mKdV方程式

mKdV方程式︵えむけぃでいびぃほうていしき、英: mKdV equation︶または変形KdV方程式︵へんけいけぃでいびぃほうていしき、英: modified KdV equation︶とは非線形波動を記述する非線形偏微分方程式。可積分系の方程式の一つであり、無限個の保存量が存在する。日系3世である数学者ローバート・ミウラ(R. Miura)によって導出された。

概要

定義

時間変数t と空間変数x の関数でv (x, t)についての非線形偏微分方程式

$v_{t}+6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,$$v_{t}+6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,$
をmKdV方程式または、変形KdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。mKdV方程式は可積分系の方程式であり、

$v=\pm \alpha \operatorname {sech} (\alpha x-\alpha ^{3}t)\,$$v=\pm \alpha \operatorname {sech} (\alpha x-\alpha ^{3}t)\,$
等のソリトン的な解を有する。

KdV方程式との関係

v が第2項の符号を変えたmKdV方程式

$v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,$$v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0\,$
の解とすると、Miura変換と呼ばれる関係式

$u=v_{x}+v^{2}\,$$u=v_{x}+v^{2}\,$
で結ばれるu はKdV方程式

$u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0\,$$u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0\,$
の解となる。このことは、関係式

${\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+2v{\biggr )}(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx})=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}$${\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+2v{\biggr )}(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx})=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}$
から導かれる。Miura変換並びにmKdV方程式は日系3世である数学者ローバート・ミウラ︵R. Miura︶によって、導出された。こうしたMiura変換の発見は可積分系における逆散乱法の発展の契機となった。

逆散乱法との関係

uを与えられたものとすれば、ミウラ変換の関係式は、リッカチの微分方程式であり、変数変換

$v={\frac {\psi _{x}}{\psi }}$$v={\frac {\psi _{x}}{\psi }}$
により、

${\displaystyle \psi _{xx}-u($x)\psi =0} $\psi _{xx}-u(x)\psi =0$
と線形化される。元のKdV方程式が、ガリレイ変換

$u\rightarrow u-\lambda$$u\rightarrow u-\lambda$
$x\rightarrow x-6\lambda t$$x\rightarrow x-6\lambda t$
のもとで不変であることに注意すれば、ガリレイ変換u→u-λで、上記の線形化された方程式は、

$\psi _{xx}+(u-\lambda )\psi =0$$\psi _{xx}+(u-\lambda )\psi =0$
となる。これは、uをポテンシャル関数、λを固有値とするシュレディンガー方程式である。従って、KdV方程式を解くことは、シュレディンガー方程式において、ポテンシャル関数を求める逆問題を解くことと等価である。

参考文献

原論文

• R. Miura, "Korteweg‐de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation," J. Math. Phys., 9, p. 1202 (1968) doi:10.1063/1.1664700

参考書籍

• 和達三樹 『非線形波動 (現代物理学叢書) 』 岩波書店 (2000年) ISBN 978-4000067416
• 戸田盛和 『非線形波動とソリトン』 日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

関連項目

• KdV方程式
• ソリトン