合同記号

≡

合同記号︵ごうどうきごう︶は、元来、合同式の合同︵モジュロ︶を表すための記号であり、﹁≡﹂(コングルエント)が使われる。

記号﹁≡﹂は、それ以外に、以下の意味:

●︵幾何学的な︶合同

●恒等式

●定義

●同値

でも使われる。これらは、記号﹁≡﹂を使う以外の記法もあるので、必要に応じ、それらの記法についても述べる。

文字名称は、UnicodeとJIS X 0213では﹁identical to﹂︵～に恒等である︶、日本語では﹁常に等しい/合同﹂とも呼ばれる。

各々の意味

合同式

≡

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す﹁合同式﹂に用いられる。

歴史

カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に﹃Disquisitiones Arithmeticae﹄で数の合同の記号として使用した。当時の形は

$a\equiv b\quad ({\text{mod.}}\ m)$$a\equiv b\quad ({\text{mod.}}\ m)$
$a\equiv b\quad ({\text{modo}}\ m)$$a\equiv b\quad ({\text{modo}}\ m)$
だった。

使用例

$a\equiv b\mod m$$a\equiv b\mod m$
$a\equiv b{\pmod {m}}$$a\equiv b{\pmod {m}}$
$a\equiv b\ {\bmod {\ }}m$$a\equiv b\ {\bmod {\ }}m$
${\displaystyle a\equiv b\ ($m)} $a\equiv b\ (m)$
などはいずれも、﹁a と bは mを法として合同である﹂すなわち﹁a と bの各々を mで割った余りが等しい﹂ことを意味する。ここで、﹁合同記号﹂とは﹁≡﹂のみのことであり、﹁mod﹂は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、

$a\equiv b$$a\equiv b$
と法を省略できる。

幾何学的な合同

≡ ≅ ≌ ≃

歴史

ゴットフリート・ライプニッツは、1710年にベルリン大学のジャーナル誌であるベルリン論集(Miscellanea Berolinensia)に発表したMonitumで、﹁≃﹂︵1本線の上にチルダ︶を図形の合同を表す目的として使用した。

ヨハン・フリードリッヒ・ハセラーは、1777年にAnfangsgründe der Arith., Alg., Geom. und Trigで﹁≌﹂︵等号の上に逆チルダ︶を使用した。

1824年にカール・モルワイデが、逆チルダをチルダに変更した﹁≅﹂︵等号の上にチルダ︶を使用するようになった。

現在の用法

現在、多くの国で、モルワイデの﹁≅﹂︵等号の上にチルダ︶を使う。

例外的に、日本・韓国では、もっぱら﹁≡﹂︵3本線︶を使う。合同記号として﹁≡﹂を用いたのはボーヤイ・ヤーノシュである。

ハセラーの﹁≌﹂︵等号の上に逆チルダ︶を使うこともある。

2次元図形に対して使う機会が多いが、3次元以上の場合にも同じ記号が用いられる︵1次元以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない︶。

使用例

$\triangle \mathrm {ABC} \equiv \triangle \mathrm {DEF}$$\triangle \mathrm {ABC} \equiv \triangle \mathrm {DEF}$
$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$
はいずれも、﹁三角形ABCと三角形DEFが合同である﹂ことを意味する。なお、これを

$\triangle \mathrm {ABC} =\triangle \mathrm {DEF}$$\triangle \mathrm {ABC} =\triangle \mathrm {DEF}$
と書くと、﹁三角形ABCと三角形DEFは面積が等しい﹂という意味になる。

恒等式

≡

左辺と右辺が常に等しい﹁恒等式﹂を表す。ベルンハルト・リーマンが1899年に﹃楕円関数論﹄で使用した。

たとえば:

$ab\equiv ba$$ab\equiv ba$
は﹁常に ab= baである﹂ことを表す。

定義する

≡ ≔ ≜ ≝

左辺を右辺の式で定義するときに使う。これには、﹁≔﹂︵等号の左にコロン︶、﹁≜﹂︵等号の上に三角形︶、﹁≝﹂︵等号の上に﹁def﹂︶も使われる。

たとえば:

${\displaystyle f($x)\equiv x^{2}} $f(x)\equiv x^{2}$
${\displaystyle f($x):=x^{2}} $f(x):=x^{2}$
${\displaystyle f($x)\triangleq x^{2}} $f(x)\triangleq x^{2}$
${\displaystyle f($x){\overset {\underset {def}{}}{=}}x^{2}} $f(x){\overset {\underset {def}{}}{=}}x^{2}$
${\displaystyle f($x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}x^{2}} $f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}x^{2}$
はいずれも、﹁f(x) を x²と定義する﹂あるいは﹁定義により f(x) = x²である﹂ことを意味する。

同値

≡ = ⇔ ⟺ ↔ ⇌

左辺と右辺の命題もしくは論理式が同値であることを表す。E・H・ムーアや、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルが、1910年に使用した。

他に、﹁=﹂︵等号︶、﹁⇔﹂︵二重左右矢印︶、﹁⟺﹂︵長い二重左右矢印︶、﹁↔﹂︵一重左右矢印︶、﹁⇌﹂︵右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの︶も使う。

たとえば:

$P\equiv Q$$P\equiv Q$
$P=Q$$P=Q$
$P\Leftrightarrow Q$$P\Leftrightarrow Q$
$P\Longleftrightarrow Q$$P\Longleftrightarrow Q$
$P\leftrightarrow Q$$P\leftrightarrow Q$
$P\rightleftharpoons Q$$P\rightleftharpoons Q$
はいずれも、﹁P と Qが同値である﹂ことを意味する。

合同否定

≢

﹁≢﹂は、UnicodeとJIS X 0213では﹁not identical to﹂︵恒等でない︶、日本語では﹁合同否定﹂とも呼ばれる。

﹁A ≢ B﹂は、﹁A ≡ B でない﹂ことを意味する。たとえば:

$a\not \equiv b\mod m$$a\not \equiv b\mod m$
は、﹁a と bは mを法として合同でない﹂すなわち﹁a と bの各々を mで割った余りが異なる﹂ことを意味する。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
≡	U+2261	1-2-65	≡ ≡	常に等しい、合同 identical to
≃	U+2243	1-2-76	≃ ≃	漸進的に等しい、ホモトープ asymptotically equal to
≅	U+2245	1-2-77	≅ ≅	同形 approximately equal to
≌	U+224C		≌ ≌	すべて等しい all equal to
≢	U+2262	1-2-75	≢ ≢	合同否定 not identical to

※欧米では、相似関係を表すのに「∽」ではなく「～」が一般的に使用されているため、≌は≅と表すこともある。　

関連項目

• 数学記号の表