平行移動

ユークリッド幾何学における平行移動︵へいこういどう、英: translation, parallel translation, parallel displacement︶とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。

平行移動はすべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす。

平行移動は並進^[1]あるいは並進運動 (translational motion) とも呼ばれる。平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。一次元の場合、平行移動

T

は定数

a

を用いて

T (x) = x + a

と表せる。

概観

平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル

v

に対して、

v

に対応する平行移動

T v

は、点

P (p)

を

v

だけ動かす写像

T v (p) = p + v

として働く。平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる^[2]。

T

が平行移動であるとき、部分集合

A

の写像

T

による像を、

A

の

T

による平行移動と呼ぶ。

T

が定ベクトル

v

に対応する平行移動

T v

であるとき、

A

の

T v

による平行移動はしばしば

A + v

と書かれる。平行移動を剛体運動として記述することもできる︵平行移動の他には回転と鏡映︶。

n

-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群

T (n)

を成す。この群はもとの空間︵の加法群︶と同型であり、ユークリッド群

E (

n)

の正規部分群である。

E (n)

の

T (n)

による剰余群は直交群

O (n)

に同型:

E (n) / T (n) ≅ O (n)

である。ベクトル変数の写像

f (v)

に作用する、定ベクトル

δ

に対応する平行移動作用素

T δ

は

T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )

で定義される作用素を言う。

行列表現

非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系︵英語版︶を用いた回避方法によって一般に行われる。例えば三次元の場合において、ベクトル

w = (w x, w y, w

z)

は四成分の斉次座標

w = (w x, w y, w z, 1)

で表せる^[3]。各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル

p

を、定ベクトル

v

だけ平行移動させるには、平行移動行列

T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }

で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動

T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }

になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである︵任意の行列の積が非可換であるのとは異なる︶。

物理学における平行移動

物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である︵回転運動に対照する︶。例えば Whittaker (1988, p. 1) によれば、 If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length

ℓ

, so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance $ℓ$ . ︵剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を﹁その直線方向への距離

ℓ

だけの平行移動﹂と呼ぶ。︶平行移動は物体の各点

(x, y, z)

を

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、

(Δ x, Δ y,

Δ z)

は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル

(Δ x, Δ y, Δ z)

は、︵﹁角﹂変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して︶ふつう﹁線型﹂変位または﹁直線﹂変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。

脚注

^ まれに併進とも書く。
^ Osgood & Graustein 1921, p. 330.
^ Paul 1981.

参考文献

Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company
Paul (1981), Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, Cambridge, MA: MIT Press
Whittaker, Edmund Taylor (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35883-3

外部リンク

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parallel displacement”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Translation". mathworld.wolfram.com (英語).
Terr, David. "Complex Translation". mathworld.wolfram.com (英語).
Translation Transform at cut-the-knot
Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

[1] まれに併進とも書く。

[FOOTNOTEOsgoodGraustein1921330-2] Osgood & Graustein 1921, p. 330.

[FOOTNOTEPaul1981-3] Paul 1981.

[1]

[2]

[3]

平行移動

目次

概観

行列表現

物理学における平行移動

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク