利用者:Wingless reindeer/表面プラズモンポラリトン

 

表面プラズモンポラリトン (SPPs) とは、金属-誘電体または金属-空気の境界を移動する特別な電磁波である。その振動数は赤外線または可視光に相当する。﹁表面プラズモンポラリトン﹂は、金属内の電荷移動︵﹁表面プラズモン﹂︶と、空気中または誘電体の電磁波︵﹁ポラリトン﹂︶の両方を含む電磁波を示す用語である。

表面プラズモンポラリトンは表面波の一種である。例えば光が光ファイバーに沿って移動するのと同様に、表面プラズモンポラリトンはこの境界に沿って進む。同じ周波数であれば表面プラズモンポラリトンは真空中の光よりも波長が短い。そのためより多くの運動量と、より強い﹁局所的な電磁場︵英語版︶﹂を持つ。境界面に対する垂直方向への広がりは、その波長サイズより小さい範囲に限定される。表面プラズモンポラリトンは境界面に沿って伝播し、そのエネルギーが金属に吸収されるか、他の方向︵自由空間等︶に散乱されるまで進む。

表面プラズモンポラリトンの用途には、通常の回折技術での限界を超えた顕微鏡やフォトリソグラフィなどのスーパーレンズ技術などがある。また、光そのものの基本的な特性、つまり誘電体媒質中の光子の運動量について第一定常状態の微小機械測定が可能である。その他の応用には、フォトニクスデータ記憶、光の生成、バイオフォトニクスなどがある。

励起

図1‥減衰全反射装置と表面プラズモンのカップリング。(a) Kretschmann配置、 (b) Otto配置。いずれも表面プラズモンは金属/誘電体界面に沿って伝播する。

図2：表面プラズモンのグレーティングカプラ。波数ベクトルに空間周波数の運動量が追加される。

表面プラズモンポラリトン︵SPP︶は電子と光子のどちらによっても励起することができる。まず電子励起について説明する。電子を金属の内部に発射することによって、SPPを励起することができる。電子が散乱する際、エネルギーがバルクプラズマに伝達される。散乱ベクトルのうち表面に平行な成分がSPPの形成を引き起こす。

光子がSPPを励起するためには、両者が同じ周波数と運動量を持たなければならない。しかし所定の周波数に対して、自由空間の光子はSPPよりも運動量が少ない。これは両者が異なる分散関係を持つためである︵下記参照︶。空気中の自由空間光子が直接SPPにカップリングできない理由は、この運動量の不一致によるものである。同じ理由で、滑らかな金属表面上のSPPは均一な誘電体に自由空間光子としてエネルギーを放出することができない。この不一致は、全反射が起こる時に透過が起きなくなることに相当する。

しかしそれでも光子をSPPにカップリングさせるためには、プリズムやグレーティングのような結合媒体を使用して光子とSPPの波ベクトルを一致させる︵つまり運動量も一致させる︶ことで実現可能である。プリズムは、Kretschmann配置の場合は薄い金属膜に向けて置く。もしくはOtto配置の場合、金属表面の非常に近くに配置する︵図1︶。グレーティングカプラは、グレーティング周期に相当する運動量を平行波ベクトル成分に追加することで講師とSPPの波ベクトルを一致させる︵図2︶。この方法はあまり使用されることはないが、表面粗さの影響を理論的に理解するためには重要である。なお、溝やスリット、ひだなどの平坦な表面にある単独の孤立した表面欠陥は、自由空間放射とSPの間でエネルギーを交換してカップリングする反応機構を提供する。

電磁場と分散の関係

SPPの特性はマクスウェルの方程式から導き出すことができる。金属‐誘電体界面を $z=0$  平面とする座標系を使用し、金属は$z<0$  、誘電体は$z>0$  に位置するものとする。電場および磁場を位置$(x,y,z)$  と時間 $t$  の関数として表すと、次の通りである:

