CR多様体

数学において、CR多様体︵CRたようたい、英: CR manifold︶とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．

CRは，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である．

導入

CR多様体のモデルは複素数空間 $\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb {C} ^{n}$内の領域の滑らかな境界である.

領域 $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$の滑らかな境界$M$$M$ について, 次で定義される複素化(complexified)された接束 $\mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C}$$\mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C}$の部分ベクトル束 $L$$L$を考えよう:

$L:=\mathbb {C} TM\,\cap \,T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}.$$L:=\mathbb {C} TM\,\cap \,T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}.$
ここで, $T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}$$T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}$は $\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb {C} ^{n}$の正則接束を表すとする. このとき, $L$$L$は次を満たす: 

●$[L,L]\subset L$$[L,L]\subset L$,

●$L\cap {\overline {L}}=\{0\}$$L\cap {\overline {L}}=\{0\}$.

ただし, ${\overline {L}}$${\overline {L}}$は $L$$L$の複素共役とする.

定義

CR多様体とは，微分可能多様体 $M$$M$とその上の複素化(complexified)された接束 $\mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C}$$\mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C}$の部分ベクトル束 $L$$L$で次の条件を満たすものの組 $(M,L)$$(M,L)$のことである: 

●$[L,L]\subset L$$[L,L]\subset L$( $L$$L$は可積分(integrable)である ),

●$L\cap {\bar {L}}=\{0\}$$L\cap {\bar {L}}=\{0\}$.

ここで, ${\overline {L}}$${\overline {L}}$は $L$$L$の複素共役とする. このとき，ベクトル束 $L$$L$を多様体 $M$$M$上のCR構造という．

$L$$L$ の階数 ${\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L$${\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L$をCR次元, $\dim M-2\;{\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L$$\dim M-2\;{\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L$をCR余次元という．

CR余次元が1のとき, $(M,L)$$(M,L)$は超曲面型(hypersurface type)であるという.

例

擬凸性

レヴィ形式

$M$$M$ を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 $h$$h$は，直線束

$V={\frac {TM\otimes {\mathbb {C} }}{L\oplus {\bar {L}}}}$$V={\frac {TM\otimes {\mathbb {C} }}{L\oplus {\bar {L}}}}$
に値を持つ $L$$L$上で定義されたベクトル値形式(vector valued form)で，

$h(v,w):={\frac {1}{2i}}[v,{\bar {w}}]\mod L\oplus {\bar {L}},\quad v,w\in L$$h(v,w):={\frac {1}{2i}}[v,{\bar {w}}]\mod L\oplus {\bar {L}},\quad v,w\in L$
により与えられる．$h$$h$ は，可積分条件により，$v$$v$ と $w$$w$が $L$$L$の切断へどのように拡張するかには依存せず，$L$$L$ 上の半双線型形式を定義する．この形式 $h$$h$は，同じ形で束 $L\oplus {\bar {L}}$$L\oplus {\bar {L}}$上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。

代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，

$H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\bar {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes {\mathbb {C} }$$H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\bar {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes {\mathbb {C} }$
となる．各々の切断 α∈Γ(H₀M ) に対し，

$h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\bar {w}})=-\alpha ([v,{\bar {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\bar {L}}.$$h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\bar {w}})=-\alpha ([v,{\bar {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\bar {L}}.$
とする．形式 h_α は α を伴う複素数値エルミート形式である．

多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。

超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦

$M$$M$ が超曲面型のCR多様体で単一の函数 $F=0$$F=0$で定義されているとする．このとき，$M$$M$ のレヴィ形式(エフゲニオ・エリア・レヴィ(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式

$h=i\partial {\bar {\partial }}F|_{L}$$h=i\partial {\bar {\partial }}F|_{L}$
のことを指す．レヴィ形式は $L$$L$上の計量を定める．$M$$M$ は，$h$$h$ が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ，$h$$h$ が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．

この命名は擬凸領域の研究から来ている: $M$$M$が $\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb {C} ^{n}$内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

その他の話題

接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体

まず，接コーシー・リーマン作用素 ${\overline {\partial }}_{b}$${\overline {\partial }}_{b}$を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は ${\overline {\partial }}$${\overline {\partial }}$の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 ${\overline {\partial }}_{b}$${\overline {\partial }}_{b}$は複体をなす，すなわち，${\overline {\partial }}_{b}\circ {\overline {\partial }}_{b}=0$${\overline {\partial }}_{b}\circ {\overline {\partial }}_{b}=0$ が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.

