「座標法」の版間の差分
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{{出典の明記|date=2017年12月}} |
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'''座標法'''(ざひょうほう)とは、[[測量]]における用語の一つであり、[[土地]]の[[面積]]の計算方法の一つ。 |
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{{Expand English|Shoelace formula|date=2024年5月}} |
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'''座標法'''(ざひょうほう)とは、平面において[[多角形]]の頂点座標によってその[[面積]]を求める数学的[[アルゴリズム]]。[[測量]]における用語の一つ。 |
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靴紐公式、靴紐の方法、靴紐のアルゴリズム、ガウスの面積公式とも呼ばれる。 |
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== 概要 == |
== 概要 == |
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n個の頂点 (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>),(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>),...,(x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>) から成る自己交差を持たない多角形の面積は |
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<math>n</math> [[多角形]]からなる土地の各[[頂点]]の[[座標]]を順次 <math>(x_1,y_1),\ (x_2,y_2),\ \dots,\ (x_n,y_n)</math> とするとき、面積 <math>S</math> を |
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:<math> |
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:<math>S=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k-1}-y_{k+1})\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|</math> |
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\begin{align} |
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として求めるものである。ただし、<math>{{x_0} \choose {y_0}}={{x_n} \choose {y_n}}, {{x_{n+1}} \choose {y_{n+1}}}={{x_1} \choose {y_1}}</math> とする。 |
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S&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|\\ |
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&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k+1})(y_{k}+y_{k+1})\right|\\ |
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&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k+1}-y_{k-1})\right|\\ |
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&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right| |
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\end{align} |
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</math> |
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ただし x<sub>0</sub>=x<sub>n</sub>,y<sub>0</sub>=y<sub>n</sub>,x<sub>n+1</sub>=x<sub>1</sub>,y<sub>n+1</sub>=y<sub>1</sub>とする。 |
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頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。
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この式は[[グリーンの定理]]の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は |
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:<math>S=\frac{1}{2}\left|\int_{a}^{b}\left(x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\right)\,dt\right|</math> |
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==例== |
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*三角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3\right|</math> |
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*四角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_1-x_1y_4\right|</math> |
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*五角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_5-x_5y_4+x_5y_1-x_1y_5\right|</math> |
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== 関連項目 == |
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{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|ウィキプロジェクト 数学]]}} |
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* [[三辺法]] |
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* [[三斜法]] |
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* [[平面直角座標系]] |
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* [[グリーンの定理]] |
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* [[プラニメータ]] |
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[[Category:面積]] |
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2024年5月22日 (水) 11:21時点における最新版
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概要[編集]
n個の頂点 (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) から成る自己交差を持たない多角形の面積は ただしx0=xn,y0=yn,xn+1=x1,yn+1=y1とする。 頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。 この式はグリーンの定理の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は例[編集]
- 三角形の面積
- 四角形の面積
- 五角形の面積