコビ点という。ヤコビの定理はカール・フリードリッヒ・アンドレアス・ヤコビにちなんで名づけられた。 

ヤコビ点は フェルマー点の一般化で, α = β = γ = 60°としたときにフェルマー点となる。

3つの角が等しいとき, ヤコビ点 Nは重心座標 で以下の式を満たす双曲線上にある。$$yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,$$$$yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,$$これはキーペルト双曲線と呼ばれる。

ヤコビ点は次のように一般化することができる。

三角形ABCの辺上にK,L,M,N,O,PをBK/KC=CL/LB=CM/MA=AN/NC=AO/OB=BP/PA,∠DOP =∠FNM,∠DPO=∠EKL,∠ELK=∠FMN を満たすように配置する。このとき三角形 LMY,NOZ,PKX はそれぞれ三角形OPD,KLE ,MNF,と相似で、DY, EZFXは共点である。

外部リンク

• A simple proof of Jacobi's theorem   written by Kostas Vittas
• Fermat-Torricelli generalization at Dynamic Geometry Sketches First interactive sketch generalizes the Fermat-Torricelli point to the Jacobi point, while 2nd one gives a further generalization of the Jacobi point.