数字和

数字和︵すうじわ、英: digit sum︶とは、正の整数の各桁の数字を加算した値を意味する。一般的には﹁各位の和﹂という表現で用いられている。

例えば、129 の数字和は 1 + 2 + 9 = 12となる。

この概念は数字根と密接に関連するが、同じではない。数字根は、数字和が最終的に1桁の数字になるまで同じ処理を繰り返し適用する。すなわち、0 以外の数字根の値は 1から 9のいずれかになるが、0 以外の数字和の値は 10以上も含めた自然数のいずれかになる。

数字和は整数が割り切れるかどうかのチェックに使われる。3 または 9で割り切れる整数の数字和︵または数字根︶は、それぞれ3または9で割り切れる。

例えば、上記の129は1+2+9が12ということで3の倍数であり、並び替えた192、219、291、912、921も全て3の倍数。

以下の数列は1から30までの数字和である。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007953）

具体的な数

数字和	数	OEIS	ハーシャッド数	素数
1	1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …	A011557
2	2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, …	A052216	A069537	2,11,101
3	3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, …	A052217
4	4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, …	A052218	A063997	A062339
5	5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,	A052219	A069540	A062341
6	6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, …	A052220	A062768
7	7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, …	A052221	A063416	A062337
8	8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, …	A052222	A069543	A062343
9	9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, …	A052223
10	19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, …	A052224	A218292	A107579
11	29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, …	A166311	A216995	A106754
12	39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, …	A235151
13	49, 58, 67, 76, 85, 94, 139, 148, 157, 166, 175, 184, …	A143164	A283737	A106755
14	59, 68, 77, 86, 95, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 239, …	A235225		A106756
15	69, 78, 87, 96, 159, 168, 177, 186, 195, 249, 258, 267, …	A235226
16	79, 88, 97, 169, 178, 187, 196, 259, 268, 277, 286, 295, …	A235227		A106757
17	89, 98, 179, 188, 197, 269, 278, 287, 296, 359, 368, …	A166370		A106758
18	99, 189, 198, 279, 288, 297, 369, 378, 387, 396, 459, …	A235228	A249048
19	199, 289, 298, 379, 388, 397, 469, 478, 487, 496, 559, …	A166459		A106759
20	299, 389, 398, 479, 488, 497, 569, 578, 587, 596, 659, …	A235229		A106760

• 数字和が n となる最小の数は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …（オンライン整数列大辞典の数列 A051885）
  • その数が n よりも大きいという条件をつけると最小の数は 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …（オンライン整数列大辞典の数列 A161561）
• 数字和が n となる最小の偶数は 10, 2, 12, 4, 14, 6, 16, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 198, 298, 398, 498, …（オンライン整数列大辞典の数列 A069532）
• 数字和が n となる最小の奇数は 1, 11, 3, 13, 5, 15, 7, 17, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …（オンライン整数列大辞典の数列 A205960）

数	OEIS	数	OEIS
素数	A007605	フィボナッチ数	A004090
三角数	A004157	平方数	A004159
五角数	A004162	立方数	A004164
完全数	A138828	矩形数	A128203
階乗数	A004152	高度合成数	A140645
三角錐数	A004160	約数の和	A067342
回文数	A043269	リュカ数	A139374

その他の性質

• 数字和が n となる n 番目の数は 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 109, 137, 165, 193, 257, 294, 376, 467, 567, 676, …（オンライン整数列大辞典の数列 A081927）
• 素数のうち数字和も素数になる数は 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046704）
  • 素数のうちどの桁も素数で数字和も素数になる数は 2, 3, 5, 7, 23, 223, 227, 337, 353, 373, 557, 577, …（オンライン整数列大辞典の数列 A062088）
• フィボナッチ数のうち数字和もフィボナッチ数になる数は 1, 2, 3, 5, 8, 21, 233, 317811, …（オンライン整数列大辞典の数列 A053056）
• 三角数のうち数字和も三角数になる数は 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 55, 78, 91, 105, 120, 136, 190, 210, 231, …（オンライン整数列大辞典の数列 A062099）
• 平方数のうち数字和も平方数になる数は 1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, …（オンライン整数列大辞典の数列 A053057）
• 立方数のうち数字和も立方数になる数は 1, 8, 125, 512, 1000, 1331, 8000, 19683, …（オンライン整数列大辞典の数列 A053058）
• ある数 n を累乗した数の数字和については累乗数を参照。
• k の倍数で数字和も k の倍数になる数は以下の通りである。

k	数	OEIS
2	2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48, 60, …	A179082
3	3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, …	A008585
4	4, 8, 40, 44, 48, 80, 84, 88, 112, 116, 152, 156, 192, …	A062753
5	5, 50, 55, 140, 145, 190, 195, 230, 235, 280, 285, 320, …	A218290
6	6, 24, 42, 48, 60, 66, 84, 114, 132, 138, 150, 156, 174, …	A218291
7	7, 70, 77, 133, 266, 322, 329, 392, 399, 455, 511, 518, …	A216994
8	8, 80, 88, 152, 224, 376, 440, 448, 512, 592, 664, 736, …	A216997
9	9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …	A008591
10	190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, 910, 1090, …	A218292
11	209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, 2090, 2299, …	A216995

• 数字和が桁数の k 倍になる数は以下の通りである。

k	数	OEIS
2	2, 13, 22, 31, 40, 105, 114, 123, 132, 141, 150, 204, 213, 222, …	A061385
3	3, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, …	A061386
4	4, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 129, 138, 147, 156, 165, 174, …	A061387
5	5, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 159, 168, 177, 186, 195,	A061388
6	6, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 189, 198, 279, 288, 297, 369, 378, …	A061423
7	7, 59, 68, 77, 86, 95, 399, 489, 498, 579, 588, 597, 669, 678, …	A061424
8	8, 79, 88, 97, 699, 789, 798, 879, 888, 897, 969, 978, 987, 996, …	A061425

• 数字和とそれを逆順に並べた数の積に等しくなる自然数は 1, 81, 1458, 1729 のみである。（オンライン整数列大辞典の数列 A110921）

  （例：1729 の数字和は 1 + 7 + 2 + 9 = 19 であり、19 とそれを逆順に並べた 91 の積は 19 × 91 = 1729）

• 自然数の数字和の和の数列は 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 46, 48, 51, 55, 60, 66, 73, 81, 90, 100, 102, …（オンライン整数列大辞典の数列 A037123）

  他の数列の数字和の和の数列は以下を参照のこと。

数	OEIS	数	OEIS
素数	A051351	約数の和	A071422
三角数	A004157	平方数	A071317
立方数	A071121	回文数	A113168

関連する数

数字和と既存の数列を組み合わせると新たな数列を見つけることができる。

• 平方数とその数字和の和（例：153 = 12² + (1+4+4)）

  2, 8, 18, 23, 32, 45, 62, 74, 90, 101, 125, 153, 185, 212, 234, 269, …（オンライン整数列大辞典の数列 A171613）

• 平方数とその数字和の差（例：135 = 12² - (1+4+4)）

  0, 0, 0, 9, 18, 27, 36, 54, 72, 99, 117, 135, 153, 180, 216, 243, …（オンライン整数列大辞典の数列 A224977）

• 立方数とその数字和の和（例：225 = 6³ + (2+1+6)）

  2, 16, 36, 74, 133, 225, 353, 520, 747, 1001, 1339, 1746, 2216, 2761, …（オンライン整数列大辞典の数列 A123135）

関連項目

• ハーシャッド数 - 数字和が自身の約数となる自然数
• ハッピー数 - 各位の平方和を作り、新しくできた数についても同じ処理を繰り返し行って、最終的に1となる数
• 数字根

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Digit Sum". mathworld.wolfram.com (英語).