余代数

余代数（よだいすう、英語: coalgebra）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義

$K$$K$ を体、$C$$C$ を $K$$K$上のベクトル空間とする。2つの線型写像 $\Delta :C\to C\otimes C$$\Delta :C\to C\otimes C$、$\varepsilon :C\to K$$\varepsilon :C\to K$ が存在して、これらが

(一)$(\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$$(\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$︵余結合律︶、

(二)$(\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$$(\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$︵余単位律︶

を満たすとき、即ち図式


が可換であるとき、組 $(C,\Delta ,\varepsilon )$$(C,\Delta ,\varepsilon )$を余代数という。また、$\Delta$$\Delta$ を余積、$\varepsilon$$\varepsilon$ を余単位という。

諸概念

余代数射

$(C,\Delta ,\varepsilon )$、$(D,\Delta ',\varepsilon ')$ を $K$-余代数とする。$K$-線型写像 $f:C\to D$ が

$\Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,$

$\varepsilon '\circ f=\varepsilon$

を満たすとき $f$ を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:

部分余代数

$(C,\Delta ,\varepsilon )$$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数、$D\subset C$$D\subset C$ とする。$D$$D$ が部分余代数であるとは、${\displaystyle \Delta ($D)\subseteq D\otimes D} $\Delta (D)\subseteq D\otimes D$ を満たすことをいう。このとき、 $(D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})$$(D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})$は余代数の構造を持つ。

余イデアル

$I$ を余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ の部分ベクトル空間とする。$I$ が余イデアル（coideal）であるとは

$\Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,$

$\varepsilon (I)=0$

を満たすことをいう。このとき商 $C/I$ は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数

写像 $\mathrm {tw}$$\mathrm {tw}$を $\mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c$$\mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c$で定める。余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$$(C,\Delta ,\varepsilon )$が余可換であるとは、 $\mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta$$\mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta$が成り立つことをいう。ここで新しい余積を ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{($2)}\otimes c_{i}^{(1)}} $\Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}$によって定めると、$(C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )$$(C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )$ は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと $\Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }$$\Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }$となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法

$(C,\Delta ,\varepsilon )$$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数とする。$c\in C$$c\in C$ とすると、余積は

${\displaystyle \Delta ($c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)} $\Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)$
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

${\displaystyle \Delta ($c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}} $\Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}$
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

$\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad$（余結合律）

$\sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad$（余単位律）

例

●$S$$S$ を空でない任意の集合、$kS$$kS$ を $S$$S$の元を基底とした $k$$k$-ベクトル空間とする。任意の $s\in S$$s\in S$に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta ($s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1} $\Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1$
で定めると、$(kS,\Delta ,\varepsilon )$$(kS,\Delta ,\varepsilon )$ は $k$$k$-余代数の構造を持つ。

●$H$$H$ を $K$$K$-ベクトル空間、$\{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$$\{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ をその基底とする。任意の $n\in \mathbb {N}$$n\in \mathbb {N}$に対して余積と余単位を

$\Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}$$\Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}$
で定めると、$(H,\Delta ,\varepsilon )$$(H,\Delta ,\varepsilon )$ は $k$$k$-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

●${\displaystyle M_{n}($K)} $M_{n}(K)$ を $n^{2}$$n^{2}$次元 $K$$K$-ベクトル空間、$\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$$\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$ をその基底とする。余積と余単位を

$\Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}$$\Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}$
によって定めると ${\displaystyle (M_{n}($K),\Delta ,\varepsilon )} $(M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )$は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

●$(P,\leq )$$(P,\leq )$ を局所有限半順序集合とする。$T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}$$T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}$ として $V$$V$を $T$$T$の元全体を基底として持つ $K$$K$-ベクトル空間とする。任意の $(x,y)\in T$$(x,y)\in T$に対して余積と余単位を

$\Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}$$\Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}$
で定めると $(P,\Delta ,\varepsilon )$$(P,\Delta ,\varepsilon )$は余代数となる。

●$C$$C$ を $K$$K$-ベクトル空間とし、その基底を $\{s,c\}$$\{s,c\}$とする。余積と余単位を

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta ($s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}$
で定めると $(C,\Delta ,\varepsilon )$$(C,\Delta ,\varepsilon )$は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間

$C$$C$ を $K$$K$-余代数、$A$$A$ を $K$$K$-代数、とする。ここで$f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)$$f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)$ の積を$f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta$$f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta$、即ち任意の $c\in C$$c\in C$に対して

${\displaystyle (f\ast g)($c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)} $(f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)$
で定める。$\Delta$$\Delta$ が余結合的であることから積 $\ast$$\ast$は結合的であることがわかる。この積によって $\mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }$$\mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }$は $K$$K$-代数となり、$C$$C$ の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

${\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon ($c)1_{A}} $\varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}$
で与えられる。また$C$$C$ が余可換であることと、全ての可換な $A$$A$に対して $\mathrm {Hom} _{K}(A,C)$$\mathrm {Hom} _{K}(A,C)$が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。$A$$A$ を有限 $K$$K$-次元代数とすると、準同型写像

${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f($a)g(b)]} $A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]$
が存在して $A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }$$A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }$となる。積と単位の双対

${\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f($1)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}$
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に $A$$A$が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献

• Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press 
• Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin 
• Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker