2次方程式の解の公式
e n : 代 数 学 基 礎 に お い て 、 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 と は 2 次 方 程 式 の 解 を 求 め る 式 で あ る 。 因 数 分 解 や 平 方 完 成 、 e n : グ ラ フ を 書 く な ど 解 の 公 式 を 使 う 以 外 に も 2 次 方 程 式 を 解 く た め に は 方 法 が あ る 。 し か し 、 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 使 う こ と が 最 も 便 利 な 方 法 で あ る こ と が し ば し ば あ る 。
2 次 方 程 式 の 一 般 形 は
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
こ こ で x は 未 知 数 を 示 し て お り 、 a 、 b 、 c は 定 数 で あ る ︵ た だ し a は 0 で は な い ︶ 。 2 次 方 程 式 が 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 満 た す こ と を 、 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 2 次 方 程 式 に 代 入 す る こ と で 確 か め る こ と が で き る 。 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 に よ っ て 与 え ら れ る そ れ ぞ れ の 解 は e n : 根 と 呼 ば れ る 。
解 の 公 式 の 導 出 [ 編 集 ]
平 方 完 成 を 理 解 し て い れ ば 、 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 導 出 す る こ と が で き る [ 1 ] [ 2 ] 。 こ の た め 、 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 の 導 出 は 学 生 に 課 題 と し て 与 え ら れ る こ と が あ り 、 こ の 課 題 を 行 う こ と で 学 生 は こ の 重 要 な 公 式 を 再 発 見 す る こ と が 可 能 な の で あ る [ 3 ] [ 4 ] 。 陽 関 数 表 示 の 導 出 は 次 の 通 り 。
a が 0 で な い こ と か ら 、 a で 割 る こ と が 可 能 で あ る 。 2 次 方 程 式 を a で 割 る 。
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0.
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}
c / a を 等 式 の 両 辺 か ら 引 く 。 す る と 次 の よ う に な る 。
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
.
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.}
こ の 2 次 方 程 式 は 平 方 完 成 が 適 用 可 能 な 形 と な っ て い る 。 よ っ て 、 等 式 の 両 辺 に 定 数 を 足 し 、 等 式 の 左 辺 を 平 方 完 成 と す る 。
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
,
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2},}
こ れ を 変 形 す る 。
(
x
+
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
b
2
4
a
2
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}
.
最 後 に 、 右 辺 の 項 を 変 形 し 公 分 母 を 得 る こ と で 、 次 の 式 を 得 る 。
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
.
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
等 式 が 平 方 完 成 さ れ た 。 等 式 の 両 辺 の 平 方 根 を 取 る こ と で 次 の 式 を 得 る 。
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}.}
x イ コ ー ル の 形 に 直 す こ と で 2 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 得 る 。
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}
こ の プ ラ ス マ イ ナ ス 記 号 ﹃ ± ﹄ は 次 の 2 つ を 示 し て い る 。
x
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
and
x
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
こ れ ら は 2 次 方 程 式 の 解 で あ る [ 5 ] 。 こ の 導 出 以 外 に も 様 々 な 導 出 方 法 が あ り 、 そ れ ぞ れ 多 少 の 違 い が あ る が 、 ほ と ん ど の も の が
a
{\displaystyle a}
の 操 作 に 関 す る も の で あ る 。
一 部 の 文 献 、 特 に 古 い も の で は
a
x
2
−
2
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}-2bx+c=0}
[ 6 ] や
a
x
2
+
2
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+2bx+c=0}
[ 7 ] の よ う な 異 な る パ ラ メ ー タ 表 示 を し て い る こ と が あ る w h e r e b h a s a m a g n i t u d e o n e h a l f o f t h e m o r e c o m m o n o n e . T h e s e r e s u l t i n s l i g h t l y d i f f e r e n t f o r m s f o r t h e s o l u t i o n , b u t a r e o t h e r w i s e e q u i v a l e n t .
