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こ れ は 第 三 の 概 念 、 [ [ 自 然 同 型 ] ] を 導 く ‥ { { m v a r | V } } と { { m v a r | ' ' V ' ' * * } } は 異 な る 集 合 で あ る が 、 そ れ ら の 間 の 同 型 写 像 の ﹁ 自 然 ﹂ な 取 り 方 が 存 在 す る 。 ﹁ 任 意 の 選 択 に 依 存 し な い 同 型 写 像 ﹂ と い う こ の 直 観 的 な 概 念 は [ [ 自 然 変 換 ] ] の 概 念 に お い て 定 式 化 さ れ る ‥ 端 的 に は 、 ' ' 任 意 の ' ' ベ ク ト ル 空 間 に 対 し て 一 貫 し た 方 法 で ベ ク ト ル 空 間 と そ の 二 重 双 対 を 同 一 視 、 あ る い は よ り 一 般 に 、 写 す < m a t h > V \ , \ o v e r s e t { \ s i m } { \ t o } \ , V ^ { * * } < / m a t h > こ と が で き る 。 こ の 直 観 の 定 式 化 は 圏 論 の 発 展 の 動 機 づ け で あ る 。
こ れ は 第 三 の 概 念 、 [ [ 自 然 同 型 ] ] を 導 く ‥ { { m v a r | V } } と { { m v a r | ' ' V ' ' * * } } は 異 な る 集 合 で あ る が 、 そ れ ら の 間 の 同 型 写 像 の ﹁ 自 然 ﹂ な 取 り 方 が 存 在 す る 。 ﹁ 任 意 の 選 択 に 依 存 し な い 同 型 写 像 ﹂ と い う こ の 直 観 的 な 概 念 は [ [ 自 然 変 換 ] ] の 概 念 に お い て 定 式 化 さ れ る ‥ 端 的 に は 、 ' ' 任 意 の ' ' ベ ク ト ル 空 間 に 対 し て 一 貫 し た 方 法 で ベ ク ト ル 空 間 と そ の 二 重 双 対 を 同 一 視 、 あ る い は よ り 一 般 に 、 写 す < m a t h > V \ , \ o v e r s e t { \ s i m } { \ t o } \ , V ^ { * * } < / m a t h > こ と が で き る 。 こ の 直 観 の 定 式 化 は 圏 論 の 発 展 の 動 機 づ け で あ る 。
しかしながら、自然同型と等号の区別が通常されない場合がある。[[普遍性]]によって特徴づけられる対象に対してである。実は、同じ普遍性を共有する2つの対象の間には、自然でなければならない一意的な同型が存在する。典型的な例は[[実数]]の集合であり、無限十進展開、無限二進展開、[[コーシー列]]、[[デデキント切断]]、多くの他の方法によって定義できる。形式的にはこれらの構成は異なる対象を定義するが、すべて同じ普遍性の解である。これらの対象はちょうど同じ性質を持つから、構成の手法は忘れてそれらを等しいと考えることができる。これが "''the'' set of the real numbers" と言う時に誰もがやっていることである。同じことは[[商空間]]で起こる:それらは一般に[[同値類]]の集合として構成される。しかしながら、集合の集合を話すことは直観に反するかもしれず、商空間は一般に、しばしば「点」と呼ばれる未決定な対象の集合とこの集合への全射との対と考えられる。
し か し な が ら 、 自 然 同 型 と 等 号 の 区 別 が 通 常 さ れ な い 場 合 が あ る 。 [ [ 普 遍 性 ] ] に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る 対 象 に 対 し て で あ る 。 実 は 、 同 じ 普 遍 性 を 共 有 す る 2 つ の 対 象 の 間 に は 、 自 然 で な け れ ば な ら な い 一 意 的 な 同 型 が 存 在 す る 。 典 型 的 な 例 は [ [ 実 数 ] ] の 集 合 で あ り 、 無 限 十 進 展 開 、 無 限 二 進 展 開 、 [ [ コ ー シ ー 列 ] ] 、 [ [ デ デ キ ン ト 切 断 ] ] 、 多 く の 他 の 方 法 に よ っ て 定 義 で き る 。 