デジタル大辞泉 「平方根」の意味・読み・例文・類語
へいほう‐こん〔ヘイハウ‐〕【平方根】
精選版 日本国語大辞典 「平方根」の意味・読み・例文・類語
へいほう‐こんヘイハウ‥【平方根】
日本大百科全書(ニッポニカ) 「平方根」の意味・わかりやすい解説
平方根
へいほうこん
数aが与えられたとき、二乗︵平方︶してaとなる数、つまり、x2＝aとなる数xをaの平方根という。aが正の数のときは、aの平方根は正の数、負の数それぞれ一つずつあり、その絶対値は等しい。そして、正のほうを、
と書く。は、ルートaと読む。負のほうは、－で表される。したがって、このとき、aの平方根は、±とまとめられることになる。たとえば、2の平方根は、
と－で、±とまとめられる。この場合、記号
を、根号︵または平方根号︶という。0の平方根は0だけである。また、負の数の平方根は、実数でなく、虚数である。たとえば－2の平方根は、iと－iである︵iは虚数単位で、
のこと︶。
正の整数の平方根について考える。aが平方数、つまり、ある正の整数nの平方の形n2と書かれる数であるときは、はnに等しい︵たとえば 
＝2︶。しかし、aが平方数でないとき、は有理数になることはけっしてなく、無理数になる。つまり、有限小数や分数で表されることはなく、循環しない無限小数になる︵たとえば＝1.41421356……︶。正方形の一辺の長さを1とすれば、対角線の長さはと表されるが、が無理数であることを古代ギリシア人はすでに知っていた。それは、ユークリッドの﹃原論﹄にみられる。
正の数の平方根について考えているとき、根号はつねに正の数を表す。これが根号の規約である。すると、a＞0のとき
＝aであるが、a＜0のときa2＞0であって、＝－aとなる。
平方根号の中に平方根が含まれることがある。たとえば、
である。このような場合、一般には、二重の平方根号を外すことはできないが、外すことのできる場合がある。a、bが正の整数、
が無理数のとき、
となる正の有理数x、yは、a2－bが有理数の平方の形になるときにだけ存在する。たとえば、
では、22－3＝1＝12で、
となる。しかし、
の平方根号は、外すことができない。
﹇三輪辰郎﹈
と書く。は、ルートaと読む。負のほうは、－で表される。したがって、このとき、aの平方根は、±とまとめられることになる。たとえば、2の平方根は、と－で、±とまとめられる。この場合、記号を、根号︵または平方根号︶という。0の平方根は0だけである。また、負の数の平方根は、実数でなく、虚数である。たとえば－2の平方根は、iと－iである︵iは虚数単位で、のこと︶。
正の整数の平方根について考える。aが平方数、つまり、ある正の整数nの平方の形n2と書かれる数であるときは、はnに等しい︵たとえば ＝2︶。しかし、aが平方数でないとき、は有理数になることはけっしてなく、無理数になる。つまり、有限小数や分数で表されることはなく、循環しない無限小数になる︵たとえば＝1.41421356……︶。正方形の一辺の長さを1とすれば、対角線の長さはと表されるが、が無理数であることを古代ギリシア人はすでに知っていた。それは、ユークリッドの﹃原論﹄にみられる。
正の数の平方根について考えているとき、根号はつねに正の数を表す。これが根号の規約である。すると、a＞0のとき＝aであるが、a＜0のときa2＞0であって、＝－aとなる。
平方根号の中に平方根が含まれることがある。たとえば、
である。このような場合、一般には、二重の平方根号を外すことはできないが、外すことのできる場合がある。a、bが正の整数、が無理数のとき、
となる正の有理数x、yは、a2－bが有理数の平方の形になるときにだけ存在する。たとえば、
では、22－3＝1＝12で、
となる。しかし、
の平方根号は、外すことができない。
﹇三輪辰郎﹈
改訂新版 世界大百科事典 「平方根」の意味・わかりやすい解説
平方根 (へいほうこん)
square root
2乗してaとなる数をaの平方根，または2乗根という。
︵1︶aが正の数のとき，aの平方根は実数で，二つあり，一つは正，もう一つは負で，それらの絶対値は等しい。正の平方根を\(\sqrt{a}\)で表す。
︵2︶aが0のとき，0の平方根は0である。
︵3︶aが負の数のとき，aの平方根は二つの純虚数で，
と－\(\sqrt{｜a｜}\)i︵iは虚数単位，i2＝－1︶である。を\(\sqrt{a}\)で表すこともある。
︵4︶αが0でない複素数のとき，αの平方根は，複素数の範囲で二つあり，その一つがa＋bi︵a，bは実数︶ならば，他の一つは－︵a＋bi︶である。
となる。
︵3︶そこで
に近く，これより小さい正の数c1をとる。b2＝b1＋c1とすれば，b2はb1よりさらに\(\sqrt{a}\)に近づく。
︵4︶次に，b1の代りにb2を用い，︵2︶，︵3︶の操作を行いb3を求める。
︵5︶以下，︵2︶，︵3︶，︵4︶を繰り返し，b4，b5，……を求めていけば，n回目にbn＝\(\sqrt{a}\)となるか，nが大きくなるにつれ，bnは限りなく\(\sqrt{a}\)に近づく。
例えば，a＝552.25のとき，上の︵1︶～︵5︶の操作は，図のように図式的に計算できる。
執筆者‥西村 純一
と－\(\sqrt{｜a｜}\)i︵iは虚数単位，i2＝－1︶である。を\(\sqrt{a}\)で表すこともある。
︵4︶αが0でない複素数のとき，αの平方根は，複素数の範囲で二つあり，その一つがa＋bi︵a，bは実数︶ならば，他の一つは－︵a＋bi︶である。
開平
正の数aの平方根を求めることをaを平方に開く，またはaを開平するといい，その計算の方法を開平法という。開平法は，すでにアルキメデスの著書にも見られるが，現在行われている開平法は，16世紀になって見いだされた。この開平法は，平方の公式︵x＋y︶2＝x2＋2xy＋y2を利用する。すなわち，aを正の数とするとき， ︵1︶2乗すればaより小で，aに近い正の数b1をとる。 ︵2︶\(\sqrt{a}\)－b1＝c＞0とすれば，a＝b12＋2b1c＋c2である。ここでcはb1に比べて小さいから，c2を無視することにより，となる。
︵3︶そこでに近く，これより小さい正の数c1をとる。b2＝b1＋c1とすれば，b2はb1よりさらに\(\sqrt{a}\)に近づく。
︵4︶次に，b1の代りにb2を用い，︵2︶，︵3︶の操作を行いb3を求める。
︵5︶以下，︵2︶，︵3︶，︵4︶を繰り返し，b4，b5，……を求めていけば，n回目にbn＝\(\sqrt{a}\)となるか，nが大きくなるにつれ，bnは限りなく\(\sqrt{a}\)に近づく。
例えば，a＝552.25のとき，上の︵1︶～︵5︶の操作は，図のように図式的に計算できる。
執筆者‥西村 純一
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「平方根」の意味・わかりやすい解説
平方根
へいほうこん
square root
z＝r︵cosθ＋i sinθ︶︵r＞0，－π＜θ≦π︶
とすると，
は2乗すると zになる複素数の一つである。有理数から出発して，その平方根をとる操作および加減乗除︵→四則︶の操作を繰り返して得られる数は，定規とコンパスで作図することができる数である。たとえば黄金比︵→黄金分割︶の 
は，定規とコンパスで作図できる。このことから，正五角形は定規とコンパスで作図できることがわかる。
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
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