二端子対回路

二端子対回路網の模式図

二端子対回路(にたんしついかいろ、two-terminal pair network, two ports、四端子回路とも)は、入力端子対と出力端子対の2組の端子からなる電気回路またはデバイス。 例えばトランジスタ、フィルタ回路などがある。2端子対回路の分析は1920年代にドイツ人の数学者Franz Breisigによって研究が始められた。

概要

二端子対回路

二端子対回路は、入力と出力の電圧と電流の関係を調べるため、入力と出力の間にある回路を分離し、特有のパラメータで示すことが基本となる。このパラメータが決まると、入力と出力の間にある回路の細部を考える必要が無くなり、一つの特殊な特性を持った暗箱︵ブラックボックス︶にでき、回路の分析を単純化できる。暗箱に独立した出力端子がなければどんな回路もパラメータで表せ、二端子対回路に変形できる。

二端子対回路で入力と出力の電圧と電流の関係を示すパラメータの種類として、従来より﹁Zパラメータ﹂、﹁Yパラメータ﹂、﹁hパラメータ﹂、﹁gパラメータ﹂、﹁Fパラメータ(en:Two-port network#ABCD-parameters)﹂が用いられてきた。 これらのパラメータは行列で表現する。

${V_{1}}$${V_{1}}$ 入力電圧

${V_{2}}$${V_{2}}$ 出力電圧

${I_{1}}$${I_{1}}$ 入力電流

${I_{2}}$${I_{2}}$ 出力電流

近年では高周波を扱うことのできる、﹁Sパラメータ﹂や﹁Tパラメータ﹂なども二端子対回路の一種であるが、これらはいずれも電力の関係を示している。

Zパラメータ

インピーダンス行列、Z行列とも。

${V_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}$${V_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}$
$Z_{11}$$Z_{11}$・$Z_{12}$$Z_{12}$・$Z_{21}$$Z_{21}$・$Z_{22}$$Z_{22}$の各インピーダンスパラメータは以下のとおり。

$Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$$Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$
$Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$$Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

Yパラメータ

アドミタンス行列、Y行列とも。

${I_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}$${I_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}$
$Y_{11}$$Y_{11}$・$Y_{12}$$Y_{12}$・$Y_{21}$$Y_{21}$・$Y_{22}$$Y_{22}$の各アドミタンスパラメータは以下のとおり。

$Y_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$$Y_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$
$Y_{21}={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$$Y_{21}={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$

hパラメータ

ハイブリッド行列、h行列とも。

${V_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose V_{2}}$${V_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose V_{2}}$
$h_{11}$$h_{11}$・$h_{12}$$h_{12}$・$h_{21}$$h_{21}$・$h_{22}$$h_{22}$の各ハイブリッドパラメータは以下のとおり。

$h_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{12}={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$$h_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{12}={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$
$h_{21}={I_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$$h_{21}={I_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

gパラメータ

hパラメータの逆行列で定義される。

${I_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose I_{2}}$${I_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose I_{2}}$
$g_{11}$$g_{11}$・$g_{12}$$g_{12}$・$g_{21}$$g_{21}$・$g_{22}$$g_{22}$各パラメータは以下のとおり。

$g_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{12}={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$$g_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{12}={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$
$g_{21}={V_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$$g_{21}={V_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$

Fパラメータ (ABCDパラメータ)

伝送行列、F行列、基本行列(Fundamental matrix)とも。 縦続接続する際に都合がよくなる。

${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}$${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}$
ここで、$I_{2}$$I_{2}$は上の図とは逆の向きを正にとる。

A・B・C・Dの各四端子定数は以下のとおり。

$A={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad B={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$$A={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad B={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$
$C={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad D={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$$C={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad D={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$

Sパラメータ

詳細は「Sパラメータ」を参照

縦続接続

2つの異なる二端子対回路を縦続(cascade)に接続することを﹁縦続接続﹂と呼ぶ。Fパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のFパラメータとする。

${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}$${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}$
${V_{2} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}$${V_{2} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}$
このとき、$V_{1}$$V_{1}$$I_{1}$$I_{1}$と$V_{3}$$V_{3}$$I_{3}$$I_{3}$には以下の関係が成り立つ。

${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}$${V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}$
よって縦続接続したときの回路全体のFパラメータは以下となる。

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2}&A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}\\C_{1}A_{2}+D_{1}C_{2}&C_{1}B_{2}+D_{1}D_{2}\end{pmatrix}}$

直列接続

2つの異なる二端子対回路を直列に接続することを﹁直列接続﹂と呼ぶ。Zパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のZパラメータとする。

${V_{1}' \choose V_{2}'}={\begin{pmatrix}Z_{11}'&Z_{12}'\\Z_{21}'&Z_{22}'\end{pmatrix}}{I_{1}' \choose I_{2}'}$${V_{1}' \choose V_{2}'}={\begin{pmatrix}Z_{11}'&Z_{12}'\\Z_{21}'&Z_{22}'\end{pmatrix}}{I_{1}' \choose I_{2}'}$
${V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}''&Z_{12}''\\Z_{21}''&Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1}'' \choose I_{2}''}$${V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}''&Z_{12}''\\Z_{21}''&Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1}'' \choose I_{2}''}$
このとき、$V_{1}$$V_{1}$$V_{2}$$V_{2}$と$I_{1}$$I_{1}$$I_{2}$$I_{2}$は、$V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$$V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$、$V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$$V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$、$I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$$I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$、$I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$$I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$の関係があるので、以下の関係が成り立つ。

${V_{1} \choose V_{2}}={V_{1}' \choose V_{2}'}+{V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}$${V_{1} \choose V_{2}}={V_{1}' \choose V_{2}'}+{V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}$
よって直列接続したときの回路全体のZパラメータは以下となる。

${\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{pmatrix}}$

並列接続

2つの異なる二端子対回路を並列に接続することを﹁並列接続﹂と呼ぶ。Yパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のYパラメータとする

${I_{1}' \choose I_{2}'}={\begin{pmatrix}Y_{11}'&Y_{12}'\\Y_{21}'&Y_{22}'\end{pmatrix}}{V_{1}' \choose V_{2}'}$${I_{1}' \choose I_{2}'}={\begin{pmatrix}Y_{11}'&Y_{12}'\\Y_{21}'&Y_{22}'\end{pmatrix}}{V_{1}' \choose V_{2}'}$
${I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}''&Y_{12}''\\Y_{21}''&Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1}'' \choose V_{2}''}$${I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}''&Y_{12}''\\Y_{21}''&Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1}'' \choose V_{2}''}$
このとき、$I_{1}$$I_{1}$$I_{2}$$I_{2}$と$V_{1}$$V_{1}$$V_{2}$$V_{2}$は、$I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$$I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$、$I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$$I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$、$V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$$V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$、$V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$$V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$の関係があるので、以下の関係が成り立つ。

${I_{1} \choose I_{2}}={I_{1}' \choose I_{2}'}+{I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}$${I_{1} \choose I_{2}}={I_{1}' \choose I_{2}'}+{I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}$
よって並列接続したときの回路全体のYパラメータは以下となる。

${\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{pmatrix}}$

関連項目

• 電気回路