形 式 的 に は こ れ ら の 構 成 は 異 な る 対 象 を 定 義 す る が 、 す べ て 同 じ 普 遍 性 の 解 で あ る 。 こ れ ら の 対 象 は ち ょ う ど 同 じ 性 質 を 持 つ か ら 、 構 成 の 手 法 は 忘 れ て そ れ ら を 等 し い と 考 え る こ と が で き る 。 こ れ が " ' ' t h e ' ' s e t o f t h e r e a l n u m b e r s " と 言 う 時 に 誰 も が や っ て い る こ と で あ る 。 同 じ こ と は [ [ 商 集 合 | 商 空 間 ] ] で 起 こ る ‥ そ れ ら は 一 般 に [ [ 同 値 類 ] ] の 集 合 と し て 構 成 さ れ る 。 し か し な が ら 、 集 合 の 集 合 を 話 す こ と は 直 観 に 反 す る か も し れ ず 、 商 空 間 は 一 般 に 、 し ば し ば ﹁ 点 ﹂ と 呼 ば れ る 未 決 定 な 対 象 の 集 合 と こ の 集 合 へ の 全 射 と の 対 と 考 え ら れ る 。
任 意 の 同 型 ︵ 選 択 に 依 存 す る も の ︶ と 自 然 同 型 ︵ 一 貫 し て で き る も の ︶ と の 区 別 を 描 き た い 場 合 、 自 然 で な い 同 型 に は { { m a t h | ≈ } } を 書 き 、 自 然 同 型 に は { { m a t h | { { l a r g e r | ≅ } } } } と 書 く こ と が で き る 。 例 え ば { { m a t h | 1 = ' ' V ' ' ≈ ' ' V ' ' * } } と { { m a t h | 1 = ' ' V ' ' < s p a n s t y l e = " f o n t - s i z e : 1 2 0 % " > ≅ < / s p a n > ' ' V ' ' * * } } で あ る 。 こ の 慣 習 は 広 く 用 い ら れ て い る も の で は な く 、 自 然 で な い 同 型 と 自 然 同 型 を 区 別 し た い 著 者 は 一 般 に 明 示 的 に 違 い を 述 べ る 。
任 意 の 同 型 ︵ 選 択 に 依 存 す る も の ︶ と 自 然 同 型 ︵ 一 貫 し て で き る も の ︶ と の 区 別 を 描 き た い 場 合 、 自 然 で な い 同 型 に は { { m a t h | ≈ } } を 書 き 、 自 然 同 型 に は { { m a t h | { { l a r g e r | ≅ } } } } と 書 く こ と が で き る 。 例 え ば { { m a t h | 1 = ' ' V ' ' ≈ ' ' V ' ' * } } と { { m a t h | 1 = ' ' V ' ' < s p a n s t y l e = " f o n t - s i z e : 1 2 0 % " > ≅ < / s p a n > ' ' V ' ' * * } } で あ る 。 こ の 慣 習 は 広 く 用 い ら れ て い る も の で は な く 、 自 然 で な い 同 型 と 自 然 同 型 を 区 別 し た い 著 者 は 一 般 に 明 示 的 に 違 い を 述 べ る 。
2023年7月23日 (日) 04:26時点における最新版
同型写像 ( どうけいしゃぞう 、( 英 : isomorphism [note 1] )あるいは単に同型 とは、数学 において準同型写像 あるいは射 であって、逆射を持つものである[note 2] 。
2 つ の 数 学 的 対 象 が 同 型 ( i s o m o r p h i c ) で あ る と は 、 そ れ ら の 間 に 同 型 写 像 が 存 在 す る こ と を い う 。 自 己 同 型 写 像 は 始 域 と 終 域 が 同 じ 同 型 写 像 で あ る 。 同 型 写 像 の 興 味 は 2 つ の 同 型 な 対 象 は 写 像 を 定 義 す る の に 使 わ れ る 性 質 の み を 使 っ て 区 別 で き な い と い う 事 実 に あ る 。 し た が っ て 同 型 な 対 象 は こ れ ら の 性 質 や そ の 結 果 だ け を 考 え る 限 り 同 じ も の と 考 え て よ い 。