$E_{x,n}(x,y,z,t)=E_{0}e^{ik_{x}x+ik_{z,n}|z|-i\omega t}$ 

$E_{z,n}(x,y,z,t)=\pm E_{0}{\frac {k_{x}}{k_{z,n}}}e^{ik_{x}x+ik_{z,n}|z|-i\omega t}$ 

$H_{y,n}(x,y,z,t)=H_{0}e^{ik_{x}x+ik_{z,n}|z|-i\omega t}$ 

ここで、

●nは材料を示す︵1は金属で$z<0$  、2は誘電体で $z>0$  ︶。

●ω は波の角周波数である。

●± は金属の場合はプラス、誘電体の場合はマイナスである。

●$E_{x},E_{z}$  は電場ベクトルのx成分およびz成分であり、$H_{y}$  は磁場ベクトルのy成分である。他の成分︵$E_{y},H_{x},H_{z}$ ​︶はゼロである。すなわちSPPは常にTM︵横磁場︶波である。

●kは波数ベクトルであり、複素ベクトルである。損失のないSPPの場合、x成分は実数となり、z成分は虚数となる。波はx方向に沿って振動し、z方向に沿って指数関数的に減衰する。$k_{x}$  は両方の材料に対して常に同じであるが、 $k_{z,1}$  は一般に $k_{z,2}$ と異なる。

●${\frac {H_{0}}{E_{0}}}=-{\frac {\varepsilon _{1}\omega }{k_{z,1}c}}$ 、ここで $\varepsilon _{1}$  は材料1︵金属︶の誘電率であり、cは真空中の光速である。以下で述べるように、 ${\frac {H_{0}}{E_{0}}}={\frac {\varepsilon _{2}\omega }{k_{z,2}c}}$ も成立する。

この形態の波がマクスウェルの方程式を満たすためには、以下の方程式が成立しなければならない。

${\frac {k_{z1}}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {k_{z2}}{\varepsilon _{2}}}=0$ 


および、

$k_{x}^{2}+k_{zn}^{2}=\varepsilon _{n}\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\qquad n=1,2$ 

これらの二つの方程式を解くと、表面を伝播する波の分散関係は以下の通りである。

$k_{x}={\frac {\omega }{c}}\left({\frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}\right)^{1/2}.$ 
 

図3‥表面プラズモンポラリトンの可逆的な分散曲線。 kが小さいとき、表面プラズモンの曲線︵赤︶は光子︵青︶に近づく。

電子ガスの自由電子モデルでは、減衰を無視すると、金属の誘電関数は次の式で表される。

$\varepsilon (\omega )=1-{\frac {\omega _{\rm {P}}^{2}}{\omega ^{2}}},$ 

ここで、SI単位で表されるバルクプラズマ振動数は、

$\omega _{\rm {P}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{{\varepsilon _{0}}m^{*}}}}$ 

ここで、n は電子密度、e は電子の電荷、m^∗は電子の有効質量、${\varepsilon _{0}}$ は自由空間の誘電率を示す。分散関係は図3に赤い実線の曲線でプロットされている。kが小さい時、SPPは光子のように振る舞うが、k が増加するにつれて分散関係のグラフは曲がり、﹁表面プラズマ周波数﹂と呼ばれる漸近的な限界︵英語版︶に達する。分散曲線は光子を示す直線 ω = k⋅c︵図3青線︶より右側に位置するため、SPPは自由空間放射よりも短い波長を持ち、SPP波ベクトルの面外成分は純粋に虚数となり、エバネッセント減衰を示す。表面プラズマ周波数︵図3赤い点線︶はこの曲線の漸近線であり、次の式によって与えられる。 

