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複素平面内のクラインの j -不変量
数 学 で は 複 素 変 数 τ の 函 数 で あ る フ ェ リ ッ ク ス ・ ク ラ イ ン の j - 不 変 量 ( j - i n v a r i a n t ) ︵ も し く は j - 函 数 ︶ と は 、 複 素 数 の 上 半 平 面 上 に 定 義 さ れ た S L ( 2 , Z ) の ウ ェ イ ト 0 の モ ジ ュ ラ ー 函 数 で あ る 。 j - 不 変 量 と し て 、 尖 点 で 一 位 の 極 を 持 つ 以 外 は 正 則 な 関 数 で あ り 、 次 を 満 た す も の が 一 意 に 定 ま る 。
j
(
e
2
3
π
i
)
=
0
,
j
(
i
)
=
1728
{\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i )=1728}
j の 有 理 函 数 は モ ジ ュ ラ ー で あ り 、 実 際 に す べ て の モ ジ ュ ラ ー 函 数 を 与 え る 。 古 典 的 に は 、 j - 不 変 量 は C 上 の 楕 円 曲 線 の パ ラ メ ー タ 化 と し て 研 究 さ れ て い た が 、 驚 く べ き こ と に 、 モ ン ス タ ー 群 の 対 称 性 と の 関 係 を 持 っ て い る ︵ こ の 関 係 は モ ン ス ト ラ ス ・ ム ー ン シ ャ イ ン と 呼 ば れ る ︶ 。
j - 不 変 量 は あ る 無 限 和 ︵ 下 記 の g 2 , g 3 を 参 照 ︶ で 純 粋 に 定 義 す る こ と が で き る が 、 こ れ ら は 楕 円 曲 線 の 同 型 類 を 考 え る こ と が 動 機 と な る 。 C 上 の す べ て の 楕 円 曲 線 E は 複 素 ト ー ラ ス で あ る の で 、 ラ ン ク 2 の 格 子 、 つ ま り C の 2 次 元 格 子 と 同 一 視 で き る 。 格 子 の 互 い に 平 行 な 反 対 側 の 辺 を 同 一 視 す る こ と で 、 そ の よ う に み な す こ と が で き る 。 複 素 数 を 格 子 に 掛 け る こ と は 格 子 の 回 転 や ス ケ ー リ ン グ に 対 応 し 、 こ れ ら は 楕 円 曲 線 の 同 型 類 を 保 存 す る こ と が わ か り 、 こ の こ と か ら 、 格 子 を 1 と 上 半 平 面 H の あ る 元 τ に よ っ て 生 成 さ れ る と 考 え て よ い 。 逆 に 、
g
2
=
60
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
+
n
τ
)
−
4
,
{\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},}
g
3
=
140
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
+
n
τ
)
−
6
,
{\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6},}
と 定 義 す る と 、 こ の 格 子 は ヴ ァ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 楕 円 函 数 を 通 し て 、 y 2 = 4 x 3 − g 2 x - g 3 で 定 義 さ れ た C 上 の 楕 円 曲 線 に 対 応 す る 。 こ の と き 、 j - 不 変 量 は 、
j
(
τ
)
=
1728
g
2
3
Δ
{\displaystyle j(\tau )=1728\,{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}}
と 定 義 さ れ る 。 こ こ に モ ジ ュ ラ ー 判 別 式 ( m o d u l a r d i s c r i m i n a n t ) Δ は
Δ
=
g
2
3
−
27
g
3
2
{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
で あ る 。
Δ は ウ ェ イ ト 12 の モ ジ ュ ラ ー 形 式 で あ る こ と と 、 g 2 は ウ ェ イ ト 4 の モ ジ ュ ラ ー 形 式 で あ る の で そ の 3 乗 は ウ ェ イ ト 12 で あ る こ と を 示 す こ と が で き る 。 し た が っ て 、 j が こ れ ら の 商 で あ る こ と か ら j は ウ ェ イ ト 0 の モ ジ ュ ラ 函 数 で あ り 、 特 に 、 S L ( 2 , Z ) の 作 用 の 下 に 不 変 な 有 理 型 函 数 H → C で あ る 。 以 下 に 説 明 す る よ う に j は 全 射 で あ り 、 こ の こ と は C 上 の 楕 円 曲 線 の 同 型 類 と 複 素 数 の 間 の 全 単 射 を 与 え る こ と を 意 味 す る 。