1の5乗根 が乗法についてなす群は正五角形の回転が合成についてなす群に同型である。
群 や 環 を 含 む ほ と ん ど の 代 数 的 構 造 に 対 し て 、 準 同 型 写 像 が 同 型 写 像 で あ る こ と と 全 単 射 で あ る こ と は 同 値 で あ る 。
位 相 幾 何 学 に お い て 、 射 と は 連 続 写 像 の こ と で あ る が 、 同 型 写 像 は 同 相 写 像 あ る い は 双 連 続 写 像 と も 呼 ば れ る 。 解 析 学 に お い て 、 射 は 可 微 分 関 数 で あ り 、 同 型 写 像 は 微 分 同 相 と も 呼 ば れ る 。
標 準 的 な 同 型 写 像 ( c a n o n i c a l i s o m o r p h i s m ) は 同 型 で あ る よ う な 標 準 的 な 写 像 ︵ 英 語 版 ︶ で あ る 。 2 つ の 対 象 が 標 準 的 に 同 型 ( c a n o n i c a l l y i s o m o r p h i c ) で あ る と は 、 そ れ ら の 間 に 標 準 的 な 同 型 写 像 が 存 在 す る こ と を い う 。 例 え ば 、 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 V か ら 二 重 双 対 空 間 へ の 標 準 的 な 写 像 は 標 準 的 な 同 型 写 像 で あ る 。 一 方 、 V は 双 対 空 間 に 同 型 で あ る が 、 一 般 に は 標 準 的 に で は な い 。
同 型 写 像 は 圏 論 を 用 い て 形 式 化 さ れ る 。 あ る 圏 の 射 f : X → Y が 同 型 射 で あ る と は 、 両 側 逆 射 を 持 つ こ と を い う 。 す な わ ち 、 そ の 圏 に お け る 別 の 射 g : Y → X が あ っ て 、 gf = 1 X か つ fg = 1 Y と な る 。 た だ し 1 X と 1 Y は そ れ ぞ れ X と Y の 恒 等 射 で あ る [ 1 ] 。
R + を 正 の 実 数 の な す 乗 法 群 と し 、 R を 実 数 の な す 加 法 群 と す る 。
対 数 関 数 l o g : R + → R は す べ て の x , y ∈ R + に 対 し て l o g ( xy ) = l o g x + l o g y を 満 た す の で 、 そ れ は 群 準 同 型 で あ る 。 指 数 関 数 e x p : R → R + は す べ て の x , y ∈ R + に 対 し て e x p ( x + y ) = ( e x p x ) ( e x p y ) を 満 た す の で 、 そ れ も 準 同 型 で あ る 。
恒 等 式 l o g e x p x = x お よ び e x p l o g y = y は l o g と e x p が 互 い の 逆 関 数 で あ る こ と を 示 し て い る 。 l o g は 準 同 型 で あ る 逆 関 数 を 持 つ 準 同 型 で あ る か ら 、 群 同 型 で あ る 。
l o g は 同 型 だ か ら 、 正 の 実 数 の 積 を 実 数 の 和 に 翻 訳 す る 。 こ の 機 能 に よ り 、 定 規 と 対 数 表 ︵ 英 語 版 ︶ を 用 い て 、 あ る い は 対 数 ス ケ ー ル の 計 算 尺 を 用 い て 実 数 を 掛 け る こ と が で き る 。
0 か ら 5 ま で の 整 数 が 6 を 法 と し た 加 法 で な す 群 ( Z 6 , + ) を 考 え る 。 ま た 、 群 ( Z 2 × Z 3 , + ) を 考 え る 。 こ れ は x 座 標 が 0 か 1 で y 座 標 が 0 か 1 か 2 の 順 序 対 で 、 加 法 は x 座 標 は 2 を 法 と し 、 y 座 標 は 3 を 法 と す る 。
こ れ ら の 構 造 は 以 下 の 対 応 に よ っ て 同 型 で あ る ‥
( 0 , 0 ) → 0
( 1 , 1 ) → 1
( 0 , 2 ) → 2
( 1 , 0 ) → 3
( 0 , 1 ) → 4
( 1 , 2 ) → 5
あ る い は 一 般 に ( a , b ) → ( 3 a + 4 b ) m o d 6 .
