53平均律

53平均律︵英: 53-equal temperament︶とは、1オクターヴを53の等しいステップに分割した音律である。各ステップは、

2^{\frac {1}{53}}

2^{\frac {1}{53}}

(

{\sqrt[{53}]{2}}

{\sqrt[{53}]{2}}

) の周波数比率、あるいは 1200/53 ≈ 22.6415 セントである。この音程は時にホルダーのコンマ︵英語版︶と呼ばれる。

歴史[編集]

この分割への理論的な関心は古代にさかのぼる。中国の音楽理論家である京房︵78BC-37BC︶は、53個の完全五度の連鎖

\left(3/2\right)^{53}

\left(3/2\right)^{53}

が、31オクターヴ

\left(2/1\right)^{31}

\left(2/1\right)^{31}

にほぼ等しいことを発見した。彼は6桁の精度で差を算出し

{\frac {177147}{176776}}

{\frac {177147}{176776}}

とした︵京房の六十律︶^[1]。その後、同じ発見が、数学者および音楽理論家であるニコラス・メルカトル (Nicholas Mercator, c. 1620-1687) によってなされ、彼はこの値を

{\frac {3^{53}}{2^{84}}}=19383245667680019896796723/19342813113834066795298816

{\frac {3^{53}}{2^{84}}}=19383245667680019896796723/19342813113834066795298816

として正確に算出し、メルカトルのコンマとして知られている^[2]。メルカトルのコンマは、約3.6150セント (≈ 1/332 オクターヴ)という小さな値であるが、53平均律は、そのコンマの1/53倍 (≈ 0.0682 セント ≈ 1/315 シントニックコンマ ≈ 1/344 ピタゴラスコンマ)だけ各々の完全五度を補正し平準化する。したがって、53平均律は、すべての実際上の目的に対してピタゴラス音律の拡張と等価といえる。メルカトルの後、ウィリアム・ホルダー︵英語版︶は、1694年の論文で、53平均律が、長三度を1.4セント以内によく近似することを指摘した。したがって、53平均律はまた、 5限界︵英語版︶純正律の音程を高い精度で代表する^[3]^[4]。53平均律のこの性質は、より以前に知られていたかもしれない。アイザック・ニュートンの未出版の手稿は、彼が1664-65年頃すでにそれに気づいていたことを示唆する^[5]。

スケールダイヤグラム[編集]

間隔 (steps)		3		2		4		3		2		3		2		1		2		4		1		4		3		2		3		4		2		3		2		1		2
間隔 (cents)		68		45		91		68		45		68		45		23		45		91		23		91		68		45		68		91		45		68		45		23		45
音名	C_±0		C♯_-2		D♭₊₁		D_±0		D♯_-2		E♭₊₁		E_-1		F♭₊₂		E♯_-3		F_±0		F♯_-1		G♭₊₁		G_±0		G♯_-2		A♭₊₁		A_-1		A♯_-2		B♭₊₁		B_-1		C♭₊₂		B♯_-3		C_±0
音程 (cents)	0		68		113		204		272		317		385		430		453		498		589		611		702		770		815		883		974		1019		1087		1132		1155		1200
音程 (steps)	0		3		5		9		12		14		17		19		20		22		26		27		31		34		36		39		43		45		48		50		51		53

他の音律との比較[編集]

この音律における31段の音程がほとんど正確に純正な完全五度と等しいので、理論上この音律は53音まで拡張されたピタゴラス音律の一形体であると考えられる。したがって︵実用上︶純正な五度や、純正より広い長三度︵純正の5:4に対して81:64︶、また逆に狭い短三度︵6:5と比べ32:27︶など、ピタゴラス音律と同じ特性を持つ音程が利用できる。しかしながら、53平均律は非常に純正音程に近い追加の音程を含んでいる。例えば、17段の音程も長三度だが、純正な音程(5:4)よりもわずか1.4セントだけ狭い音程である。53平均律は、5限界純正律の音程をよく近似する。第7倍音に関連する純正音程の近似はやや劣るが、7:5の三全音で最大の偏差を持ちつつ、依然として一致を見せる。第11倍音に関連する音程の近似はより劣る。

