DFFITS

DFFITS は統計学の回帰分析において、ある点の影響度を示す統計量である。1980年に出版されたベルスレー、クー、ウェルシュ共著の﹃回帰診断‥影響の強いデータと共線形性の源泉を同定する﹄で提案された。

DFFITS は 問題の点を回帰から外した場合の予測︵回帰︶値の変化 "DFFIT" を問題の点での当てはめの標準偏差の推定値で割って︵スチューデント化、'S'︶したものである。

${\displaystyle {\text{DFFITS}}={{\widehat {y_{i}}}-{\widehat {y_{i($i)}}} \over s_{(i)}{\sqrt {h_{ii}}}}.} ${\text{DFFITS}}={{\widehat {y_{i}}}-{\widehat {y_{i(i)}}} \over s_{(i)}{\sqrt {h_{ii}}}}.$
ここで ${\widehat {y_{i}}}$${\widehat {y_{i}}}$と ${\displaystyle {\widehat {y_{i($i)}}}} ${\widehat {y_{i(i)}}}$は点iが回帰に含まれた場合と除かれた場合の予測値である。${\displaystyle s_{($i)}} $s_{(i)}$ は問題の点を含まずに推定された標準誤差の値である。$h_{ii}$$h_{ii}$ は その点のてこ値 である。

DFFITS は外部スチューデント化残差に似ている。実はそれを${\sqrt {h_{ii}/(1-h_{ii})}}$${\sqrt {h_{ii}/(1-h_{ii})}}$　倍したものである。誤差が正規分布するとき、外部スチューデント化残差はスチューデントのt分布︵自由度は︵残差の自由度−1︶︶する。ある点での DFFITS とその点でのテコ因子 ${\sqrt {h_{ii}/(1-h_{ii})}}$${\sqrt {h_{ii}/(1-h_{ii})}}$との積は同じt分布をする。したがって、テコ値の小さい点では DFFITS は小さいことが期待され、テコ値が1に近づくと DFFITS 値の分布は無限に広がる。

完全に均衡のとれた実験計画、たとえば︵因子計画や均衡部分因子計画︶の場合、各点でのテコ値は $p/n$$p/n$、すなわち母数の個数を点の個数で割ったものである。これは DFFITS 値が︵正規分布の場合︶${\sqrt {p \over n-p}}\approx {\sqrt {p \over n}}$${\sqrt {p \over n-p}}\approx {\sqrt {p \over n}}$ とt変数の積である。したがって、同書の著者は DFFITS が $2{\sqrt {p \over n}}$$2{\sqrt {p \over n}}$より大きい場合を外れ点としてチェックすることを薦めている。

類似の量にクックの距離がある。