虚時間

実時間と虚時間の関係は直交する軸として視覚化できる。

虚時間︵きょじかん、imaginary time︶は、虚の時間、つまり、単位時間の虚数︵純虚数︶倍で表される時間である。

虚時間と特殊相対性理論

ローレンツ変換の不変量である4次元距離は


${\displaystyle s^{2}=($ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,} $s^{2}=(ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,$

で表される。ここでは、時間と空間は対称ではない。しかし、虚時間を $\tau =it$$\tau =it$と置くと、


$s^{2}=-\{(c\tau )^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\}\,$$s^{2}=-\{(c\tau )^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\}\,$

となり、虚時間︵の $c$$c$倍︶と空間との間に対称性が成立する。このため、特殊相対性理論を虚時間を使って記述すると、数学的取り扱いが容易になる。たとえば、ミンコフスキー時空は4次元ユークリッド空間となり、ローレンツ変換は回転となる。

虚時間と温度

量子統計力学においては、虚時間は逆温度と融合する。すなわち

$\Theta :={\frac {t}{\hbar }}-i{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.$$\Theta :={\frac {t}{\hbar }}-i{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.$
ここで k_Bはボルツマン定数、ħ は換算プランク定数である。この観点からは、エネルギーの逆数の次元を持つ複素パラメータが現象として現れる際にその実部が時間に、虚部が温度に分かれると考えることが自然となる。

関連項目

• ウィック回転