基 本 領 域 [ 編 集 ]
上 半 平 面 上 に 作 用 す る モ ジ ュ ラ 群 の 基 本 領 域
2 つ の 変 換 τ → τ + 1 と τ → - τ − 1 は モ ジ ュ ラ 群 と 呼 ば れ る 群 を 生 成 し 、 こ の 群 は 射 影 特 殊 線 型 群 P S L ( 2 , Z ) と 同 一 視 で き る 。 こ の 群 に 属 す る 適 当 な 変 換
τ
↦
a
τ
+
b
c
τ
+
d
,
a
d
−
b
c
=
1
,
{\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}
を 選 択 す る こ と に よ り 、 τ を j の 基 本 領 域 ︵ 英 語 版 ︶ ( f u n d a m e n t a l r e g i o n ) 内 に あ り j に 対 し て 同 じ 値 を と る 、 あ る 値 に 帰 着 さ せ る こ と が で き る 。 基 本 領 域 は 次 の 条 件 を 満 た す τ か ら 構 成 さ れ て い る 。
|
τ
|
≥
1
−
1
2
<
R
(
τ
)
≤
1
2
−
1
2
<
R
(
τ
)
<
0
⇒
|
τ
|
>
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}.}
函 数 j ( τ ) を こ の 領 域 へ 制 限 す る と 、 複 素 数 C の す べ て の 値 を ち ょ う ど 一 度 だ け 取 る 。 言 い 換 え る と 、 C す べ て の 元 c に 対 し 、 c = j ( τ ) と な る 基 本 領 域 の 元 τ が 一 意 に 存 在 す る 。 こ の よ う に 、 j は 基 本 領 域 を 全 複 素 平 面 へ 写 像 す る と い う 性 質 を 持 っ て い る 。
リ ー マ ン 面 と し て 、 基 本 領 域 の 種 数 は 0 で あ り 、 す べ て の ︵ レ ベ ル 1 の ︶ モ ジ ュ ラ ー 函 数 は j の 有 理 函 数 で あ り 、 逆 に 、 j の す べ て の 有 理 函 数 は モ ジ ュ ラ ー 函 数 で あ る 。 言 い 換 え る と 、 モ ジ ュ ラ ー 函 数 全 体 の な す 体 は C ( j ) で あ る 。
類 体 論 と j - 不 変 量 [ 編 集 ]
j - 不 変 量 は 、 多 く の 注 目 す べ き 性 質 を 有 す る 。
● τ が 虚 数 乗 法 で あ る 、 す な わ ち 、 虚 数 部 が 正 で あ る 虚 二 次 体 の 任 意 の 元 で あ る ︵ 従 っ て 、 j - 不 変 量 が 定 義 さ れ る ︶ な ら ば 、 j ( τ ) は 代 数 的 整 数 で あ る [ 1 ] 。
● 体 の 拡 大 Q [ j ( τ ) , τ ] / Q ( τ ) は ア ー ベ ル 的 、 す な わ ち 、 ガ ロ ア 群 が ア ー ベ ル 的 に な る 。
● Λ を { 1 , τ } で 生 成 さ れ る C の 中 の 格 子 と す る と 、 乗 法 の 下 に Λ を 固 定 す る Q ( τ ) の す べ て の 元 が 、 整 環 ︵ 英 語 版 ︶ ( o r d e r ) と 呼 ば れ る 環 の 単 位 元 ( u n i t ) を 形 成 す る こ と が 容 易 に わ か る 。 同 様 に 、 同 じ 整 環 の 生 成 子 { 1 , τ ′ } を 持 つ 格 子 は 、 Q ( τ ) 上 で j ( τ ) の 代 数 的 共 役 で あ る j ( τ ' ) を 定 義 す る 。 包 含 関 係 に 従 い 、 Q ( τ ) の 唯 一 の 最 大 整 環 は 、 Q ( τ ) の 代 数 的 整 数 の 環 で あ り 、 そ の 環 を 持 つ τ の 値 は 、 Q ( τ ) の 不 分 岐 拡 大 を 導 く 。
こ れ ら の 古 典 的 な 結 果 は 、 虚 数 乗 法 論 の 出 発 点 と な っ て い る 。
超 越 的 性 質 [ 編 集 ]
1 9 3 7 年 、 テ オ ド ー ル ・ シ ュ ナ イ ダ ー ︵ 英 語 版 ︶ ( T h e o d o r S c h n e i d e r ) は 、 前 述 の τ が 上 半 平 面 で 二 次 の 無 理 数 で あ れ ば j ( τ ) は 代 数 的 数 で あ る と い う こ と を 証 明 し た 。 加 え て 、 τ が 代 数 的 数 だ が 虚 二 次 体 の 数 で な い な ら ば 、 j ( τ ) は 超 越 数 で あ る こ と を も 証 明 し た 。
