数え上げの積の法則

初等組合せ論における積の法則︵せきのほうそく、英: rule of product︶あるいは乗法原理 (multiplication principle) は基本的な組合せ原理︵英語版︶︵数え上げの基本原理︶の一つである。それは、簡単に言えば﹁ある場合が

a

通り、別のある場合が

b

通りあるとき、それらを同時に行う場合は

a

\cdot b

通りある﹂ことを述べるものである^[1]^[2]。

例[編集]

{A, B, C}

から一つと

{X, Y}

から一つを選ぶことは、

{AX, AY, BX, BY, CX, CY}

を一つ選ぶことである。この例では、積の法則は

3 \times 2 = 6

と表すことができる。この例における集合

{A, B, C}

および

{X, Y}

は互いに交わらないが、それは必要なことではない。例えば、

{A, B, C}

から一つ選び、再度同じ集合から一つ選ぶとすれば、それは

{A, B, C}

の要素からなる順序対を選ぶことと理解されるから、

3 \times 3 = 9

通りになる。別な例として、ピザの注文で生地の種類を薄いか厚いかの

2

種類と、トッピングをチーズ・ペペロニ・ソーセージの

3

種類から選べるとすると、積の法則を用いれば、ピザの注文方法が

2 \times 3 = 6

通り可能であるとわかる。

集合論において、乗法原理は基数の積の定義に用いられる^[1]。集合の濃度に関して

|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|

|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|

が成り立つ︵右辺の

\times

はデカルト積演算である︶。これらの各集合は有限集合である必要はなく、またこれら因子の数が有限個である必要もない。

^ ^a ^b Johnston, William, and Alex McAllister. A transition to advanced mathematics. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1
^ “[http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut55_count.htm College Algebra Tutorial 55: Fundamental Counting Principle]”. 2014年12月20日閲覧。
^ Rosen, Kenneth H., ed. Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC press, 1999.