発 展 の 歴 史 [ 編 集 ]
ラ フ ァ エ ロ の ア テ ナ イ の 学 堂 の 中 の ユ ー ク リ ッ ド 。
二 次 方 程 式 に 解 を 与 え る 最 初 期 の 方 法 は 幾 何 学 的 で あ っ た 。 バ ビ ロ ニ ア の く さ び 文 字 で 書 か れ た 文 字 板 に は 二 次 方 程 式 を 解 く こ と に 単 純 化 可 能 な 問 題 が 含 ま れ て い た [ 8 ] 。 エ ジ プ ト 中 王 国 の 時 代 ( 2 0 5 0 B C t o 1 6 5 0 B C ) に ま で 遡 る 、 エ ジ プ ト の e n : B e r l i n P a p y r u s に は 二 項 の 二 次 方 程 式 の 解 が 含 ま れ て い た [ 9 ] 。
ギ リ シ ャ の 数 学 者 ユ ー ク リ ッ ド ( お よ そ 3 0 0 B C ) は 原 論 と い う 自 身 の 著 作 の な か で 二 次 方 程 式 を 解 く の に 幾 何 学 的 方 法 を 使 っ た 。 原 論 は 非 常 に 大 き な 影 響 を 与 え た 数 学 の 学 術 文 献 で あ る [ 1 0 ] 。 お よ そ 2 0 0 B C の 中 国 の 九 章 算 術 に は 二 次 方 程 式 に 対 す る 解 法 が 登 場 す る [ 1 1 ] [ 1 2 ] 。 ギ リ シ ャ の 数 学 者 デ ィ オ フ ァ ン ト ス ( お よ そ 2 5 0 B C ) は 、 自 身 の 著 作 算 術 に お い て 二 次 方 程 式 を 解 い た が 、 彼 の 手 法 は ユ ー ク リ ッ ド の 幾 何 学 的 手 法 と 比 較 し て よ り 代 数 学 的 で あ っ た と さ れ る [ 1 0 ] 。 デ ィ オ フ ァ ン ト ス の 解 は 、 た と え 2 つ の 根 が 共 に 正 で あ っ て も ひ と つ の 根 の み を 与 え る [ 1 3 ] 。
イ ン ド の 数 学 者 で あ る ブ ラ ー マ グ プ タ ( 5 9 7 – 6 6 8 A D ) は 自 身 の 学 術 論 文 e n : B r ā h m a s p h u ṭ a s i d d h ā n t a の 中 で 明 示 的 に 二 次 方 程 式 の 解 の 公 式 を を 示 し た 。 B r ā h m a s p h u ṭ a s i d d h ā n t a は 6 2 8 A D に 出 版 さ れ た が [ 1 4 ] 、 記 号 ︵ s y m b o l ︶ で は な く 言 葉 を 使 っ て 書 か れ て い た [ 1 5 ] 。 ブ ラ ー マ グ プ タ の 二 次 方 程 式
a
x
2
+
b
x
=
c
{\displaystyle ax^{2}+bx=c}
の 解 は 次 の 通 り で あ る 。 " T o t h e a b s o l u t e n u m b e r m u l t i p l i e d b y f o u r t i m e s t h e [ c o e f f i c i e n t o f t h e ] s q u a r e , a d d t h e s q u a r e o f t h e [ c o e f f i c i e n t o f t h e ] m i d d l e t e r m ; t h e s q u a r e r o o t o f t h e s a m e , l e s s t h e [ c o e f f i c i e n t o f t h e ] m i d d l e t e r m , b e i n g d i v i d e d b y t w i c e t h e [ c o e f f i c i e n t o f t h e ] s q u a r e i s t h e v a l u e . " [ 1 6 ] こ れ は 次 に 等 し い 。
x
=
4
a
c
+
b
2
−
b
2
a
.