$\omega _{\rm {SP}}=\omega _{\rm {P}}/{\sqrt {1+\varepsilon _{2}}}.$ 

空気の場合、この結果は以下のように簡易化できる。

$\omega _{\rm {SP}}=\omega _{\rm {P}}/{\sqrt {2}}.$ 

ε₂ が実数であり ε₂ > 0であると仮定すると、 ε₁ < 0 でなければならない。この条件を満たすのは金属である。電磁波は金属を通過する際、オーム損失や電子-内殻相互作用により減衰する。これらの作用は、誘電率の虚数成分として現れる。金属の誘電関数は ε₁ = ε₁′ + i⋅ε₁″ と表され、ここで ε₁′ と ε₁″ はそれぞれ誘電関数の実部と虚部である。一般に |ε₁′| >> ε₁″ なので、波数はその実部と虚部の成分として次のように表現できる。

$k_{x}=k_{x}'+ik_{x}''=\left[{\frac {\omega }{c}}\left({\frac {\varepsilon _{1}'\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}'+\varepsilon _{2}}}\right)^{1/2}\right]+i\left[{\frac {\omega }{c}}\left({\frac {\varepsilon _{1}'\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}'+\varepsilon _{2}}}\right)^{3/2}{\frac {\varepsilon _{1}''}{2(\varepsilon _{1}')^{2}}}\right].$ 

この波数ベクトルは、電磁波の空間的広がりや、カップリング要件として波数ベクトルが一致するかどうかなど、物理的に重要な特性について情報を与えるものである。

伝播距離と表皮の深さ

SPP︵表面プラズモンポラリトン︶が表面に沿って伝播する際、エネルギーを金属に吸収されて失う。表面プラズモンの強度は電場の2乗に比例して減衰するため、距離xにおける表面プラズモン強度の減少率は ${\textstyle \exp\{-2k_{x}''x\}}$ である。伝播長さは、SPPの強度の率が1/eまで減衰する距離として定義され、この条件は以下の長さの式を満たす。

$L={\frac {1}{2k_{x}''}}.$ 

同様に、電場は金属表面に対して垂直にエバネッセント減衰する。低周波数では、金属内のSPP浸透深さは一般に表皮深さの公式を使用して近似される。誘電体内では、電場の減衰ははるかに遅くなる。金属および誘電体媒体における減衰長は次のように表現される。

$z_{i}={\frac {\lambda }{2\pi }}\left({\frac {|\varepsilon _{1}'|+\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{i}^{2}}}\right)^{1/2}$ 

ここで、i は伝播の媒質を示す。SPPは表皮深さ内のわずかな乱れに対して非常に敏感である。このため、SPPは表面の不均一性を調査するために使用されることが多い。

アニメーション

• 
  自由空間波長が370nmの周波数であるときの、銀と空気の界面におけるSPPの電場。アニメーションは光学周期全体での電場変化を示している。この周波数での銀の誘電率は︵-2.6 + 0.6i︶である。画像は横長に0.3 × 370nmであり、SPP波長は自由空間波長よりもはるかに短い。
• 
  上の例よりはるかに低い周波数である、自由空間波長が10μmの場合の銀と空気の界面におけるSPPの電場。この周波数では銀はほぼ完全な導体として挙動し、SPPはSommerfeld–Zenneck波と呼ばれ、自由空間波長とほぼ同じ波長を持つ。この周波数での銀の誘電率は︵-2700 + 1400i︶である。画像は水平方向に6μmである。

実験的応用

SPPを利用したナノファブリケーションシステムは、物質中での光の伝播を設計・制御する可能性を示している。特にSPPはナノメートルサイズの大きさのものに効率的に光を伝えるために使用され、共振周波数分散特性を直接修正︵例えば、光の波長と光パルスの速度の大幅な縮小︶することができ、さらには電場強化して非線形材料との強い相互作用を可能にするためにも適している。その結果として生じる光の外部パラメータ︵例えば、印加電場や吸着分子層の誘電率︶に対する感度の向上は、センシングやスイッチングの応用に大いに期待されている。