例 え ば 、 ( 1 , 1 ) + ( 1 , 0 ) = ( 0 , 1 ) で あ り 、 も う 一 方 に 翻 訳 す る と 1 + 3 = 4 で あ る 。
こ れ ら の 2 つ の 群 は 集 合 が 異 な る 元 を 含 む と い う 意 味 で 違 っ て ﹁ 見 え る ﹂ に も か か わ ら ず 、 そ れ ら は 実 際 同 型 で あ り 、 構 造 は 全 く 同 じ で あ る 。 よ り 一 般 に 、 2 つ の 巡 回 群 Z m と Z n の 直 積 が Z mn と 同 型 で あ る の は 、 m と n が 互 い に 素 で あ る と き 、 か つ そ の と き に 限 る 。
1 つ の 対 象 が 集 合 X と 二 項 関 係 R か ら な り 、 も う 1 つ の 対 象 が 集 合 Y と 二 項 関 係 S か ら な る と き 、 X か ら Y へ の 同 型 写 像 は 全 単 射 f : X → Y で あ っ て
S
(
f
(
u
)
,
f
(
v
)
)
⟺
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle \operatorname {S} (f(u ),f(v ))\iff \operatorname {R} (u,v)}
な る も の で あ る [ 2 ] 。
S が 反 射 的 、 非 反 射 的 、 対 称 的 、 反 対 称 的 、 非 対 称 的 、 推 移 的 、 完 全 、 三 分 的 、 半 順 序 、 全 順 序 、 s t r i c t w e a k o r d e r ︵ 英 語 版 ︶ 、 t o t a l p r e o r d e r ︵ 英 語 版 ︶ ( w e a k o r d e r ) 、 同 値 関 係 、 あ る い は 任 意 の 他 の 特 別 な 性 質 を 持 つ 関 係 で あ る こ と と 、 R が そ う で あ る こ と は 同 値 で あ る 。
例 え ば 、 R が 順 序 ︵ 英 語 版 ︶ ≤ で S が 順 序
⊑
{\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq }
な ら ば 、 X か ら Y へ の 同 型 は 全 単 射 f : X → Y で あ っ て
f
(
u
)
⊑
f
(
v
)
⟺
u
≤
v
{\displaystyle f(u )\sqsubseteq f(v )\iff u\leq v}
な る も の で あ る 。 そ の よ う な 同 型 は 順 序 同 型 ︵ 英 語 版 ︶ ( o r d e r i s o m o r p h i s m , i s o t o n e i s o m o r p h i s m ) と 呼 ば れ る 。
X = Y な ら ば 、 こ れ は 関 係 を 保 つ 自 己 同 型 で あ る 。
具体圏 (英語版 ) (すなわち、大雑把に言って、対象が集合で射が集合の間の写像である圏)、例えば位相空間の圏 や代数的対象(群、環、加群など)の圏、において、同型射は台集合上全単射でなければならない。代数的な圏(具体的には普遍代数学の意味での varieties (英語版 ) の圏)において、同型射は台集合上全単射な準同型と同じである。しかしながら、全単射準同型が同型射とは限らない具体圏(例えば位相空間の圏)があり、各対象が台集合を持つが同型射が全単射とは限らない圏(例えば CW 複体のホモトピー圏)がある。
抽 象 代 数 学 に お い て , 2 つ の 基 本 的 な 同 型 射 が 定 義 さ れ る ‥
● 群 同 型 、 2 つ の 群 の 間 の 同 型
● 環 同 型 、 2 つ の 環 の 間 の 同 型 ︵ 体 の 間 の 同 型 は 実 は 環 同 型 で あ る こ と に 注 意 ︶
代 数 的 構 造 の 自 己 同 型 が 群 を な す の と 全 く 同 様 に 、 共 通 の 構 造 を 持 つ 2 つ の 代 数 の 間 の 同 型 は h e a p ︵ 英 語 版 ︶ を な す 。 特 定 の 同 型 に 2 つ の 構 造 を 同 一 視 さ せ る こ と で こ の h e a p は 群 に な る 。
解 析 学 に お い て 、 ラ プ ラ ス 変 換 は 難 し い 微 分 方 程 式 を 簡 単 な 代 数 方 程 式 に 写 す 同 型 写 像 で あ る 。
圏 論 に お い て 、 圏 C は 2 つ の ク ラ ス か ら な る と し よ う 。 1 つ は 対 象 の ク ラ ス で 、 1 つ は 射 の ク ラ ス で あ る 。 こ の と き 前 の 例 や 多 く の 他 の 場 合 を 含 む 同 型 射 の 一 般 的 な 定 義 は ‥ 同 型 射 と は 逆 射 を も つ 射 f : a → b で あ る 、 す な わ ち 射 g : b → a で あ っ て fg = 1 b か つ gf = 1 a な る も の が 存 在 す る 射 で あ る 。 例 え ば 、 全 単 射 線 型 写 像 は ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 同 型 写 像 で あ り 、 逆 関 数 も 連 続 な 全 単 射 連 続 関 数 は 位 相 空 間 の 間 の 同 相 写 像 と 呼 ば れ る 同 型 写 像 で あ る 。