{\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}
初 期 の ギ リ シ ャ お よ び イ ン ド の 数 学 者 に 影 響 を 受 け た 9 世 紀 の ペ ル シ ャ の 数 学 者 フ ワ ー リ ズ ミ ー は 、 二 次 方 程 式 を 代 数 学 的 に 解 い た [ 1 7 ] 。 す べ て の ケ ー ス に 対 し て 有 効 な 二 次 方 程 式 の 解 の 公 式 は 1 5 9 4 年 に シ モ ン ・ ス テ ヴ ィ ン に よ っ て 最 初 に 得 ら れ た [ 1 8 ] 。 1 6 3 7 年 に は ル ネ ・ デ カ ル ト に よ っ て e n : L a G é o m é t r i e が 出 版 さ れ た が 、 こ の 本 に は 今 日 私 た ち が 知 っ て い る 形 式 で 二 次 方 程 式 の 解 の 公 式 が 収 録 さ れ て い る 。 一 般 解 が 現 代 的 な 数 学 の 学 術 文 献 に 初 め て 登 場 し た の は 1 8 9 6 年 で 、 H e n r y H e a t o n に よ る 論 文 の な か で 言 及 さ れ た も の で あ る [ 1 9 ]
I m p o r t a n c e o f t h i s s o l u t i o n [ 編 集 ]
A m o n g t h e m a n y e q u a t i o n s t h a t o n e e n c o u n t e r s w h i l e s t u d y i n g a l g e b r a , t h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t , a n d i s c o n s i d e r e d t h e m o s t u s e f u l m e t h o d o f s o l v i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n s . [ 2 0 ] [ 2 1 ] U n l i k e s o m e o t h e r s o l u t i o n m e t h o d s s u c h a s f a c t o r i n g , t h e q u a d r a t i c f o r m u l a c a n b e u s e d t o s o l v e a n y q u a d r a t i c e q u a t i o n . [ 2 2 ] [ 2 3 ] M a n y e q u a t i o n s t h a t d o n o t i n i t i a l l y a p p e a r t o b e q u a d r a t i c c a n b e p u t i n t o q u a d r a t i c f o r m , a n d s o l v e d u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a . [ 2 4 ] F o r t h e s e r e a s o n s , i t i s o f t e n m e m o r i z e d . [ 2 5 ] [ 2 6 ]
C o m p l e t i n g t h e s q u a r e a l s o a l l o w s f o r t h e s o l u t i o n o f a l l q u a d r a t i c s , a s i t i s m a t h e m a t i c a l l y e q u i v a l e n t , b u t t h e q u a d r a t i c f o r m u l a g i v e s a r e s u l t w i t h o u t t h e n e e d f o r s o m u c h a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n . A s s u c h , i t i s g e n e r a l l y c o n s i d e r e d m o r e p r a c t i c a l t o u s e t h e f o r m u l a . [ 2 3 ] [ 2 7 ] [ 2 8 ] [ 2 9 ] C o m p l e t i n g t h e s q u a r e i s v e r y u s e f u l f o r o t h e r p u r p o s e s , s u c h a s p u t t i n g t h e e q u a t i o n s f o r c o n i c s e c t i o n s i n t o s t a n d a r d f o r m . [ 3 0 ]
O t h e r d e r i v a t i o n s [ 編 集 ]
A n u m b e r o f a l t e r n a t i v e d e r i v a t i o n s o f t h e q u a d r a t i c f o r m u l a c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . T h e s e d e r i v a t i o n s e i t h e r ( a ) a r e s i m p l e r t h a n t h e s t a n d a r d c o m p l e t i n g t h e s q u a r e m e t h o d , ( b ) r e p r e s e n t i n t e r e s t i n g a p p l i c a t i o n s o f o t h e r f r e q u e n t l y u s e d t e c h n i q u e s i n a l g e b r a , o r ( c ) o f f e r i n s i g h t i n t o o t h e r a r e a s o f m a t h e m a t i c s .
A l t e r n a t e m e t h o d o f c o m p l e t i n g t h e s q u a r e [ 編 集 ]
T h e g r e a t m a j o r i t y o f a l g e b r a t e x t s p u b l i s h e d o v e r t h e l a s t s e v e r a l d e c a d e s t e a c h c o m p l e t i n g t h e s q u a r e u s i n g t h e s e q u e n c e p r e s e n t e d e a r l i e r : ( 1 ) d i v i d e e a c h s i d e b y a , ( 2 ) r e a r r a n g e , ( 3 ) t h e n a d d t h e s q u a r e o f o n e - h a l f o f b / a .