現在、ナノスケールのプラズモン効果を利用した新しいコンポーネントの設計、製造、および実験的特性評価に焦点を当てた研究が行われている。これらのデバイスには、バイオセンシング、光ポジショニング、光スイッチングなどの用途に使用される超コンパクトなプラズモニック干渉計、そしてシリコンチップ上に高帯域幅の赤外周波数プラズモン通信回線を集積するために必要な個々の構成要素︵プラズモン源、導波路、検出器︶などがある。

SPPを利用した機能デバイスの構築の他、金属誘電体の狭い空間内で移動するSPPの分散特性を利用して、人工的に調整されたバルク光学特性を持つフォトニック材料︵メタマテリアルとして知られる︶を作成することが実現可能と思われる。人工SPPモードは、メタマテリアルを使用すればマイクロ波およびテラヘルツ周波数で実現可能であり、これらは﹁偽表面プラズモン﹂として知られる。

The excitation of SPPs is frequently used in an experimental technique known as surface plasmon resonance (SPR). In SPR, the maximum excitation of surface plasmons are detected by monitoring the reflected power from a prism coupler as a function of incident angle, wavelengthorphase.

SPPおよび局在プラズモン共鳴を含む表面プラズモンベースの回路は、高性能データ処理ナノデバイスに使用されるフォトニック回路のサイズ制限を克服する手段として提案されている。Surface plasmon-based circuits, including both SPPs and localized plasmon resonances, have been proposed as a means of overcoming the size limitations of photonic circuits for use in high performance data processing nano devices.

これらのナノデバイスのプラズモニック特性を動的に制御する能力が、その開発の鍵となる。最近では、プラズモン-プラズモン相互作用を使用する新しいアプローチが実証されている。ここでは、バルクプラズモン共鳴を誘導または抑制して光の伝播を操作する。このアプローチは、ナノスケールの光操作および完全にCMOS互換の電気光学プラズモニック変調器の開発に高い可能性を示している。The ability to dynamically control the plasmonic properties of materials in these nano-devices is key to their development. A new approach that uses plasmon-plasmon interactions has been demonstrated recently. Here the bulk plasmon resonance is induced or suppressed to manipulate the propagation of light. This approach has been shown to have a high potential for nanoscale light manipulation and the development of a fully CMOS- compatible electro-optical plasmonic modulator.

CMOS互換の電気光学プラズモニック変調器は、チップスケールのフォトニック回路の重要なコンポーネントとなるだろう。CMOS compatible electro-optic plasmonic modulators will be key components in chip-scale photonic circuits.

表面第二高調波発生では、第二高調波信号は電場の2乗に比例する。表面プラズモンのため、界面で電場が強くなるため、非線形光学効果が発生する。この強い信号は、より強力な第二高調波信号を生成するためにしばしば利用される。In surface second harmonic generation, the second harmonic signal is proportional to the square of the electric field. The electric field is stronger at the interface because of the surface plasmon resulting in a non-linear optical effect. This larger signal is often exploited to produce a stronger second harmonic signal.

プラズモンに関連する吸収および発光ピークの波長と強度は、分子吸着によって影響を受けるため、分子センサーに使用される。例えば、牛乳中のカゼインを検出する完全稼働プロトタイプデバイスが製造されている。このデバイスは、金層による光のプラズモン関連吸収の変化をモニターすることに基づいている。The wavelength and intensity of the plasmon-related absorption and emission peaks are affected by molecular adsorption that can be used in molecular sensors. For example, a fully operational prototype device detecting casein in milk has been fabricated. The device is based on monitoring changes in plasmon-related absorption of light by a gold layer.

使用材料Materials used

表面プラズモンポラリトンは、正の誘電率材料と負の誘電率材料の界面にのみ存在できる。正の誘電率材料は、しばしば誘電材料と呼ばれ、空気やガラスなどの透明材料であることが多い。負の誘電率材料は、しばしばプラズモニック材料と呼ばれ、金属やその他の材料である。これは波長、吸収長、その他のSPPの特性に大きな影響を与えるため、より重要である。Surface plasmon polaritons can only exist at the interface between a positive-permittivity material and a negative-permittivity material. The positive-permittivity material, often called the dielectric material, can be any transparent material such as air or (for visible light) glass. The negative-permittivity material, often called the plasmonic material, may be a metal or other material. It is more critical, as it tends to have a large effect on the wavelength, absorption length, and other properties of the SPP. Some plasmonic materials are discussed next.