グ ラ フ 理 論 に お い て 、 2 つ の グ ラ フ G と H の 間 の 同 型 写 像 は G の 頂 点 た ち か ら H の 頂 点 た ち へ の 全 単 射 f で あ っ て 次 の 意 味 で ﹁ 辺 の 構 造 ﹂ を 保 つ も の で あ る ‥ G に お い て 頂 点 u か ら 頂 点 v に 辺 が あ る の は H に お い て f ( u ) か ら f ( v ) に 辺 が あ る と き 、 か つ そ の と き に 限 る 。 グ ラ フ 同 型 を 参 照 。
解 析 学 に お い て 、 2 つ の ヒ ル ベ ル ト 空 間 の 間 の 同 型 写 像 は 和 と ス カ ラ ー 倍 と 内 積 を 保 つ 全 単 射 で あ る 。
l o g i c a l a t o m i s m ︵ 英 語 版 ︶ の 早 期 の 理 論 に お い て 、 f a c t s と t r u e p r o p o s i t i o n s の 間 の 形 式 的 な 関 係 は バ ー ト ラ ン ド ・ ラ ッ セ ル と ル ー ト ヴ ィ ヒ ・ ヴ ィ ト ゲ ン シ ュ タ イ ン に よ っ て 同 型 で あ る と 理 論 化 さ れ た 。 こ の 方 向 の 考 え の 例 は ラ ッ セ ル の I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l P h i l o s o p h y ︵ 英 語 版 ︶ に お い て 見 つ け ら れ る 。
サ イ バ ネ テ ィ ッ ク ス に お い て 。 G o o d R e g u l a t o r ︵ 英 語 版 ︶ あ る い は C o n a n t - A s h b y t h e o r e m は " E v e r y G o o d R e g u l a t o r o f a s y s t e m m u s t b e a m o d e l o f t h a t s y s t e m " と 述 べ ら れ る 。 W h e t h e r r e g u l a t e d o r s e l f - r e g u l a t i n g a n i s o m o r p h i s m i s r e q u i r e d b e t w e e n r e g u l a t o r p a r t a n d t h e p r o c e s s i n g p a r t o f t h e s y s t e m .
数 学 の あ る 分 野 、 特 に 圏 論 で は 、 等 し い こ と と 同 型 と を 区 別 す る の が 大 切 で あ る 。 等 し い と は 2 つ の 対 象 が 全 く 同 じ で あ る こ と で あ り 、 一 方 に つ い て 正 し い す べ て の こ と は 他 方 に つ い て も 正 し い 。 一 方 同 型 は 一 方 の 対 象 の 構 造 の あ る 指 定 さ れ た 部 分 に つ い て 正 し い す べ て の こ と は 他 方 に つ い て も 正 し い こ と を 意 味 す る 。 例 え ば 、 集 合
A
=
{
x
∈
Z
∣
x
2
<
2
}
{\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\}}
と
B
=
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle B=\{-1,0,1\}\,}
は 等 し い ‥ そ れ ら は 整 数 の 同 じ 部 分 集 合 で 表 示 が 違 う だ け で あ る ― ― 前 者 は 内 包 的 ︵ 英 語 版 ︶ ︵ s e t b u i l d e r n o t a t i o n ︵ 英 語 版 ︶ ︶ で あ り 、 後 者 は 外 延 的 ︵ 英 語 版 ︶ ︵ 明 示 的 な 列 挙 ︶ で あ る 。 対 照 的 に 、 集 合 { A , B , C } と { 1 , 2 , 3 } は 等 し く は な い ― ― 前 者 の 元 は 文 字 だ が 後 者 の 元 は 数 で あ る 。 こ れ ら は 集 合 と し て 同 型 で あ る 、 な ぜ な ら ば 有 限 集 合 は 濃 度 ︵ 元 の 個 数 ︶ に よ っ て 同 型 を 除 い て 決 定 さ れ 、 こ れ ら は 両 方 と も 3 つ の 元 を 持 っ て い る か ら で あ る が 、 同 型 写 像 の 選 び 方 は た く さ ん あ る ― ― 1 つ の 同 型 写 像 は
A
↦
1
,
B
↦
2
,
C
↦
3
