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作 用 素 代 数 に お い て 、 G N S 構 成 法 ︵ G N S こ う せ い ほ う 、 英 : G N S c o n s t r u c t i o n ︶ 、 ま た は G e l f a n d – N a i m a r k – S e g a l 構 成 法 と は C * - 代 数 に 状 態 と 呼 ば れ る 線 形 汎 関 数 が 与 え ら れ た と き に 、 巡 回 表 現 と 呼 ば れ る 特 別 な 表 現 を 構 成 す る 方 法 。 G N S の 語 は 考 案 者 で あ る 3 人 の 数 学 者 G e l f a n d 、 N a i m a r k 、 S e g a l の 頭 文 字 に 由 来 す る 。 場 の 量 子 論 や 量 子 統 計 力 学 で は 、 ヒ ル ベ ル ト 空 間 を 離 れ 、 物 理 量 の な す 代 数 の み か ら 理 論 を 構 築 し て も G N S 構 成 法 に よ り 、 全 て の 物 理 量 の 期 待 値 が 与 え ら れ た と き に 、 逆 に ヒ ル ベ ル ト 空 間 と そ の 上 の 作 用 に よ る 物 理 量 の 表 現 を 構 成 す る こ と が で き る 。 自 由 度 が 無 限 大 で あ る 系 で は 、 当 初 に 設 定 し た 空 間 を 飛 び 出 さ ね ば な ら な い こ と が 多 い 。 こ の と き G N S 構 成 法 を 用 い れ ば 、 新 し い ヒ ル ベ ル ト 空 間 を 作 る こ と が で き る 。
作 用 素 代 数 の 一 つ で あ る C * - 代 数
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
は 、 有 界 作 用 素 の 有 す る 性 質 を 抽 象 化 し 、 対 合 と 呼 ば れ る 随 伴 作 用
∗
:
A
→
A
∗
{\displaystyle \ast :A\rightarrow A^{\ast }}
に 対 応 す る 作 用 を 持 つ 代 数 で あ る 。 C * - 代 数 に は ノ ル ム が 存 在 し 、 ノ ル ム に つ い て 完 備 な バ ナ ッ ハ 空 間 で も あ る 。
π
:
A
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}
を
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
か ら あ る ヒ ル ベ ル ト 空 間
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
の 有 界 作 用 素 の な す 代 数
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}
へ の * - 準 同 型 写 像 と す る と 、
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
の 元
A
{\displaystyle A}
に 有 界 作 用 素
π
(
A
)
{\displaystyle \pi (A )}
を 対 応 づ け る こ と が で き る 。 ヒ ル ベ ル ト 空 間
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
と * - 準 同 型 写 像 の 組
(
H
,
π
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}},\pi )}
を 表 現 と 呼 ぶ 。 ま た 、 C * - 代 数
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
の 元
A
{\displaystyle A}
に 対 し て 、 複 素 値
ω
(
A
)
{\displaystyle \omega (A )}
を 与 え る 規 格 化 さ れ た 線 形 汎 関 数
ω
{\displaystyle \omega }
を 状 態 と 呼 ぶ 。 こ の と き 、 G N S 構 成 法 で は 、 C * - 代 数
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
上 の 状 態
ω
{\displaystyle \omega }
に 対 し 、 巡 回 表 現 と 呼 ば れ る 特 別 な 表 現
(
H
ω
,
π
ω
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega })}
を 構 成 す る こ と が で き る 。 こ こ で 巡 回 表 現 と は 、 巡 回 ベ ク ト ル
Ω
ω
{\displaystyle \Omega _{\omega }}
と 呼 ば れ る 元 が 存 在 し 、 状 態 に よ る 値 を
ω
(
A
)
=
⟨
Ω
ω
,
π
ω
(
A
)
Ω
ω
⟩
{\displaystyle \omega (A )=\langle \Omega _{\omega },\pi _{\omega }(A )\Omega _{\omega }\rangle }
と 内 積 の 形 で 表 せ る と も に 、
H
ω
=
π
ω
(
A
)
Ω
ω
¯
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\omega }={\overline {\pi _{\omega }({\mathfrak {A}})\Omega _{\omega }}}}
が 成 り 立 つ よ う な 表 現 で あ る 。
(
H
ω
,
π
ω
,
Ω
ω
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega },\Omega _{\omega })}
で 与 え ら れ る 組 を G N S 構 成 と 呼 ぶ 。
参考文献 [ 編集 ]
Ola Bratteli and Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1: C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States , Springer (2002) ISBN 978-3540170938
関連項目 [ 編集 ]