A s p o i n t e d o u t b y L a r r y H o e h n i n 1 9 7 5 , c o m p l e t i n g t h e s q u a r e c a n b e a c c o m p l i s h e d b y a d i f f e r e n t s e q u e n c e t h a t l e a d s t o a s i m p l e r s e q u e n c e o f i n t e r m e d i a t e t e r m s : ( 1 ) m u l t i p l y e a c h s i d e b y 4 a , ( 2 ) r e a r r a n g e , ( 3 ) t h e n a d d
b
2
{\displaystyle b^{2}}
. [ 3 1 ]
I n o t h e r w o r d s , t h e q u a d r a t i c f o r m u l a c a n b e d e r i v e d a s f o l l o w s :
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
=
0
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
=
−
4
a
c
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
=
b
2
−
4
a
c
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
2
a
x
+
b
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}}
T h i s a c t u a l l y r e p r e s e n t s a n a n c i e n t d e r i v a t i o n o f t h e q u a d r a t i c f o r m u l a , a n d w a s k n o w n t o t h e H i n d u s a t l e a s t a s f a r b a c k a s 1 0 2 5 A D . [ 3 2 ] C o m p a r e d w i t h t h e d e r i v a t i o n i n s t a n d a r d u s a g e , t h i s a l t e r n a t e d e r i v a t i o n i s s h o r t e r , i n v o l v e s f e w e r c o m p u t a t i o n s w i t h l i t e r a l c o e f f i c i e n t s , a v o i d s f r a c t i o n s u n t i l t h e l a s t s t e p , h a s s i m p l e r e x p r e s s i o n s , a n d u s e s s i m p l e r m a t h . A s H o e h n s t a t e s , " i t i s e a s i e r ' t o a d d t h e s q u a r e o f b ' t h a n i t i s ' t o a d d t h e s q u a r e o f h a l f t h e c o e f f i c i e n t o f t h e x t e r m ' " . [ 3 1 ]
B y s u b s t i t u t i o n [ 編 集 ]
A n o t h e r t e c h n i q u e i s s o l u t i o n b y s u b s t i t u t i o n . I n t h i s t e c h n i q u e , w e s u b s t i t u t e
x
=
y
+
m
{\displaystyle x=y+m}
i n t o t h e q u a d r a t i c t o g e t :
a
(
y
+
m
)
2
+
b
(
y
+
m
)
+
c
=
0
{\displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0}
E x p a n d i n g t h e r e s u l t a n d t h e n c o l l e c t i n g t h e p o w e r s o f
y
{\displaystyle y}
p r o d u c e s :
a
y
2
+
y
(
2
a
m
+
b
)
+
(
a
m
2
+
b
m
+
c
)
=
0
{\displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+(am^{2}+bm+c)=0}
W e h a v e n o t y e t i m p o s e d a s e c o n d c o n d i t i o n o n
y
{\displaystyle y}
a n d
m
{\displaystyle m}
, s o w e n o w c h o o s e m s o t h a t t h e m i d d l e t e r m v a n i s h e s . T h a t i s ,
2
a
m
+
b
=
0
{\displaystyle 2am+b=0}
or
m
=
−
b
2
a
{\displaystyle m={\frac {-b}{2a}}}
. S u b t r a c t i n g t h e c o n s t a n t t e r m f r o m b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n ( t o m o v e i t t o t h e r i g h t h a n d s i d e ) a n d t h e n d i v i d i n g b y a g i v e s :
y
2
=
−
(
a
m
2
+
b
m
+
c
)
a
{\displaystyle y^{2}={\frac {-(am^{2}+bm+c)}{a}}}
S u b s t i t u t i n g f o r
m
{\displaystyle m}
g i v e s :
y
2
=
−
(
b
2
4
a
+
−
b
2
2
a
+
c
)
a
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle y^{2}={\frac {-({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
T h e r e f o r e
y
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
; s u b s t i t u t i n g
x
=
y
+
m
=
y
−
b
2
a
{\displaystyle x=y+m=y-{\frac {b}{2a}}}
p r o v i d e s t h e q u a d r a t i c f o r m u l a .