j - 函 数 は 数 多 く の 超 越 的 性 質 を 持 つ 。 ク ル ト ・ マ ー ラ ー ︵ 英 語 版 ︶ ( K u r t M a h l e r ) は マ ー ラ ー 予 想 と も 呼 ば れ る 特 別 な 超 越 性 を 予 想 し 、 1 9 9 0 年 代 に ユ ー リ ・ ネ ス テ レ ン コ ( Y u . V . N e s t e r n k o ) と パ ト リ ス ・ フ ィ リ ポ ン ( P a t r i c e P h i l l i p o n ) の 結 果 の 系 と し て 証 明 さ れ た 。 マ ー ラ ー 予 想 と は 、 τ が 上 半 平 面 に あ れ ば e x p ( 2 π i τ ) と j ( τ ) は 双 方 が 同 時 に 代 数 的 に は な ら な い で あ ろ う と い う 予 想 で あ る 。 現 在 は よ り 強 い 結 果 が 知 ら れ て い て 、 例 え ば 、 e x p ( 2 π i τ ) が 代 数 的 で あ れ ば 次 の 3 つ の 数 は 代 数 的 に 独 立 で 、 超 越 数 に な る 。
j
(
τ
)
,
j
′
(
τ
)
π
,
j
′
′
(
τ
)
π
2
.
{\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}.}
q - 展 開 と ム ー ン シ ャ イ ン [ 編 集 ]
j の 注 目 す べ き 性 質 の い く つ か は 、 q = e x p ( 2 π i τ ) で の ロ ー ラ ン 級 数 と し て 書 か れ る q - 展 開 ︵ フ ー リ エ 級 数 展 開 ︶ に 関 連 し て い る 。 q - 展 開 は 、
j
(
τ
)
=
1
q
+
744
+
196884
q
+
21493760
q
2
+
864299970
q
3
+
20245856256
q
4
+
⋯
{\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }
で 始 ま っ て い る 。
な お 、 j は 尖 点 で 一 位 の 単 純 極 を 持 つ の で 、 q - 展 開 に は q − 1 未 満 の 項 が な い 。
こ の フ ー リ エ 係 数 は す べ て 整 数 で あ り 、 こ の こ と が い く つ か の 概 整 数 、 例 え ば 有 名 な ラ マ ヌ ジ ャ ン 定 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( R a m a n u j a n ' s c o n s t a n t ) の 理 由 と な る 。
e
π
163
≈
640320
3
+
744
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}
q n の 係 数 の 漸 近 公 式 ︵ 英 語 版 ︶ ( a s y m p t o t i c f o r m u l a ) は 、 ハ ー デ ィ ・ リ ト ル ウ ッ ド の 円 周 法 ︵ 英 語 版 ︶ ( H a r d y – L i t t l e w o o d c i r c l e m e t h o d ) で 示 す こ と が で き た よ う に 、
e
4
π
n
2
n
3
/
4
{\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}}
,
に よ り 与 え ら れ る 。 [ 2 ] [ 3 ]
ムーンシャイン [ 編集 ]
さ ら に 注 目 す べ き は 、 q の 正 の べ き 乗 の 項 の フ ー リ エ 係 数 が ム ー ン シ ャ イ ン 加 群 ︵ 英 語 版 ︶ ( m o o n s h i n e m o d u l e ) と 呼 ば れ る モ ン ス タ ー 群 の 無 限 次 元 次 数 付 き 代 数 表 現 の 次 数 部 の 次 元 で あ る こ と で あ る 。 特 に 、 q n の 係 数 は 、 ム ー シ ャ イ ン 加 群 の 次 数 n の 次 元 と な っ て い る 。 第 一 の 例 は グ ラ イ ス 代 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( G r i e s s a l g e b r a ) で あ り 、 こ の 代 数 は 次 元 1 9 6 , 8 8 4 で 、 項 1 9 6 8 8 4 q に 対 応 し て い る 。 こ の 驚 く べ き 観 察 が ム ー ン シ ャ イ ン 理 論 の 出 発 点 で あ っ た 。
ム ー ン シ ャ イ ン 予 想 の 研 究 は 、 ジ ョ ン ・ ホ ー ト ン ・ コ ン ウ ェ イ と シ モ ン ・ ノ ー ト ン ︵ 英 語 版 ︶ ( S i m o n P . N o r t o n ) に よ り 種 数 0 の モ ジ ュ ラ 函 数 を 見 つ け る こ と に 発 展 し た 。 ジ ョ ン ・ G ・ ト ン プ ソ ン は 、
q
−
1
+
O
(
q
)
{\displaystyle q^{-1}+{O}(q )}
と い う 形 式 に 正 規 化 さ れ る 種 数 0 の モ ジ ュ ラ 函 数 が 、 有 限 個 し か 存 在 し な い こ と を 証 明 し た 。
別 の 表 現 [ 編 集 ]
λ を モ ジ ュ ラ ラ ム ダ 函 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( m o d u l a r l a m b d a f u n c t i o n ) と し 、 x = λ ( 1 − λ ) と 置 く と
j
(
τ
)
=
256
(
1
−
x
)
3
x
2
{\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}}
を 得 る 。
λ
(
τ
)
=
θ
2
4
(
0
,
τ
)
θ
3
4
(
0
,
τ
)
=
k
2
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}
は 、 ヤ コ ビ の テ ー タ 函 数
θ
m
{\displaystyle \theta _{m}}
の 比 率 で あ り 、 楕 円 モ ジ ュ ラ ス
k
(
τ
)
{\displaystyle k(\tau )}
の 二 乗 で あ る 。 [ 4 ] λ が 次 の 非 調 和 比 ( c r o s s - r a t i o ) の 6 つ の 値 で 入 れ 替 わ る と き は 、 j の 値 は 不 変 で あ る [ 5 ] 。
{
λ
,
1
1
−
λ
,
λ
−
1
λ
,
1
λ
,
λ
λ
−
1
,
1
−
λ
}
.
{\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace .}
j の 分 岐 点 は { 0 , 1 , ∞ } で あ る の で 、 ベ リ イ 函 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( B e l y i f u n c t i o n ) で あ る [ 6 ] 。
テ ー タ 函 数 に よ る 表 現 [ 編 集 ]
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
︵ ノ ー ム ︶ と 定 義 し 直 す と 、 ヤ コ ビ の テ ー タ 函 数
ϑ
(
0
;
τ
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
(
e
π
i
τ
)
n
2
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
{\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}
か ら 指 標 付 き テ ー タ 函 数 を 導 く こ と が で き る 。 次 の よ う に 置 く こ と と す る 。
a
=
θ
2
(
0
;
q
)
=
ϑ
10
(
0
;
τ
)
{\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )}
b
=
θ
3
(
0
;
q
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
{\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )}
c
=
θ
4
(
0
;
q
)
=
ϑ
01
(
0
;
τ
)
{\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )}
こ こ に
θ
m
{\displaystyle \theta _{m}}
と
ϑ
n
{\displaystyle \vartheta _{n}}
は 記 法 を 変 え た も の と し た 。 す る と 、 ヴ ァ イ エ ル シ ュ ト ラ ス 定 数 g 2 , g 3 と デ デ キ ン ト の エ ー タ 函 数 η ( τ ) に 対 し て 、
g
2
(
τ
)
=
2
3
π
4
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
{\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)}
g
3
(
τ
)
=
4
27
π
6
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
3
−
54
(
a
b
c
)
8
2
{\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}
Δ
=
g
2
3
−
27
g
3
2
=
(
2
π
)
12
η
(
τ
)
24
=
(
2
π
)
12
(
1
2
a
b
c
)
8
{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}
と な る 。 こ の よ う に す る と 、 j ( τ ) を 早 く 計 算 で き る 形 に 書 き 換 え る こ と が で き る 。
j
(
τ
)
=
1728
g
2
3
g
2
3
−
27
g
3
2
=
32
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
3
(
a
b
c
)
8
.