Metals

可視光および近赤外光に対して、プラズモニック材料は金属だけである。金属は自由電子が豊富であり、高いプラズマ周波数を持つためである︵材料はプラズマ周波数以下でのみ負の実誘電率を持つ︶。For visible and near-infrared light, the only plasmonic materials are metals, due to their abundance of free electrons, which leads to a high plasma frequency. (Materials have negative real permittivity only below their plasma frequency.)

残念ながら、金属はオーミック損失を伴い、プラズモニックデバイスの性能を劣化させる可能性がある。

低損失の必要性から、新しいプラズモニクス材料の開発や既存材料の蒸着条件の最適化に向けた研究が進められている。

材料の損失と分極率の両方がその光学性能に影響を与える。

SPPの品質係数 

として定義される。

以下の表は、Al、Ag、Au、Cuの4つの一般的なプラズモニック金属に対する品質係数とSPP伝播長を示している。

これらの金属は、最適化された条件下で熱蒸着されたものである。

品質係数とSPP伝播長は、これらのAl、Ag、Au、Cu膜の光学データを使用して計算された。Unfortunately, metals suffer from ohmic losses that can degrade the performance of plasmonic devices. The need for lower loss has fueled research aimed at developing new materials for plasmonics and optimizing the deposition conditions of existing materials. Both the loss and polarizability of a material affect its optical performance. The quality factor $Q_{SPP}$  for a SPP is defined as ${\frac {\varepsilon '^{2}}{\varepsilon ''}}$ . The table below shows the quality factors and SPP propagation lengths for four common plasmonic metals; Al, Ag, Au and Cu deposited by thermal evaporation under optimized conditions. The quality factors and SPP propagation lengths were calculated using the optical data from the Al, Ag, Auand Cufilms.

波長	金属	品質係数 $Q_{SPP}(\times 10^{3})$	伝搬長 $L_{SPP}(\mu m)$
UV (280 nm)	Al	0.07	2.5
可視光 (650 nm)	Ag	1.2	84
	Cu	0.42	24
	Au	0.4	20
近赤外 (1000 nm)	Ag	2.2	340
	Cu	1.1	190
	Au	1.1	190
通信波 (1550 nm)	Ag	5	1200
	Cu	3.4	820
	Au	3.2	730

銀は可視光、近赤外︵NIR︶、および通信波長の現行材料の中で最も低い損失を示す。 金と銅は可視光および近赤外で同等に性能を発揮し、通信波長では銅がわずかに優れている。 金は自然環境で化学的に安定しているため、プラズモニックバイオセンサーに適している。 しかし、約470nmでのバンド間遷移により、600nm未満の波長での損失が大幅に増加する。 アルミニウムは紫外線領域︵330nm未満︶で最も優れたプラズモニック材料であり、銅と同様にCMOS互換である。Silver exhibits the lowest losses of current materials in both the visible, near-infrared (NIR) and telecom wavelengths. Gold and copper perform equally well in the visible and NIR with copper having a slight advantage at telecom wavelengths. Gold has the advantage over both silver and copper of being chemically stable in natural environments making it well suited for plasmonic biosensors. However, an interband transition at ~470 nm greatly increases the losses in gold at wavelengths below 600 nm. Aluminum is the best plasmonic material in the ultraviolet regime (< 330 nm) and is also CMOS compatible along with copper.