B y u s i n g a l g e b r a i c i d e n t i t i e s [ 編 集 ]
L e t t h e r o o t s o f t h e s t a n d a r d q u a d r a t i c e q u a t i o n b e
r
1
{\displaystyle r_{1}}
a n d
r
2
{\displaystyle r_{2}}
. A t t h i s p o i n t , w e r e c a l l t h e i d e n t i t y :
(
r
1
−
r
2
)
2
=
(
r
1
+
r
2
)
2
−
4
r
1
r
2
{\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}
T a k i n g s q u a r e r o o t o n b o t h s i d e s , w e g e t
r
1
−
r
2
=
±
(
r
1
+
r
2
)
2
−
4
r
1
r
2
{\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}}
S i n c e t h e c o e f f i c i e n t a ≠ 0 , w e c a n d i v i d e t h e s t a n d a r d e q u a t i o n b y a t o o b t a i n a q u a d r a t i c p o l y n o m i a l h a v i n g t h e s a m e r o o t s . N a m e l y ,
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
=
x
2
−
(
r
1
+
r
2
)
x
+
r
1
r
2
.
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}.}
F r o m t h i s w e c a n s e e t h a t t h e s u m o f t h e r o o t s o f t h e s t a n d a r d q u a d r a t i c e q u a t i o n i s g i v e n b y
−
b
a
{\displaystyle -{\frac {b}{a}}}
, a n d t h e p r o d u c t o f t h o s e r o o t s i s g i v e n b y
c
a
.
{\displaystyle {\frac {c}{a}}.}
H e n c e t h e i d e n t i t y c a n b e r e w r i t t e n a s :
r
1
−
r
2
=
±
(
−
b
a
)
2
−
4
c
a
=
±
b
2
a
2
−
4
a
c
a
2
=
±
b
2
−
4
a
c
a
{\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(-{\frac {b}{a}})^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}
N o w ,
r
1
=
(
r
1
+
r
2
)
+
(
r
1
−
r
2
)
2
=
−
b
a
±
b
2
−
4
a
c
a
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
S i n c e ,
r
2
=
−
r
1
−
b
a
{\displaystyle r_{2}=-r_{1}-{\frac {b}{a}}}
, i f w e t a k e
r
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
t h e n w e o b t a i n
r
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
a n d i f w e i n s t e a d t a k e
r
1
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
t h e n w e c a l c u l a t e t h a t
r
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
C o m b i n i n g t h e s e r e s u l t s b y u s i n g t h e s t a n d a r d s h o r t h a n d , w e h a v e t h a t t h e s o l u t i o n s o f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n a r e g i v e n b y :
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
By Lagrange resolvents [ 編集 ]
An alternative way of deriving the quadratic formula is via the method of Lagrange resolvents , which is an early part of Galois theory .[33]
This method can be generalized to give the roots of cubic polynomials and quartic polynomials , and leads to Galois theory, which allows one to understand the solution of algebraic equations of any degree in terms of the symmetry group of their roots, the Galois group .
This approach focuses on the roots more than on rearranging the original equation.
Given a monic quadratic polynomial
x
2
+
p
x
+
q
,
{\displaystyle x^{2}+px+q,}
assume that it factors as
x
2
+
p
x
+
q
=
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
,
{\displaystyle x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta ),}
Expanding yields
x
2
+
p
x
+
q
=
x
2
−
(
α
+
β
)
x
+
α
β
,
{\displaystyle x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta ,}
where
p
=
−
(
α
+
β
)
{\displaystyle p=-(\alpha +\beta )}
and
q
=
α
β
{\displaystyle q=\alpha \beta }
.
Since the order of multiplication does not matter, one can switch
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
{\displaystyle \beta }
and the values of p and q will not change: one says that p and q are symmetric polynomials in
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
{\displaystyle \beta }
. In fact, they are the elementary symmetric polynomials – any symmetric polynomial in
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
{\displaystyle \beta }
can be expressed in terms of
α
+
β
{\displaystyle \alpha +\beta }
and
α
β
.
{\displaystyle \alpha \beta .}
The Galois theory approach to analyzing and solving polynomials is: given the coefficients of a polynomial, which are symmetric functions in the roots, can one "break the symmetry" and recover the roots? Thus solving a polynomial of degree n is related to the ways of rearranging ("permuting") n terms, which is called the symmetric group on n letters, and denoted
S
n
.