{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}.}
た だ し 、
a
4
−
b
4
+
c
4
=
0
{\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0}
で あ る こ と に 注 意 す る 。
代 数 的 定 義 [ 編 集 ]
今 ま で は 、 j を 複 素 変 数 の 函 数 と し て 考 え て き た が 、 楕 円 曲 線 の 同 型 類 の 不 変 量 と し て は 、 j を 純 粋 に 代 数 的 に 定 義 す る こ と も で き る 。
y
2
+
a
1
x
y
+
a
3
y
=
x
3
+
a
2
x
2
+
a
4
x
+
a
6
{\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}
を 任 意 の 体 の 上 の 平 面 楕 円 曲 線 と す る と 、
b
2
=
a
1
2
+
4
a
2
,
b
4
=
a
1
a
3
+
2
a
4
{\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}}
b
6
=
a
3
2
+
4
a
6
,
b
8
=
a
1
2
a
6
−
a
1
a
3
a
4
+
a
2
a
3
2
+
4
a
2
a
6
−
a
4
2
{\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2}}
c
4
=
b
2
2
−
24
b
4
,
c
6
=
−
b
2
3
+
36
b
2
b
4
−
216
b
6
{\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}
と 定 義 す る こ と が で き 、
Δ
=
−
b
2
2
b
8
+
9
b
2
b
4
b
6
−
8
b
4
3
−
27
b
6
2
{\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}}
と 表 す と 、 こ れ は 楕 円 曲 線 の 判 別 式 を 表 し て い る 。
こ こ で 、 楕 円 曲 線 の j - 不 変 量 を
j
=
c
4
3
Δ
{\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }}
と 定 義 す る 。
楕 円 曲 線 が 定 義 さ れ て い る 体 の 標 数 が 2 も し く は 3 で な い 場 合 に 、 こ の 定 義 は
j
=
1728
c
4
3
c
4
3
−
c
6
2
{\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}
と 書 き 直 す こ と が で き る 。
逆 函 数 [ 編 集 ]
j - 不 変 量 の 逆 函 数 は 、 超 幾 何 函 数 2 F 1 で 表 す こ と も で き る ︵ ピ カ ー ル ・ フ ッ ク ス 方 程 式 ︵ 英 語 版 ︶ ( P i c a r d – F u c h s e q u a t i o n ) も 参 照 ︶ 。 与 え ら れ た 数 値 N に 対 し て 式 j ( τ ) = N を τ に つ い て 解 く た め に は 、 少 な く と も 4 つ の 方 法 が 知 ら れ て い る 。
方 法 1 : モ ジ ュ ラ ラ ム ダ 函 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( m o d u l a r l a m b d a f u n c t i o n ) λ の 6 次 式 を 解 く 方 法 。
j
(
τ
)
=
256
(
1
−
λ
(
1
−
λ
)
)
3
(
λ
(
1
−
λ
)
)
2
.
{\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}.}
x = λ ( 1 − λ ) と す る と 6 次 式 は x の 3 次 式 と な る 。 す る と 、 λ の 6 つ の 値 の ど れ に 対 し て も 、
τ
=
i
2
F
1
(
1
2
,
1
2
,
1
,
1
−
λ
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
,
1
,
λ
)
{\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,\lambda \right)}}}
と な る 。
方 法 2 : γ の 4 次 式 を 解 く 方 法 。
j
(
τ
)
=
27
(
1
+
8
γ
)
3
γ
(
1
−
γ
)
3
.
{\displaystyle j(\tau )={\frac {27(1+8\gamma )^{3}}{\gamma (1-\gamma )^{3}}}.}
任 意 の 4 つ の 根 に 対 し て 、
τ
=
i
3
2
F
1
(
1
3
,
2
3
,
1
,
1
−
γ
)
2
F
1
(
1
3
,
2
3
,
1
,
γ
)
{\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,\gamma \right)}}}
と な る 。
方 法 3 : β の 3 次 式 を 解 く 方 法 。
j
(
τ
)
=
64
(
1
+
3
β
)
3
β
(
1
−
β
)
2
.
