群の表現
定義
編集群の表現
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群 Gの各元 gに対して線形空間 V上の線形変換 T(g) が対応し、
が成り立つとき、g を T(g) に対応させる写像 T: G→ GL(V) を群 Gの線形空間 V上の表現といい、線形空間 Vを群 Gの表現空間という。すなわち群 Gの表現とは﹁群 Gから線形空間 V上の正則な線形変換のつくる群への準同型写像﹂のことである。
v ∈ V, g∈ Gに対して T(g)v のことを単に g⋅ vあるいは gvと表すことが多い。
表現空間は群上の加群と見ることもできる。このとき表現空間は群環 CG上表現加群と呼ばれ、このことを強調するために VCGと表すこともある。
表現行列
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表現空間を明示したいときは組 (V, T) で表現を表す。表現空間 Vの次元 nを表現の次元という。表現空間 Vに適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n次正方行列で書き表せるから、群 Gの表現とは﹁Gから正則行列の成す群 GLnへの準同型写像である﹂といってもよい。このとき行列 T(g) を gの表現行列と呼ぶ。
つまり群 Gに対応して行列の集合
があり、任意の群の元 g, hに対して T(gh) = T(g)T(h) が成り立つとき、これらの行列を群 Gの表現行列という。
同値な表現
編集特別な表現
編集恒等表現・忠実表現
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対応 g↦ T(g) は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元 gに恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいは自明表現と呼ばれる。一方、対応 g↦ T(g) が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。
既約表現
編集詳細は「既約表現」を参照
ユニタリ表現
編集詳細は「ユニタリ表現」を参照
すべての T(g) がユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ(直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である)。
誘導表現
編集詳細は「誘導表現」を参照
有限群 Gの部分群 Hを取り、剰余類分解の完全代表系 t1, …, tmをひとつ固定する。
体 F上の表現 T: H→ GLn(F) の誘導表現 TG: G→ GLnm(F) とは次で定義される群 Gの表現のことである。
ただし
のときは T(x) = 0 とする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。
誘導表現 TGの次数は表現 Tの次数の |G : H| 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 Gの正則表現を与える。
部分群 Hの表現加群を Uとしたとき誘導表現から定まる群 Gの表現加群のことを誘導加群といい、UG, U↑G あるいは IndG
H U で表す。代数のテンソル積を使って UG= U⊗FHFG と定義しても同型な表現加群が定義できる。
具体例
編集3次対称群 G = S3 の複素数体 C 上の有限次元な既約表現は同値なものを除くと次で定まる準同型写像 T1, T2, T3 の3つである。
- 1次元の自明表現 T1: G → GL1(C)
- (1, 2)(3) ↦ [1], (1, 2, 3) ↦ [1]
- 符号表現 T2: G → GL1(C)
- (1, 2)(3) ↦ [−1], (1, 2, 3) ↦ [1]
- T3 : G → GL2(C)
- (1, 2)(3) ↦ , (1, 2, 3) ↦
基本的な定理
編集Frobenius相互律
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有限群 Gの部分群 Hを取る。群 Gの表現 T : G→ GL(V) に対し、部分群 Hへの制限表現 TH : H→ GL(V) を TH(h) = T(h) で定める。またこの制限表現から定まる部分群 Hの表現加群のことを制限加群といい、VH, V↓H あるいは ResGHV で表す。このとき線型空間としての同型
が成り立つ[1]。これをFrobenius相互律 (Frobenius reciprocity) という。
Mackeyの分解定理
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有限群 Gの部分群 H, Kを取り、その両側剰余類分解を
とする。このとき FH加群 Wについて FK加群として次の同型が成り立つ[2]。
ここで Wtは FHt加群で、線形空間としては Wと同型であり、Wt の元を︵形式的に︶wt と表したとき、その作用は wtht= (wh)t で定める。この FHt加群 Wtは Wの共役加群と呼ばれることがある。
Cliffordの定理
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有限群 Gの正規部分群 Nを取る。このとき FN加群 Wに対して
を Wの惰性群︵inertia group︶という。
既約 FG加群 Vとその制限 VNの既約部分 FN加群 Wに対して、分岐指数︵ramification index︶と呼ばれる自然数 eが存在して、次の FN加群としての同型が成り立つ[3]。
量子力学における群の表現
編集脚注
編集- ^ Alperin & Bell 1995, pp. 165, 173.
- ^ Isaacs 1994, Problem 5.6.
- ^ 永尾 & 津島 2009, 定理III.3.1.
参考文献
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●Alperin, J. L.; Bell, Rowen B. (1995). Groups and representations. Graduate texts in mathematics. 162. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94526-1
●Isaacs, I. Martin (1994). Character theory of finite groups. Dover. ISBN 0-486-68014-2
●永尾, 汎、津島, 行男、津島行男﹃有限群の表現﹄︵第2版︶裳華房、2009年。ISBN 978-4-7853-1310-4。
●﹃物理学辞典﹄ 培風館、1984年
●高瀬幸一‥﹁群の表現論序説﹂、岩波書店、ISBN 9784000052719︵2013年5月30日︶。
関連項目
編集外部リンク
編集- Lam, T. Y. (1998年3月). “Representations of Finite Groups: A Hundred Years, Part I” (PDF). Notices of the AMS. 2016年1月11日閲覧。
- Lam, T. Y. (1998年4月). “Representations of Finite Groups: A Hundred Years, Part II” (PDF). Notices of the AMS. 2016年1月11日閲覧。