{\displaystyle S_{n}.}
For the quadratic polynomial, the only way to rearrange two terms is to swap them ("transpose " them), and thus solving a quadratic polynomial is simple.
To find the roots
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
,
{\displaystyle \beta ,}
consider their sum and difference:
r
1
=
α
+
β
r
2
=
α
−
β
.
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta .\end{aligned}}}
These are called the Lagrange resolvents of the polynomial;
notice that one of these depends on the order of the roots, which is the key point.
One can recover the roots from the resolvents by inverting the above equations:
α
=
1
2
(
r
1
+
r
2
)
β
=
1
2
(
r
1
−
r
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right).\end{aligned}}}
Thus, solving for the resolvents gives the original roots.
Formally, the resolvents are called the discrete Fourier transform (DFT) of order 2, and the transform can be expressed by the matrix
(
1
1
1
−
1
)
,
{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right),}
with inverse matrix
(
1
/
2
1
/
2
1
/
2
−
1
/
2
)
.
{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{smallmatrix}}\right).}
The transform matrix is also called the DFT matrix or Vandermonde matrix .
Now
r
1
=
α
+
β
{\displaystyle r_{1}=\alpha +\beta }
is a symmetric function in
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
,
{\displaystyle \beta ,}
so it can be expressed in terms of p and q, and in fact
r
1
=
−
p
,
{\displaystyle r_{1}=-p,}
as noted above. But
r
2
=
α
−
β
{\displaystyle r_{2}=\alpha -\beta }
is not symmetric, since switching
α
{\displaystyle \alpha }
and
β
{\displaystyle \beta }
yields
−
r
2
=
β
−
α
{\displaystyle -r_{2}=\beta -\alpha }
(formally, this is termed a group action of the symmetric group of the roots). Since
r
2
{\displaystyle r_{2}}
is not symmetric, it cannot be expressed in terms of the polynomials p and q , as these are symmetric in the roots and thus so is any polynomial expression involving them. Changing the order of the roots only changes
r
2
{\displaystyle r_{2}}
by a factor of
−
1
,
{\displaystyle -1,}
and thus the square
r
2
2
=
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle \scriptstyle r_{2}^{2}=(\alpha -\beta )^{2}}
is symmetric in the roots, and thus expressible in terms of p and q. Using the equation
(
α
−
β
)
2
=
(
α
+
β
)
2
−
4
α
β
{\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \!}
yields
r
2
2
=
p
2
−
4
q
{\displaystyle r_{2}^{2}=p^{2}-4q\!}
and thus
r
2
=
±
p
2
−
4
q
.
{\displaystyle r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}.\!}
If one takes the positive root, breaking symmetry, one obtains:
r
1
=
−
p
r
2
=
p
2
−
4
q
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}}
and thus
α
=
1
2
(
−
p
+
p
2
−
4
q
)
β
=
1
2
(
−
p
−
p
2
−
4
q
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\end{aligned}}}
Thus the roots are
1
2
(
−
p
±
p
2
−
4
q
)
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)}
which is the quadratic formula. Substituting
p
=
b
a
,
q
=
c
a
{\displaystyle \scriptstyle p={\tfrac {b}{a}},q={\tfrac {c}{a}}\!}
yields the usual form for when a quadratic is not monic. The resolvents can be recognized as
r
1
2
=
−
p
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {r_{1}}{2}}={\frac {-p}{2}}={\frac {-b}{2a}}\!}
being the vertex, and
r
2
2
=
p
2
−
4
q
{\displaystyle \scriptstyle r_{2}^{2}=p^{2}-4q\!}
is the discriminant (of a monic polynomial).
A similar but more complicated method works for cubic equations, where one has three resolvents and a quadratic equation (the "resolving polynomial") relating
r
2
{\displaystyle r_{2}}
and
r
3
,
{\displaystyle r_{3},}
which one can solve by the quadratic equation, and similarly for a quartic (degree 4) equation, whose resolving polynomial is a cubic, which can in turn be solved. The same method for a quintic equation yields a polynomial of degree 24, which does not simplify the problem, and in fact solutions to quintic equations in general cannot be expressed using only roots.