その他の材料Other materials

赤外線の長い波長に対しては、負の誘電率を持つ材料は特定の半導体、特にドープされたものなど、他にも存在する。半導体の誘電率は、電子密度を制御することにより、広範な範囲で制御することができる。さらに、正の誘電率の高誘電率材料は、表面プラズモンポラリトンの損失を減少させる可能性がある。The fewer electrons a material has, the lower (i.e. longer-wavelength) its plasma frequency becomes. Therefore, at infrared and longer wavelengths, various other plasmonic materials also exist besides metals. These include transparent conducting oxides, which have typical plasma frequency in the NIR-SWIR infrared range. At longer wavelengths, semiconductors may also be plasmonic.

一部の材料は、プラズモンではなくフォノンに関連する赤外線波長で負の誘電率を持つ︵いわゆるレストストラーレンバンド︶。 この結果生じる波は、表面プラズモンポラリトンと同じ光学特性を持つが、表面フォノンポラリトンと呼ばれる。Some materials have negative permittivity at certain infrared wavelengths related to phonons rather than plasmons (so-called <i id="mwAZo">reststrahlen</i> bands). The resulting waves have the same optical properties as surface plasmon polaritons, but are called by a different term, surface phonon polaritons.

粗さの影響Effects of roughness

SPPに対する粗さの影響を理解するためには、まずSPPが格子によってどのように結合されるかを理解することが有益である。

図2を参照せよ。

光子が表面に入射する場合、誘電体中の光子の波ベクトルはSPPの波ベクトルよりも小さい。

光子をSPPに結合させるためには、波ベクトルを

のように増加させる必要がある。

周期的な格子の高調波は、支持インターフェースに平行な追加の運動量を提供し、条件を一致させる。In order to understand the effect of roughness on SPPs, it is beneficial to first understand how a SPP is coupled by a grating Figure2. When a photon is incident on a surface, the wave vector of the photon in the dielectric material is smaller than that of the SPP. In order for the photon to couple into a SPP, the wave vector must increase by $\Delta k=k_{SP}-k_{x,{\text{photon}}}$ . The grating harmonics of a periodic grating provide additional momentum parallel to the supporting interface to match the terms.

$k_{SPP}=k_{x,{\text{photon}}}\pm n\ k_{\text{grating}}={\frac {\omega }{c}}\sin {\theta _{0}}\pm n{\frac {2\pi }{a}},$ 

ここで kgrating​ は格子の波数ベクトル、

θ0​ は入射フォトンの入射角、aは格子周期、nは整数である。where $k_{\text{grating}}$  is the wave vector of the grating, $\theta _{0}$  is the angle of incidence of the incoming photon, ais the grating period, and nis an integer.

粗い表面は、異なる周期性の多くの格子の重ね合わせと考えられる。 クレッチマンは、粗い表面の統計的相関関数を定義することを提案した。Rough surfaces can be thought of as the superposition of many gratings of different periodicities. Kretschmann proposed that a statistical correlation function be defined for a rough surface

$G(x,y)={\frac {1}{A}}\int _{A}z(x',y')\ z(x'-x,y'-y)\,dx'\,dy',$ 

ここで δ は二乗平均平方根高さ、rは点 (x,y) からの距離、

σ は相関長である。 相関関数のフーリエ変換はwhere $\delta$  is the root mean square height, $r$  is the distance from the point $(x,y)$ , and $\sigma$  is the correlation length, then the Fourier transform of the correlation function is

$G(x,y)=\delta ^{2}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)$ 

where $\delta$  is the root mean square height, $r$  is the distance from the point $(x,y)$ , and $\sigma$  is the correlation length, then the Fourier transform of the correlation function is

$|s(k_{\text{surf}})|^{2}={\frac {1}{4\pi }}\sigma ^{2}\delta ^{2}\exp \left(-{\frac {\sigma ^{2}k_{\text{surf}}^{2}}{4}}\right)$ 

ここでsは表面プラズモンにフォトンを結合させるための各空間周波数 

ksurf​ の量を測定する。where $s$  is a measure of the amount of each spatial frequency $k_{\text{surf}}$  which help couple photons into a surface plasmon.