音程名	サイズ (段)	サイズ (cents)	純正比	純正 (cents)	偏差
harmonic seventh	43	973.585	7:4	968.826	-4.759
perfect fifth	31	701.887	3:2	701.955	0.068
Pythagorean tritone^[6]	27	611.321	729:512	611.73	0.409
diatonic tritone	26	588.679	45:32	590.224	1.544
Pythagorean diminished fifth	26	588.679	1024:729	588.27	-0.409
septimal tritone	26	588.679	7:5	582.512	-6.167
classic tritone	25	566.038	25:18	568.717	2.68
undecimal tritone	24	543.396	11:8	551.318	7.922
double diminished fifth	24	543.396	512:375	539.104	-4.292
undecimal augmented fourth	24	543.396	15:11	536.951	-6.445
acute fourth	23	520.755	27:20	519.551	-1.203
perfect fourth	22	498.113	4:3	498.045	-0.068
grave fourth	21	475.472	320:243	476.539	1.067
septimal narrow fourth	21	475.472	21:16	470.781	-4.691
classic augmented third	20	452.83	125:96	456.986	4.156
tridecimal augmented third	20	452.83	13:10	454.214	1.384
septimal major third	19	430.189	9:7	435.084	4.895
classic diminished fourth	19	430.189	32:25	427.373	-2.816
Pythagorean ditone	18	407.547	81:64	407.82	0.273
just major third	17	384.906	5:4	386.314	1.408
grave major third	16	362.264	100:81	364.807	2.543
neutral third, tridecimal	16	362.264	16:13	359.472	-2.792
neutral third, undecimal	15	339.623	11:9	347.408	7.785
acute minor third	15	339.623	243:200	337.148	-2.475
just minor third	14	316.981	6:5	315.641	-1.34
Pythagorean semiditone	13	294.34	32:27	294.135	-0.205
classic augmented second	12	271.698	75:64	274.582	2.884
septimal minor third	12	271.698	7:6	266.871	-4.827
tridecimal diminished third	11	249.057	15:13	247.741	-1.316
classic diminished third	11	249.057	144:125	244.969	-4.088
septimal whole tone	10	226.415	8:7	231.174	4.759
diminished third	10	226.415	256:225	223.463	-2.953
whole tone, major tone	9	203.774	9:8	203.91	0.136
whole tone, minor tone	8	181.132	10:9	182.404	1.272
neutral second, greater undecimal	7	158.491	11:10	165.004	6.514
neutral second, grave whole tone	7	158.491	800:729	160.897	2.407
neutral second, lesser undecimal	7	158.491	12:11	150.637	-7.854
neutral second, tridecimal	6	135.849	13:12	138.573	2.724
neutral second, large limma	6	135.849	27:25	133.238	-2.611
Pythagorean chromatic semitone	5	113.208	2187:2048	113.685	0.477
just diatonic semitone	5	113.208	16:15	111.731	-1.476
major limma	4	90.566	135:128	92.179	1.613
Pythagorean diatonic semitone	4	90.566	256:243	90.225	-0.341
just chromatic semitone	3	67.925	25:24	70.672	2.748
just diesis	2	45.283	128:125	41.059	-4.224
syntonic comma	1	22.642	81:80	21.506	-1.135

緩和[編集]

53平均律は、ディエシス (128:125)、7限界のコンマ (64:63)、シントニックコンマ (81:80)を含む音程を緩和していない。

53平均律は、32805:32768（スキスマ、純正5度8個と純正長3度1個を重ねた音程と5オクターヴの差分）、15625:15552（クライスマ（英語版）、純正短3度を6個重ねた音程と3:1の音程の差分）、121:120（大小2つの11限界の中立2度の差分）、225:224（七限界のクライスマ、16:15の半音の2倍と8:7の全音の差分）、325:324（10:9の小全音の2倍と16:13の中立3度の差分）、352:351（13:11の短3度とピタゴラス音律の短3度の差分）の周波数比を緩和する。

参考文献[編集]

^ McClain, Ernest and Ming Shui Hung. Chinese Cyclic Tunings in Late Antiquity, Ethnomusicology Vol. 23 No. 2, 1979. pp. 205–224.
^ Monzo, Joe (2005). "Mercator's Comma", Tonalsoft.
^ Holder, William, Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony, facsimile of the 1694 London edition, Broude Brothers, 1967
^ Stanley, Jerome, William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory, The Edwin Mellen Press, 2002
^ Barbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.
^ "List of intervals", Huygens-Fokker Foundation.

歴史[編集]

スケールダイヤグラム[編集]

他の音律との比較[編集]

緩和[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]