コ ン テ ン ツ に ス キ ッ プ
メ イ ン メ ニ ュ ー
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案 内
● メ イ ン ペ ー ジ ● コ ミ ュ ニ テ ィ ・ ポ ー タ ル ● 最 近 の 出 来 事 ● 新 し い ペ ー ジ ● 最 近 の 更 新 ● お ま か せ 表 示 ● 練 習 用 ペ ー ジ ● ア ッ プ ロ ー ド ( ウ ィ キ メ デ ィ ア ・ コ モ ン ズ )
ヘ ル プ
● ヘ ル プ ● 井 戸 端 ● お 知 ら せ ● バ グ の 報 告 ● 寄 付 ● ウ ィ キ ペ デ ィ ア に 関 す る お 問 い 合 わ せ
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表 示
● ア カ ウ ン ト 作 成 ● ロ グ イ ン
個 人 用 ツ ー ル
● ア カ ウ ン ト 作 成 ● ロ グ イ ン
ロ グ ア ウ ト し た 編 集 者 の ペ ー ジ も っ と 詳 し く
● 投 稿 記 録 ● ト ー ク
ペ ー ジ 先 頭
1 一 般 項 の 様 子
一 般 項 の 様 子 サ ブ セ ク シ ョ ン を 切 り 替 え ま す
1 . 1 例
2 有 限 和
有 限 和 サ ブ セ ク シ ョ ン を 切 り 替 え ま す
2 . 1 導 出
3 無 限 級 数
無 限 級 数 サ ブ セ ク シ ョ ン を 切 り 替 え ま す
3 . 1 例 : 期 待 値 の 計 算
4 注 釈
5 参 考 文 献
6 関 連 文 献
7 外 部 リ ン ク
目 次 の 表 示 ・ 非 表 示 を 切 り 替 え
等 差 × 等 比 数 列
7 の 言 語 版
● E n g l i s h ● E s p a ñ o l ● M a g y a r ● B a h a s a I n d o n e s i a ● 한 국 어 ● У к р а ї н с ь к а ● 中 文
リ ン ク を 編 集
● ペ ー ジ ● ノ ー ト
日 本 語
● 閲 覧 ● 編 集 ● 履 歴 表 示
ツ ー ル
ツ ー ル
操 作
● 閲 覧 ● 編 集 ● 履 歴 表 示
全 般
● リ ン ク 元 ● 関 連 ペ ー ジ の 更 新 状 況 ● フ ァ イ ル を ア ッ プ ロ ー ド ● 特 別 ペ ー ジ ● こ の 版 へ の 固 定 リ ン ク ● ペ ー ジ 情 報 ● こ の ペ ー ジ を 引 用 ● 短 縮 U R L を 取 得 す る ● QR コ ー ド を ダ ウ ン ロ ー ド ● ウ ィ キ デ ー タ 項 目
印 刷 / 書 き 出 し
● ブ ッ ク の 新 規 作 成 ● P D F 形 式 で ダ ウ ン ロ ー ド ● 印 刷 用 バ ー ジ ョ ン
表 示
出 典 : フ リ ー 百 科 事 典 ﹃ ウ ィ キ ペ デ ィ ア ︵ W i k i p e d i a ︶ ﹄
数学 において、算術数列 と幾何数列 の項ごとの積 によって与えられる、算術–幾何数列 (arithmetico–geometric sequence ) は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 n n n 確率論 における期待値 の計算など様々な応用において生じる。例えば数列
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
…
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\dotsc }
青 ) が算術数列を成す成分、分母 (緑 ) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。
注意
「算術幾何数列」という呼称は、算術数列と幾何数列の両方の特徴を持つほかの対象に用いられる場合がある。[注釈 1]
一般項の様子 [ 編集 ]
初項 a d 算術数列 (青 ) と初項 b r 幾何数列 (緑 ) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は
t
1
=
a
b
t
2
=
(
a +
d )
b r
t
3
=
(
a +
2 d )
b
r
2
⋮
t
n
=
[
a +
(
n −
1 )
d ]
b
r
n −
1
{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}
[1]
簡単のため、本項ではこれ以降 b
例えば数列
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
⋯
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
d b a r
有限和 [ 編集 ]
算術幾何数列の初めの n n
S
n
=
∑
k =
1
n
t
k
=
∑
k =
1
n
[
a +
(
k −
1 )
d
]
r
k −
1
=
a +
[
a +
d ]
r +
[
a +
2 d ]
r
2
+
⋯
+
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n −
1
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}\\&=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\end{aligned}}}
閉じた形の式 （英語版 ）
S
n
=
a −
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n
1 −
r
+
d r (
1 −
r
n −
1
)
(
1 −
r
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {a-[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}}
求める和[1]
S
n
=
a +
[
a +
d ]
r +
[
a +
2 d ]
r
2
+
⋯
+
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n −
1
{\displaystyle S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}
r
r
S
n
=
a r +
[
a +
d ]
r
2
+
[
a +
2 d ]
r
3
+
⋯
+
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n
{\displaystyle rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}}
(
1 −
r )
S
n
=
[
a +
(
a +
d )
r +
(
a +
2 d )