See also [ 編集 ]
References [ 編集 ]
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(三) ^ R o c k s w o l d , G a r y . C o l l e g e a l g e b r a a n d t r i g o n o m e t r y a n d p r e c a l c u l u s , p . 1 7 8 ( A d d i s o n W e s l e y , 2 0 0 2 ) .
(四) ^ B e c k e n b a c h , E d w i n e t a l . M o d e r n c o l l e g e a l g e b r a a n d t r i g o n o m e t r y , p . 8 1 ( W a d s w o r t h P u b . C o . , 1 9 8 6 ) .
(五) ^ S t e r l i n g , M a r y J a n e ( 2 0 1 0 ) , A l g e b r a I F o r D u m m i e s , W i l e y P u b l i s h i n g , p . 2 1 9 , I S B N 9 7 8 - 0 - 4 7 0 - 5 5 9 6 4 - 2 , http://books.google.com/?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false
(六) ^ K a h a n , W i l l i a n ( N o v e m b e r 2 0 , 2 0 0 4 ) , O n t h e C o s t o f F l o a t i n g - P o i n t C o m p u t a t i o n W i t h o u t E x t r a - P r e c i s e A r i t h m e t i c , http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf 2 0 1 2 年 12 月 25 日 閲 覧 。
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(11) ^ A i t k e n , W a y n e . “ A C h i n e s e C l a s s i c : T h e N i n e C h a p t e r s ” . M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , C a l i f o r n i a S t a t e U n i v e r s i t y . 2 0 1 3 年 4 月 28 日 閲 覧 。
(12) ^ S m i t h , D a v i d E u g e n e ( 1 9 5 8 ) . H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s . C o u r i e r D o v e r P u b l i c a t i o n s . p . 3 8 0 . I S B N 9 7 8 - 0 - 4 8 6 - 2 0 4 3 0 - 7 . http://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA380
(13) ^ D a v i d E u g e n e S m i t h ( 1 9 5 8 ) . " H i s t o r y o f m a t h e m a t i c s " . C o u r i e r D o v e r P u b l i c a t i o n s . p . 1 3 4 . I S B N 0 - 4 8 6 - 2 0 4 2 9 - 4
(14) ^ B r a d l e y , M i c h a e l . T h e B i r t h o f M a t h e m a t i c s : A n c i e n t T i m e s t o 1 3 0 0 , p . 8 6 ( I n f o b a s e P u b l i s h i n g 2 0 0 6 ) .
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(21) ^ H e y w o o d , A r t h u r . I n t e r m e d i a t e a l g e b r a : l e c t u r e - l a b , p . 2 3 5 ( D i c k e n s o n P u b . C o . , 1 9 7 5 ) : " T h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f o r m u l a s i n m a t h e m a t i c s , a n d w e w i l l n o w s p e n d s o m e t i m e s t u d y i n g m a n y d i f f e r e n t w a y s o f u s i n g i t . "
(22) ^ B l a n t o n , F l o y d . M o d e r n C o l l e g e A l g e b r a , p . 1 6 2 ( M c G r a w – H i l l , 1 9 6 7 ) : " T h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s t h e m o s t p o w e r f u l m e t h o d f o r s o l v i n g q u a d r a t i c s s i n c e i t c a n b e u s e d t o s o l v e a n y q u a d r a t i c . "
(23) ^ a b S m i t h , R . a n d P e t e r s o n , J . I n t r o d u c t o r y T e c h n i c a l M a t h e m a t i c s , p p . 4 0 8 – 4 0 9 ( C e n g a g e L e a r n i n g 2 0 0 6 ) : " T h e f a c t o r i n g m e t h o d h a s l i m i t e d a p p l i c a t i o n . O n l y c e r t a i n q u a d r a t i c e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d b y f a c t o r i n g . C o m p l e t i n g t h e s q u a r e … c a n b e a r a t h e r l o n g a n d c o m p l i c a t e d p r o c e d u r e a n d i s s e l d o m u s e d i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . [ T h e ] q u a d r a t i c f o r m u l a … i s t h e m o s t u s e f u l m e t h o d f o r s o l v i n g c o m p l e t e q u a d r a t i c e q u a t i o n s . "