{\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,\,{\text{B}}\mapsto 2,\,{\text{C}}\mapsto 3}
で あ り 、 別 の 同 型 写 像 は
A
↦
3
,
B
↦
2
,
C
↦
1
{\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,\,{\text{B}}\mapsto 2,\,{\text{C}}\mapsto 1}
で あ り 、 ど れ か 1 つ の 同 型 写 像 が 本 質 的 に 他 の よ り も 良 い と い う こ と は な い [ n o t e 3 ] [ n o t e 4 ] 。 こ の 観 点 と 意 味 に お い て 、 こ れ ら の 2 つ の 集 合 は ﹁ 同 一 ﹂ と は 考 え ら れ な い か ら 等 し く な い ‥ そ れ ら の 間 の 同 型 を 選 ぶ こ と は 出 来 る が 、 こ れ は 同 一 で あ る こ と よ り も 弱 い 主 張 で あ り 、 選 ば れ た 同 型 の 文 脈 で し か 有 効 で な い 。
同 型 は 明 ら か で 従 わ ざ る を 得 な い よ う に 見 え る こ と も あ る が 、 な お 等 号 で は な い 。 単 純 な 例 と し て 、 J o e 、 J o h n 、 B o b b y K e n n e d y の 間 の 系 譜 学 的 関 係 は 、 実 際 の 意 味 で 、 M a n n i n g f a m i l y の ア メ リ カ ン ・ フ ッ ト ボ ー ル の ク ォ ー タ ー バ ッ ク 、 A r c h i e 、 P e y t o n 、 E l i の 間 の 系 譜 学 的 関 係 と 同 じ で あ る 。 父 子 関 係 と 兄 弟 関 係 は 完 璧 に 対 応 し て い る 。 2 つ の 家 族 の 間 の こ の 類 似 性 は 用 語 i s o m o r p h i s m ( G r e e k i s o - , " s a m e , " a n d - m o r p h , " f o r m " o r " s h a p e " ) の 起 源 を 説 明 す る 。 し か し ケ ネ デ ィ ー 一 家 は マ ニ ン グ 一 家 と 同 じ 人 々 で は な い か ら 、 2 つ の 系 譜 学 的 構 造 は 単 に 同 型 で あ っ て 等 し く は な い 。
別 の 例 は よ り 形 式 的 で 等 号 を 同 型 と 区 別 す る 動 機 づ け を よ り 直 接 に 説 明 す る ‥ 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 V と V か ら そ の 係 数 体 K へ の 線 型 写 像 の な す 双 対 空 間 V * = { φ : V → K } と の 区 別 で あ る 。 こ れ ら の 空 間 は 同 じ 次 元 を 持 ち 、 し た が っ て 抽 象 的 な ベ ク ト ル 空 間 と し て は 同 型 で あ る ︵ な ぜ な ら , 集 合 が 濃 度 で 分 類 さ れ る の と ち ょ う ど 同 じ よ う に 、 代 数 的 に は ベ ク ト ル 空 間 は 次 元 に よ っ て 分 類 さ れ る た め ︶ が 、 同 型 写 像
V
→
∼
V
∗
{\displaystyle V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{*}}
の ﹁ 自 然 ﹂ な 選 択 は 存 在 し な い 。 V の 基 底 を 選 ぶ と 、 こ れ は 同 型 を 生 む ‥ す べ て の u , v ∈ V に 対 し て 、
v
↦
∼
ϕ
v
∈
V
∗
such that
ϕ
v
(
u
)
=
v
T
u
{\displaystyle v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{such that}}\quad \phi _{v}(u )=v^{\mathrm {T} }u}
.
こ れ は 列 ベ ク ト ル ︵ V の 元 ︶ を 行 ベ ク ト ル ︵ V * の 元 ︶ に 転 置 で 変 換 す る こ と に 対 応 す る が 、 基 底 の 異 な る 選 択 は 異 な る 同 型 を 与 え る ‥ 同 型 は ﹁ 基 底 の と り 方 に 依 存 す る ﹂ の で あ る 。 よ り 微 妙 な こ と に 、 ベ ク ト ル 空 間 V か ら そ の 二 重 双 対 ︵ 英 語 版 ︶ V * * = { x : V * → K } へ の 基 底 の と り 方 に 依 ら な い 写 像 が 存 在 す る ‥ す べ て の v ∈ V と φ ∈ V * に 対 し て 、
v
↦
∼
x
v
∈
V
∗
∗
such that
x
v
(
ϕ
)
=
ϕ
(
v
)
.