r
2
+
⋯
+
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n −
1
]
−
[
a r +
(
a +
d )
r
2
+
(
a +
2 d )
r
3
+
⋯
⋯
+
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n
]
=
a +
d
(
r +
r
2
+
⋯
+
r
n −
1
)
−
[
a +
(
n −
1 )
d
]
r
n
=
a +
d r (
1 −
r
n −
1
)
1 −
r
−
[
a +
(
n −
1 )
d ]
r
n
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}\qquad -\left[ar+\quad (a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\dotsb \dotsb \qquad +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}}
幾何級数 の公式を用いた）。最後に、両辺を (1 − r で割れば所期の式を得る。
無限級数 [ 編集 ]
前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何級数 は −1 < r 1 なるとき、その値 S
S =
∑
k =
1
∞
t
k
=
lim
n →
∞
S
n
=
a
1 −
r
+
d r
(
1 −
r
)
2
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}}
[1]
r
発散 : r 1 r a, d の何れかは 0 でない] のとき[注釈 2]
交項級数 : r
例: 期待値の計算 [ 編集 ]
d b a r
S =
0
1
+
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
⋯
{\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }
S
この数列はコイントス において「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k T k
T
1
=
1 2
,
T
2
=
1 4
,
…
,
T
k
=
1
2
k
{\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}
∑
k =
1
∞
k
T
k
=
∑
k =
1
∞
k
2
k
=
S =
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2}
^ 例えば線形回帰数列 の一種で
u
n +
1
=
a
u
n
+
b
{\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b}
数列 は、算術数列 (a b
^ 後者の場合で a d
参考文献 [ 編集 ]
^ a b c K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3
関連文献 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]
﹁ https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=等差×等比数列&oldid=99172167 ﹂ か ら 取 得 カ テ ゴ リ : ● 初 等 解 析 学 ● 級 数 ● 数 学 に 関 す る 記 事
● 最 終 更 新 2 0 2 4 年 2 月 8 日 ( 木 ) 1 3 : 1 0 ︵ 日 時 は 個 人 設 定 で 未 設 定 な ら ば U T C ︶ 。 ● テ キ ス ト は ク リ エ イ テ ィ ブ ・ コ モ ン ズ 表 示 - 継 承 ラ イ セ ン ス の も と で 利 用 で き ま す 。 追 加 の 条 件 が 適 用 さ れ る 場 合 が あ り ま す 。 詳 細 に つ い て は 利 用 規 約 を 参 照 し て く だ さ い 。 ● プ ラ イ バ シ ー ・ ポ リ シ ー ● ウ ィ キ ペ デ ィ ア に つ い て ● 免 責 事 項 ● 行 動 規 範 ● 開 発 者 ● 統 計 ● C o o k i e に 関 す る 声 明 ● モ バ イ ル ビ ュ ー
は分子 (青) が算術数列を成す成分、分母 (緑) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c2da02b4b0fb0277466a44162a1320a078ede)
のようになっている[1]。
は d = b = 1, a = 0, r = 1/2 の定める算術幾何数列である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}\\&=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a77e876dcfd9a6dd79b12e3e932c26a4dba6986)
は閉じた形の式（英語版） ![{\displaystyle S_{n}={\frac {a-[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd5722823c8eea570ae0927db558f085d550829)
で表すことができる。
![{\displaystyle S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6487b2b7e7afcfc84b0f5333dff170b47094d8)
に公比 r を掛けて ![{\displaystyle rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677ab431dca2255dfbdf4c67c2f3d917583eb26f)
としてから、辺々引くことにより![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}\qquad -\left[ar+\quad (a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\dotsb \dotsb \qquad +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b36fdb72939f7412555d11f7c9c3ea6bc13f03)
を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を (1 − r) で割れば所期の式を得る。
で与えられる[1]。
は収束して S = 2 である。
で与えられる。したがってトス回数の期待値は
である。
