CW複体

位相幾何学において、CW複体︵CWふくたい︶とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広義の概念であり、いくつかの優れた圏論的特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。

構成

CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは﹁閉包有限性﹂(closure finite)を表し、Wは﹁弱い位相﹂(weak topology)を表す。

$n$$n$ 次元の閉胞体とは、$n$$n$ 次元ユークリッド空間上の閉球体 $D^{n}$$D^{n}$に同相な空間を指す。一例として、$n$$n$ 次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、$n$$n$ 次元の開胞体は、 $D^{n}$$D^{n}$の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開︵および閉︶胞体は、一点空間と定める。

CW複体は、ハウスドルフ空間 $X$$X$と、次の2つの性質を満たす開胞体への分割 $\{e_{\alpha }^{k}\}$$\{e_{\alpha }^{k}\}$を指す。

●各開胞体 $e_{\alpha }^{n}$$e_{\alpha }^{n}$に対して、 $n$$n$次元の閉球体からの連続写像 $f:D^{n}\to X$$f:D^{n}\to X$が存在し、以下の2つの条件を満たす。
●$f$$f$ の定義域を $D^{n}$$D^{n}$の内部に制限した時、これは $e_{\alpha }^{n}$$e_{\alpha }^{n}$への同相写像である。

●$D^{n}$$D^{n}$ の境界 $\partial D^{n}$$\partial D^{n}$は、 $\{e_{\alpha }^{k}\}$$\{e_{\alpha }^{k}\}$に含まれる有限個の胞体の合併へと写され、この有限個の胞体の次元がいずれも $n$$n$以下である (この条件が閉包有限性に対応する)。

●$X$$X$ の部分集合 $A$$A$に対し、$X$$X$ に含まれる任意の胞体の閉包と $A$$A$との交叉 ${\bar {e}}_{\alpha }^{n}\cap A$${\bar {e}}_{\alpha }^{n}\cap A$が ${\bar {e}}_{\alpha }^{n}$${\bar {e}}_{\alpha }^{n}$における閉集合となる場合、かつその場合に限り、 $A$$A$が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。

正則CW複体

とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。

相対CW複体

CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。

例

●実数の標準CW構造 として、0スケルトンの整数$\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ がある。そして1セルとして区間$\{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}$$\{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}$ がある。同様に、上の標準CW構造$\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ からの0セルと1セルの積である立方体セル$\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ がある。さらに、標準の立方格子 セル$\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ がる。

●多面体 はCW複体。

●グラフは1次元のCW複体。三価グラフは、一般的な1次元CW複体と見なすことができる。具体的には、X が1次元のCW複体である場合、1セルの添字写像は2点空間からX への写像$f:\{0,1\}\to X$$f:\{0,1\}\to X$ 、この写像はXを 0スケルトンから切り離す。$f(0)$$f(0)$そして${\displaystyle f($1)} $f(1)$ Xの 0価は頂点。

●無限次元ヒルベルト空間 はCW複体でない。これはベール空間であるため、n個の スケルトンの可算結合として記述できない。それぞれのスケルトンは空の内部を持つ閉集合。この議論は、他の多くの無限次元空間に及ぶ。

●一般的な2次元CW複体の射影。

●n次元球 は、2つのセル︵1つの0セルと1つのnセル︶を持つCW構造を受け入れる。

●n次元の実射影空間 は、各次元に1つのセルを持つCW構造を許可する。

●グラスマン多様体は、シューベルトセル と呼ばれるCW構造を認める。

●微分可能多様体、代数および射影多様体 には、ホモトピー型のCW複体がある。

●カスプ双曲多様体の1点コンパクト化には、Epstein-Penner分解 と呼ばれる0セル︵コンパクト化ポイント︶が1つしかない正準CW分解がある。

出典