表面が1つのフーリエ成分の粗さのみを持つ場合︵すなわち、表面プロファイルが正弦波である︶、sは離散的であり k=a2π​ のみで存在し、結合の角度が狭いセットとなる。 表面に多くのフーリエ成分が含まれている場合、複数の角度での結合が可能となる。 ランダムな表面では、sは連続的となり、結合角の範囲が広がる。

If the surface only has one Fourier component of roughness (i.e. the surface profile is sinusoidal), then the $s$  is discrete and exists only at $k={\frac {2\pi }{a}}$ , resulting in a single narrow set of angles for coupling. If the surface contains many Fourier components, then coupling becomes possible at multiple angles. For a random surface, $s$  becomes continuous and the range of coupling angles broadens.

前述の通り、SPPは非放射性である。 SPPが粗い表面を伝搬すると、通常散乱により放射性となる。 光の表面散乱理論は、立体角 dΩ あたりの散乱強度dIを入射強度 

I0​ あたりで次のように示している。As stated earlier, SPPs are non-radiative. When a SPP travels along a rough surface, it usually becomes radiative due to scattering. The Surface Scattering Theory of light suggests that the scattered intensity $dI$  per solid angle $d\Omega$  per incident intensity $I_{0}$ is

${\frac {dI}{d\Omega \ I_{0}}}={\frac {4{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}{\cos {\theta _{0}}}}{\frac {\pi ^{4}}{\lambda ^{4}}}|t_{012}^{p}|^{2}\ |W|^{2}|s(k_{\text{surf}})|^{2}$ 

ここで 

∣W∣2 は金属/誘電体界面における単一双極子からの放射パターンである。 クレッチマンのジオメトリで表面プラズモンが励起され、散乱光が入射面内で観察される場合︵図4︶、双極子関数は次のようになる。where $|W|^{2}$  is the radiation pattern from a single dipole at the metal/dielectric interface. If surface plasmons are excited in the Kretschmann geometry and the scattered light is observed in the plane of incidence (Fig. 4), then the dipole function becomes

$|W|^{2}=A(\theta ,|\varepsilon _{1}|)\ \sin ^{2}{\psi }\ [(1+\sin ^{2}\theta /|\varepsilon _{1}|)^{1/2}-\sin {\theta }]^{2}$ 

ここでwith

$A(\theta ,|\varepsilon _{1}|)={\frac {|\varepsilon _{1}|+1}{|\varepsilon _{1}|-1}}{\frac {4}{1+\tan {\theta }/|\varepsilon _{1}|}}$ 

ψ は偏光角であり、θ はxz平面でのz軸からの角度である。 これらの方程式から導かれる重要な結果が2つある。 まず、ψ=0︵s偏光︶の場合、∣W∣2=0 となり、散乱光 

dΩ I0​dI​=0 となる。 次に、散乱光には測定可能なプロファイルがあり、それが粗さと容易に相関することである。 このトピックは、参考文献でより詳細に扱われている。where $\psi$  is the polarization angle and $\theta$  is the angle from the z-axis in the xz-plane. Two important consequences come out of these equations. The first is that if $\psi =0$  (s-polarization), then $|W|^{2}=0$  and the scattered light ${\frac {dI}{d\Omega \ I_{0}}}=0$ . Secondly, the scattered light has a measurable profile which is readily correlated to the roughness. This topic is treated in greater detail in reference.




[[Category:準粒子]]


(一)^ Bashevoy, M.V.; Jonsson, F.; Krasavin, A.V.; Zheludev, N.I.; Chen Y.; Stockman M.I. (2006). “Generation of traveling surface plasmon waves by free-electron impact”. Nano Letters 6(6): 1113–5. arXiv:physics/0604227. Bibcode: 2006NanoL...6.1113B. doi:10.1021/nl060941v. PMID 16771563.