(24) ^ B a n k s , J o h n . E l e m e n t s o f A l g e b r a , p . 9 7 ( A l l y n a n d B a c o n , 1 9 6 2 ) : " T h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s o n e o f t h e m o s t u s e f u l f o r m u l a s i n e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . Y o u s h o u l d b e c e r t a i n y o u k n o w w h a t i t i s a n d h o w t o u s e i t . M a n y o t h e r e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d b y f i r s t r e d u c i n g t h e m t o q u a d r a t i c f o r m . "
(25) ^ L a r s o n , R . a n d H o d g k i n s A . C o l l e g e A l g e b r a w i t h A p p l i c a t i o n s f o r B u s i n e s s a n d L i f e S c i e n c e s , p . 1 0 4 ( C e n g a g e L e a r n i n g 2 0 0 9 ) : " T h e Q u a d r a t i c F o r m u l a i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f o r m u l a s i n a l g e b r a , a n d y o u s h o u l d m e m o r i z e i t . "
(26) ^ M c C o n n e l l , J o h n . A l g e b r a , p . 6 0 3 ( S c o t t F o r e s m a n 1 9 9 3 ) : " T h e Q u a d r a t i c F o r m u l a i s o n e o f t h e m o s t f a m o u s f o r m u l a s i n a l l o f m a t h e m a t i c s . Y o u s h o u l d m e m o r i z e i t t o d a y . "
(27) ^ P a y n e , M . I n t e r m e d i a t e A l g e b r a , p . 2 8 9 ( W e s t P u b l i s h i n g 1 9 8 5 ) : " W h i l e t h e m e t h o d o f c o m p l e t i n g t h e s q u a r e m a y b e u s e d t o s o l v e q u a d r a t i c e q u a t i o n s , i t i s m o r e i n v o l v e d t h a n t h e q u a d r a t i c f o r m u l a , a n d i s s e l d o m u s e d i n p r a c t i c a l w o r k . "
(28) ^ D a v i s , L . T e c h n i c a l M a t h e m a t i c s , p . 1 7 4 . ( M e r r i l l P u b l i s h i n g 1 9 9 0 ) : " Y o u c a n u s e t h e q u a d r a t i c f o r m u l a , a s w e l l a s c o m p l e t i n g t h e s q u a r e , t o s o l v e a n y q u a d r a t i c e q u a t i o n . H o w e v e r , y o u w i l l f i n d t h a t t h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s e a s i e r t o u s e . "
(29) ^ D u g o p o l s k i , M a r k . A l g e b r a f o r C o l l e g e S t u d e n t s , p . 5 4 1 ( M c G r a w H i l l 2 0 0 6 ) : " A n y q u a d r a t i c e q u a t i o n c a n b e s o l v e d b y c o m p l e t i n g t h e s q u a r e o r u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a . B e c a u s e t h e q u a d r a t i c f o r m u l a i s u s u a l l y f a s t e r , i t i s u s e d m o r e o f t e n t h a n c o m p l e t i n g t h e s q u a r e . "
(30) ^ S t e r l i n g , M a r y . C l i f f s S t u d y S o l v e r : A l g e b r a I I , p . 6 0 ( H o u g h t o n M i f f l i n H a r c o u r t 2 0 1 2 ) .
(31) ^ a b H o e h n , L a r r y ( 1 9 7 5 ) . “ A M o r e E l e g a n t M e t h o d o f D e r i v i n g t h e Q u a d r a t i c F o r m u l a ” . T h e M a t h e m a t i c s T e a c h e r 68 ( 5 ) : 4 4 2 – 4 4 3 .
(32) ^ S m i t h , D a v i d E . ( 1 9 5 8 ) . H i s t o r y o f M a t h e m a t i c s , V o l . I I . D o v e r P u b l i c a t i o n s . p . 4 4 6 . I S B N 0 4 8 6 2 0 4 3 0 8
(33) ^ P r a s o l o v , V i k t o r ; S o l o v y e v , Y u r i ( 1 9 9 7 ) , E l l i p t i c f u n c t i o n s a n d e l l i p t i c i n t e g r a l s , A M S B o o k s t o r e , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 2 1 8 - 0 5 8 7 - 9 , http://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC , § 6 . 2 , p . 1 3 4
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