{\displaystyle v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ x_{v}\in V^{**}\quad {\text{such that}}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v ).}
こ れ は 第 三 の 概 念 、 自 然 同 型 を 導 く ‥ V と V * * は 異 な る 集 合 で あ る が 、 そ れ ら の 間 の 同 型 写 像 の ﹁ 自 然 ﹂ な 取 り 方 が 存 在 す る 。 ﹁ 任 意 の 選 択 に 依 存 し な い 同 型 写 像 ﹂ と い う こ の 直 観 的 な 概 念 は 自 然 変 換 の 概 念 に お い て 定 式 化 さ れ る ‥ 端 的 に は 、 任 意 の ベ ク ト ル 空 間 に 対 し て 一 貫 し た 方 法 で ベ ク ト ル 空 間 と そ の 二 重 双 対 を 同 一 視 、 あ る い は よ り 一 般 に 、 写 す
V
→
∼
V
∗
∗
{\displaystyle V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{**}}
こ と が で き る 。 こ の 直 観 の 定 式 化 は 圏 論 の 発 展 の 動 機 づ け で あ る 。
し か し な が ら 、 自 然 同 型 と 等 号 の 区 別 が 通 常 さ れ な い 場 合 が あ る 。 普 遍 性 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る 対 象 に 対 し て で あ る 。 実 は 、 同 じ 普 遍 性 を 共 有 す る 2 つ の 対 象 の 間 に は 、 自 然 で な け れ ば な ら な い 一 意 的 な 同 型 が 存 在 す る 。 典 型 的 な 例 は 実 数 の 集 合 で あ り 、 無 限 十 進 展 開 、 無 限 二 進 展 開 、 コ ー シ ー 列 、 デ デ キ ン ト 切 断 、 多 く の 他 の 方 法 に よ っ て 定 義 で き る 。 形 式 的 に は こ れ ら の 構 成 は 異 な る 対 象 を 定 義 す る が 、 す べ て 同 じ 普 遍 性 の 解 で あ る 。 こ れ ら の 対 象 は ち ょ う ど 同 じ 性 質 を 持 つ か ら 、 構 成 の 手 法 は 忘 れ て そ れ ら を 等 し い と 考 え る こ と が で き る 。 こ れ が " t h e s e t o f t h e r e a l n u m b e r s " と 言 う 時 に 誰 も が や っ て い る こ と で あ る 。 同 じ こ と は 商 空 間 で 起 こ る ‥ そ れ ら は 一 般 に 同 値 類 の 集 合 と し て 構 成 さ れ る 。 し か し な が ら 、 集 合 の 集 合 を 話 す こ と は 直 観 に 反 す る か も し れ ず 、 商 空 間 は 一 般 に 、 し ば し ば ﹁ 点 ﹂ と 呼 ば れ る 未 決 定 な 対 象 の 集 合 と こ の 集 合 へ の 全 射 と の 対 と 考 え ら れ る 。
任 意 の 同 型 ︵ 選 択 に 依 存 す る も の ︶ と 自 然 同 型 ︵ 一 貫 し て で き る も の ︶ と の 区 別 を 描 き た い 場 合 、 自 然 で な い 同 型 に は ≈ を 書 き 、 自 然 同 型 に は ≅ と 書 く こ と が で き る 。 例 え ば V ≈ V * と V ≅ V * * で あ る 。 こ の 慣 習 は 広 く 用 い ら れ て い る も の で は な く 、 自 然 で な い 同 型 と 自 然 同 型 を 区 別 し た い 著 者 は 一 般 に 明 示 的 に 違 い を 述 べ る 。
一 般 に 、 2 つ の 対 象 が ﹁ 等 し い ﹂ と 言 う こ と は 、 こ れ ら の 対 象 が 住 ん で い る よ り 大 き い ︵ 周 囲 の ︶ 空 間 の 概 念 が 存 在 す る と き の た め に と っ て あ る 。 ほ と ん ど の 場 合 、 ︵ 上 の 整 数 の 集 合 の 例 の よ う に ︶ 与 え ら れ た 集 合 の 2 つ の 部 分 集 合 の 等 号 に つ い て 話 す が 、 抽 象 的 に 表 示 さ れ た 2 つ の 対 象 に つ い て は 話 さ な い 。 例 え ば 、 3 次 元 空 間 に お け る 2 次 元 単 位 球 面
S
2
:=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
∣
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
}
{\displaystyle S^{2}:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}
と 複 素 平 面 の 一 点 コ ン パ ク ト 化 C ∪ { ∞ } と し て 表 せ る リ ー マ ン 球 面
C
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}
と 複 素 射 影 直 線 ︵ 商 空 間 ︶
P
C
1
:=
(
C
2
∖
{
(
0
,
0
)
}
)
/
(
C
∗
)
{\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\})/(\mathbb {C} ^{*})}
