利用者:SparkTroy

最適化問題を数学的に記述すると、最小化問題の場合

与えられた関数 $f:A\to \mathbb {R}$$f:A\to \mathbb {R}$について、${\displaystyle x_{0}\in A:\forall x\in A,\ f(x_{0})\leq f($x)} $x_{0}\in A:\forall x\in A,\ f(x_{0})\leq f(x)$ なる $x_{0}$$x_{0}$を求めよ

となる。最大化問題の場合には ${\displaystyle \forall x\in A,f(x_{0})\geq f($x)} $\forall x\in A,f(x_{0})\geq f(x)$となる $x_{0}$$x_{0}$を探すことになる。最大化問題は${\displaystyle \max f($x)=\min(-f(x))} $\max f(x)=\min(-f(x))$のように目的関数の符号を反転させることにより等価な最小化問題に書き直せるので、最小化用のアルゴリズムが使える。

このときの関数 $f$$f$を目的関数 (英: objective function, cost function) と呼び、探すべき変数 $x$$x$が集合 $A$$A$に含まれるという条件のことを制約条件、制約関数(英: constraint,constraint function)と呼ぶ。制約条件の集合Aを実行可能領域(英: feasible region)あるいは許容領域と呼び、その元(要素)を実行可能解、可能解、許容解 (英: feasible solution, candidate solution) などと呼ぶ。目的関数を最小あるいは最大にするような実行可能解を︵大域的︶最小解、最大解と呼び、そのときの目的関数値を最小値、最大値と呼ぶ。また最小・最大を区別しないで最適解、最適値(英: optimal solution) とも呼ばれる。なお、ここで﹁領域﹂という用語は単に﹁集合﹂と同じ意味で使っている。また﹁解﹂は﹁点﹂と同義語である。したがって実行可能集合とか実行可能点などということもある。︵この分野での伝統的・慣習的表現であり、数学的な意味の﹁領域＝連結な開集合﹂，﹁解＝問題の(最終的つまり最適)解﹂ということではないので注意。︶