{\displaystyle j(\tau )={\frac {64(1+3\beta )^{3}}{\beta (1-\beta )^{2}}}.}
す る と 、 任 意 の 3 つ の 根 に 対 し 、
τ
=
i
2
2
F
1
(
1
4
,
3
4
,
1
,
1
−
β
)
2
F
1
(
1
4
,
3
4
,
1
,
β
)
{\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,\beta \right)}}}
と な る 。
方 法 4 : α の 2 次 式 を 解 く 方 法 。
j
(
τ
)
=
1728
4
α
(
1
−
α
)
.
{\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}.}
す る と 、
τ
=
i
2
F
1
(
1
6
,
5
6
,
1
,
1
−
α
)
2
F
1
(
1
6
,
5
6
,
1
,
α
)
{\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,\alpha \right)}}}
と な る 。
2 つ の 根 は τ と - 1 / τ で あ る が 、 j ( τ ) = j ( - 1 / τ ) で あ る た め に 、 ど の α を 選 ん で も 差 異 は な い 。 後 半 3 つ の 方 法 は 、 ラ マ ヌ ジ ャ ン の 交 代 基 底 に つ い て の 楕 円 函 数 論 で 発 見 さ れ た 。
逆 函 数 は 、 こ れ ら の 根 の 比 率 が 有 界 で な い に も か か わ ら ず 、 楕 円 函 数 の 周 期 の 高 精 度 な 計 算 を 通 し て 、 う ま く 適 用 す る こ と が 可 能 で あ る 。 ま た 、 関 連 す る 帰 結 と し て 、 2 の べ き の 大 き さ を も つ 虚 数 軸 上 の 点 で j の 値 が 二 次 の 根 と な る こ と を 通 し て ︵ 逆 関 数 を ︶ 表 す こ と が で き る ︵ こ の よ う に し て 、 定 規 と コ ン パ ス に よ る 作 図 が 可 能 と な る ︶ 。 レ ベ ル が 2 の モ ジ ュ ラ 函 数 は 3 次 式 で あ る の で 、 こ の 結 果 は 自 明 で は な い 。
π 公 式 [ 編 集 ]
チ ュ ダ ノ フ ス キ ー 兄 弟 ︵ 英 語 版 ︶ ( C h u d n o v s k y b r o t h e r s ) は 、 1 9 8 7 年 に 、
1
π
=
12
640320
3
/
2
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
163
⋅
3344418
k
+
13591409
)
(
3
k
)
!
(
k
!
)
3
(
−
640320
)
3
k
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}
を 発 見 し 、
j
(
1
+
−
163
2
)
=
−
640320
3
{\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}
と い う 事 実 を 示 す こ と に 使 用 し た 。 同 様 な 公 式 は 、 ラ マ ヌ ジ ャ ン ・ 佐 藤 級 数 ︵ 英 語 版 ︶ ( R a m a n u j a n - S a t o s e r i e s ) を 参 照 。
ボ ー チ ャ ー ズ の 積 公 式 [ 編 集 ]
次 は リ チ ャ ー ド ・ ボ ー チ ャ ー ズ に よ っ て 発 見 さ れ た [ 7 ] 。
j
(
τ
)
−
j
(
τ
′
)
=
1
q
∏
n
,
m
=
1
∞
(
1
−
q
n
q
′
m
)
c
n
m
{\displaystyle j(\tau )-j(\tau ')={1 \over q}\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-q^{n}{q'}^{m})^{c_{nm}}}
で あ る ︵ こ こ で c _ n は j 関 数 の q 展 開 に お け る q ^ n の 係 数 ︶ .