と し て 表 せ る リ ー マ ン 球 面 は 1 つ の 数 学 的 対 象 の 3 つ の 異 な る 記 述 で あ り 、 す べ て 同 型 で あ る が 、 す べ て あ る 1 つ の 空 間 の 部 分 集 合 で は な い か ら 、 等 し く な い ‥ 1 つ 目 は R 3 の 部 分 集 合 で 、 2 つ 目 は C ≅ R 2 [ n o t e 5 ] に 追 加 の 一 点 を 加 え た も の で 、 3 つ 目 は C 2 の s u b q u o t i e n t ︵ 英 語 版 ︶ で あ る 。
圏 論 の 文 脈 で は 、 対 象 は 通 常 せ い ぜ い 同 型 で あ る ― ― 実 際 、 圏 論 の 発 展 の 動 機 づ け は ホ モ ロ ジ ー 論 に お け る 異 な る 構 成 が 同 値 な ︵ 同 型 な ︶ 群 を 生 む こ と を 示 す こ と で あ っ た 。 し か し な が ら 、 2 つ の 対 象 X と Y の 間 の 写 像 た ち が 与 え ら れ る と 、 そ れ ら が 等 し い か ど う か ︵ そ れ ら は 集 合 H o m ( X , Y ) の 元 な の で 、 等 し い か ど う か は 適 切 な 関 係 で あ る ︶ を 、 特 に 可 換 図 式 に お い て 、 問 う 。
(一) ^ f r o m t h e A n c i e n t G r e e k : ἴ σ ο ς i s o s " e q u a l " , a n d μ ο ρ φ ή m o r p h e " f o r m " o r " s h a p e "
(二) ^ 逆 関 数 で は な い
(三) ^ 注 意 深 い 読 者 は A , B , C が 慣 習 的 な 順 序 、 す な わ ち ア ル フ ァ ベ ッ ト 順 で あ り 、 同 様 に 1 , 2 , 3 も 整 数 の 順 番 だ か ら 、 1 つ の 特 定 の 同 型 、 す な わ ち
A
↦
1
,
B
↦
2
,
C
↦
3
{\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3}
が ﹁ 自 然 ﹂ だ と 思 う か も し れ な い 。 よ り 形 式 的 に は 、 集 合 と し て は こ れ ら は 同 型 で あ る が 、 自 然 に 同 型 で は な い ︵ 同 型 写 像 の 複 数 の 選 び 方 が あ る ︶ 。 一 方 で 、 順 序 集 合 と し て は 自 然 に 同 型 で あ る ︵ 上 で 与 え ら れ た 一 意 的 な 同 型 写 像 が あ る ︶ 、 な ぜ な ら ば 有 限 全 順 序 ︵ 英 語 版 ︶ は 濃 度 に よ る 一 意 的 な 同 型 を 除 い て 一 意 的 に 決 定 さ れ る か ら で あ る 。
こ の 直 観 は 以 下 の よ う に 言 う こ と で 定 式 化 で き る 。 同 じ 濃 度 を も っ た 任 意 の 2 つ の 有 限 全 順 序 集 合 は 次 の よ う な 自 然 な 同 型 を 持 つ 。 前 者 の 最 小 元 を 後 者 の 最 小 元 に 送 り 、 前 者 の 残 り の 最 小 元 を 後 者 の 残 り の 最 小 元 に 送 り 、 … … 。 し か し 一 般 に は 。 与 え ら れ た 有 限 濃 度 の 集 合 の 対 は 自 然 に 同 型 で は な い 、 な ぜ な ら ば 写 像 の 選 び 方 が 1 つ よ り も 多 く あ る か ら だ ― ― た だ し 濃 度 が 0 あ る い は 1 の と き は 除 く 。 こ の と き は 一 意 的 な 選 択 が あ る 。
(四) ^ 実 は 、 2 つ の 3 元 集 合 の 間 の 異 な る 同 型 写 像 は ち ょ う ど 3 ! = 6 個 あ る 。 こ れ は 与 え ら れ た 3 元 集 合 の 自 己 同 型 の 個 数 に 等 し く ︵ そ し て 3 文 字 の 対 称 群 の 位 数 に 等 し く ︶ 、 一 般 に 2 つ の 対 象 の 間 の 同 型 写 像 の 集 合 I s o ( A , B ) は A の 自 己 同 型 群 A u t ( A ) の t o r s o r ︵ 英 語 版 ︶ で あ り B の 自 己 同 型 群 の t o r s o r で も あ る 。 実 は 、 対 象 の 自 己 同 型 は 、 こ の 後 述 べ る よ う に ベ ク ト ル 空 間 の そ の 双 対 や 二 重 双 対 と の 同 一 視 に お け る 基 底 の 変 換 の 影 響 に よ っ て 論 証 さ れ る よ う に 、 同 型 と 等 号 を 区 別 す る 主 な 理 由 で あ る 。
(五) ^ 正 確 に は 、 複 素 数 の 実 平 面 と の 同 一 視
C
≅
R
⋅
1
⊕
R
⋅
i
=
R
2
{\displaystyle \mathbf {C} \cong \mathbf {R} \cdot 1\oplus \mathbf {R} \cdot i=\mathbf {R} ^{2}}
は i の 取 り 方 に 依 存 す る ‥ − i を 選 ぶ こ と も で き 、 異 な る 同 一 視 を 生 む ― ― 形 式 的 に は 、 複 素 共 役 が 自 己 同 型 で あ る ― ― が 、 実 際 に は そ の よ う な 同 一 視 を し た と し ば し ば 仮 定 す る 。
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