CR関数

作用素 ${\overline {\partial }}_{b}$${\overline {\partial }}_{b}$により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という．

コーンラプラシアン

接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン $\Box _{b}$$\Box _{b}$が次で定義される:

$\Box _{b}:={\overline {\partial }}_{b}{\overline {\partial }}_{b}^{*}+{\overline {\partial }}_{b}^{*}{\overline {\partial }}_{b}$$\Box _{b}:={\overline {\partial }}_{b}{\overline {\partial }}_{b}^{*}+{\overline {\partial }}_{b}^{*}{\overline {\partial }}_{b}$
ここで，${\overline {\partial }}_{b}^{*}$${\overline {\partial }}_{b}^{*}$ は ${\overline {\partial }}_{b}$${\overline {\partial }}_{b}$の${\displaystyle L^{2}($M)} $L^{2}(M)$ についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 $\Box _{b}$$\Box _{b}$は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 $\Box _{b}$$\Box _{b}$は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 $\Box _{b}$$\Box _{b}$の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．

具体例

具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 ${\overline {\partial }}_{b}$${\overline {\partial }}_{b}$を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R}$$\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R}$について，その上の左不変な正則ベクトル場

$L_{j}:={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+i{\overline {z}}_{j}{\frac {\partial }{\partial t}}(j=1,2,\dotsm ,n)$$L_{j}:={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+i{\overline {z}}_{j}{\frac {\partial }{\partial t}}(j=1,2,\dotsm ,n)$
を考える．ここで，$(z_{1},z_{2},\dotsm ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R}$$(z_{1},z_{2},\dotsm ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R}$ とする．このとき，関数 $u$$u$について，

${\overline {\partial }}_{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L}}_{j}u\;d{\overline {z}}_{j}$${\overline {\partial }}_{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L}}_{j}u\;d{\overline {z}}_{j}$
が成立する．ここで，${\overline {L}}_{j}$${\overline {L}}_{j}$ は $L_{j}$$L_{j}$の複素共役を表すとする．関数については ${\overline {\partial }}_{b}^{*}$${\overline {\partial }}_{b}^{*}$は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:

$\Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L}}_{j}.$$\Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L}}_{j}.$
さて，次の交換子の計算に注意する:

$[L_{j},{\overline {L}}_{j}]=-2iT.$$[L_{j},{\overline {L}}_{j}]=-2iT.$
ただし，$T:={\frac {\partial }{\partial t}}$$T:={\frac {\partial }{\partial t}}$ とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:

$\Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L}}_{j}+{\overline {L}}_{j}L_{j})+inT.$$\Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L}}_{j}+{\overline {L}}_{j}L_{j})+inT.$
右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい，$\Delta _{b}$$\Delta _{b}$ で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき，$\Box _{b}=\Delta _{b}+inT$$\Box _{b}=\Delta _{b}+inT$ と表すこともできる．

CR埋め込み問題

CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある．

大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．

実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 $S^{3}$$S^{3}$の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).

局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．

実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である． 

関連項目

• エフゲニオ・エリア・レヴィ(Eugenio Elia Levi)
• 擬凸性

参考文献

• Levi, Eugenio Elia (1910), “Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse” (Italian), Annali di Matematica Pura e Applicata, s. III, XVII (1): 61–87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, http://www.springerlink.com/content/yr0150m4tq64j465/ . An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables".
• Boggess, Albert (1991). CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex. CRC Press 
• Hill, D. and Nacinovich, M. (1995). “Duality and distribution cohomology of CR manifolds”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22 (2): 315–339. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASNSP_1995_4_22_2_315_0. 
• Chern S. S. and Moser, J.K. (1974). “Real hypersurfaces in complex manifolds”. Acta Math. 133: 219–271. doi:10.1007/BF02392146. 
• Harvey, F.R. and Lawson, H.B., Jr. (1978). “On boundaries of complex analytic varieties”. Ann. Math. 102 (2): 223–290. doi:10.2307/1971032. JSTOR 1971032.