特 殊 値 [ 編 集 ]
j - 不 変 量 は 、 基 本 領 域 ︵ 英 語 版 ︶ ( f u n d a m e n t a l d o m a i n ) の ﹁ 角 ﹂
1
2
(
1
+
i
3
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}
で は 0 と な る 。
以 下 に 、 い く つ か の 特 殊 値 を 示 す ︵ J = j / 1 7 2 8 を 使 っ て 表 示 し て い る ︶ [ 疑 問 点 – ノ ー ト ] 。
J
(
i
)
=
J
(
1
+
i
2
)
=
1
J
(
2
i
)
=
(
5
3
)
3
J
(
2
i
)
=
(
11
2
)
3
J
(
2
2
i
)
=
125
216
(
19
+
13
2
)
3
J
(
4
i
)
=
1
64
(
724
+
513
2
)
3
J
(
1
+
2
i
2
)
=
1
64
(
724
−
513
2
)
3
J
(
1
+
2
2
i
3
)
=
125
216
(
19
−
13
2
)
3
J
(
3
i
)
=
1
27
(
2
+
3
)
2
(
21
+
20
3
)
3
J
(
2
3
i
)
=
125
16
(
30
+
17
3
)
3
J
(
1
+
7
3
i
2
)
=
−
64000
7
(
651
+
142
21
)
3
J
(
1
+
3
11
i
10
)
=
64
27
(
23
−
4
33
)
2
(
−
77
+
15
33
)
3
J
(
21
i
)
=
1
128
(
3
+
7
)
5
(
17
+
7
3
+
59
7
+
35
21
)
3
J
(
30
i
1
)
=
1
4
(
7
+
5
2
+
3
5
+
2
10
)
4
(
55
+
30
2
+
12
5
+
10
10
)
3
J
(
30
i
2
)
=
1
4
(
7
+
5
2
−
3
5
−
2
10
)
4
(
55
+
30
2
−
12
5
−
10
10
)
3
J
(
30
i
5
)
=
1
4
(
7
−
5
2
+
3
5
−
2
10
)
4
(
55
−
30
2
+
12
5
−
10
10
)
3
J
(
30
i
10
)
=
1
4
(
7
−
5
2
−
3
5
+
2
10
)
4
(
55
−
30
2
−
12
5
+
10
10
)
3
J
(
1
+
31
i
2
)
=
(
1
−
(
1
+
19
2
(
13
−
93
13
+
93
⋅
31
+
27
31
−
27
3
+
13
+
93
13
−
93
⋅
31
−
27
31
+
27
3
)
)
2
)
3
J
(
5
i
)
=
(
1
+
9
4
5
(
13
+
5
5
)
2
)
3
J
(
5
i
+
1
2
)
=
(
1
−
9
4
5
(
13
−
5
5
)
2
)
3
J
(
6
i
)
=
1
216
(
2
+
3
)
10
(
231
+
380
3
+
(
204
+
158
3
)
12
4
)
3
J
(
70
i
)
=
(
1
+
9
4
(
303
+
220
2
+
139
5
+
96
10
)
2
)
3
J
(
94
i
)
=
(
1
+
9
8192
(
3
+
2
2
+
9
+
8
2
)
8
(
8
+
(
−
1
−
2
+
9
+
8
2
)
(
−
2
+
2
2
+
3
+
4
2
+
3
9
+
8
2
)
)
2
)
3
J
(
7
i
)
=
(
1
+
9
32
28
4
(
3
+
7
)
3
(
13
+
3
7
+
(
6
+
7
)
28
4
)
2
)
3
J
(
8
i
)
=
(
1
+
9
4
2
4
(
1
+
2
)
(
123
+
104
2
4
+
88
2
+
73
8
4
)
2
)
3
J
(
10
i
)
=
(
1
+
9
8
(
2402
+
1607
5
4
+
1074
25
4
+
719
125
4
)
2
)
3
J
(
5
i
2
)
=
(
1
+
9
8
(
2402
−
1607
5
4
+
1074
25
4
−
719
125
4
)
2
)
3
J
(
130
i
)
=
(
1
+
9
4
(
7392
+
3289
5
+
2040
13
+
917
65
)
2
)
3
J
(
190
i
)
=
(
1
+
18
(
31570
+
22323
2
+
14139
5
+
9998
10
)
2
)
3
J
(
2
58
i
)
=
(
1
+
9
256
(
1
+
2
)
5
(
5
+
29
)
5
(
793
+
907
2
+
237
29
+
103
58
)
2
)
3
J
(
1
+
1435
i
2
)
=
(
1
−
9
(
9892538
+
4424079
5
+
1544955
41
+
690925
205
)
2
)
3
J
(
1
+
1555
i
2
)
=
(
1
−
9
(
22297077
+
9971556
5
+
(
3571365
+
1597163
5
)
31
+
21
5
2
)
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J(i )&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&={\big (}{\tfrac {5}{3}}{\big )}^{3}\\J(2i)&={\big (}{\tfrac {11}{2}}{\big )}^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{128}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{5}\left(17+7{\sqrt {3}}+59{\sqrt {7}}+35{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J(5i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {5}}\left(13+5{\sqrt {5}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i+1}{2}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {5}}\left(13-5{\sqrt {5}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(6i)&={\tfrac {1}{216}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{10}\left(231+380{\sqrt {3}}+\left(204+158{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{4}]{12}}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {94}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8192}}\left(3+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}\right)^{8}\left(8+\left(-1-{\sqrt {2}}+{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}\right)\left(-2+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3+4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{32}}{\sqrt[{4}]{28}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{3}\left(13+3{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt[{4}]{28}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {130}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(7392+3289{\sqrt {5}}+2040{\sqrt {13}}+917{\sqrt {65}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {190}}i)&=\left(1+18\left(31570+22323{\sqrt {2}}+14139{\sqrt {5}}+9998{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}
2 0 1 4 年 に は い く つ か の 特 殊 値 が 計 算 さ れ た [ 8 ] 。
J
(
5
i
+
2
4
)
=
(
1
−
9
(
1
+
5
)
38
2
41
2
(
7485
−
762
2
+
1479
5
−
3072
10
−
5
4
(
178
−
2221
2
+
3148
5
−
1289
10
)
)
2
)
3
J
(
10
i
+
1
2
)
=
(
1
−
9
(
1
+
5
)
38
2
41
2
(
7485
−
762
2
+
1479
5
−
3072
10
+
5
4
(
178
−
2221
2
+
3148
5
−
1289
10
)
)
2
)
3
J
(
5
i
4
)
=
(
1
+
9
(
1
+
5
)
38
2
41
2
(
7485
+
762
2
+
1479
5
+
3072
10
−
5
4
(
178
+
2221
2
+
3148
5
+
1289
10
)
)
2
)
3
J
(
20
i
)
=
(
1
+
9
(
1
+
5
)
38
2
41
2
(
7485
+
762
2
+
1479
5
+
3072
10
+
5
4
(
178
+
2221
2
+
3148
5
+
1289
10
)
)
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Big )}^{2}\right)^{3}\\J(20i)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}
こ れ 以 前 に 示 し た す べ て の 値 は 実 数 で あ る 。 複 素 共 役 の ペ ア は 、
J
(
10
i
)
{\displaystyle J(10i)}
と
J
(
5
i
/
2
)
{\displaystyle J(5i/2)}
に 対 し 、 参 考 文 献 の よ う に 値 に 沿 っ て 、 上 記 の よ う に 対 称 的 に な っ て い る と 推 察 さ れ る 。
J
(
5
i
±
1
4
)
=
(
1
−
9
8
(
(
2402
−
1074
5
)
i
±
(
1607
−
719
5
)
5
4
)
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i\pm 1}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}
4 つ の 特 殊 値 は 、 2 つ の 複 素 共 役 の ペ ア に よ り 与 え ら れ る [ 9 ] 。
J
(
4
(
5
i
±
1
)
13
)
=
(
1
−
9
(
1
−
5
)
38
2
41
2
(
7485
−
762
2
−
1479
5
+
3072
10
±
i
5
4
(
178
−
2221
2
−
3148
5
+
1289
10
)
)
2
)
3
J
(
5
(
4
i
±
1
)
17
)
=
(
1
+
9
(
1
−
5
)
38
2
41
2
(
7485
+
762
2
−
1479
5
−
3072
10
±
i
5
4
(
178
+
2221
2
−
3148
5
−
1289
10
)
)
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4\left(5i\pm 1\right)}{13}}\right)=\left(1-{\tfrac {9\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}-1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}-3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5\left(4i\pm 1\right)}{17}}\right)=\left(1+{\tfrac {9\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}-1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}-3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}
参考文献 [ 編集 ]
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