算術

子供の算術書(Lausanne, 1835)

算術 (にんじゅつ、英: arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。

概要

﹁算術﹂という日本語としては、文明開化前後の﹁数学﹂(mathematics) いわゆる西洋数学の本格的な輸入以前は、今日において和算と呼ばれているような、当時の、いわゆる﹁日本の数学﹂全般を指していた。なおこの意味では、英語 arithmetic とは必ずしも対応しない場合もある。

また、算術および "Arithmetic" の語は、数論を指し示す場合もある。

四則演算

加算 (addition)、減算 (subtraction)、乗算 (multiplication)、除算 (division) の4つの演算を、四則︵しそく︶あるいは四則演算と称する。

それぞれの演算について、日本において筆記などでよく使われている記号は、

加算は +

減算は −

乗算は ×

除算は ÷

である。コンピュータなどでASCIIに制限されている場合は、乗算に * を、除算に / を代用することが多い。

このうち、加算と乗算は 0 を含む非負の整数の範囲、つまり自然数の範囲で自由に行うことができるが、減算と除算には制約がある。自然数の間の減算は、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことができない。また自然数の除算は、適切な剰余を定義しない限り、割る数が割られる数の約数でない場合を扱うことができない。減算の場合は扱う数を負の数を含んだ整数全体に捉え直すことで制限を解消することができる。たとえば 1 − 2 は自然数を与えないが、整数全体で演算を扱うなら、

1 − 2 = −1

と負の数を与えることができる。 除算については扱う数を有理数の範囲にすることで互いに素な整数の間でも演算を定義できる。たとえば −4 ÷3 は整数を与えないが、

−4 ÷ 3 = −4/3

のように有理数を与える︵−4/3 のように表記された数は分数と呼ばれる︶。従って、正負の有理数と 0 の数を扱うことで、自由な四則演算が可能になる。ただし、通常は除数を 0 とする除算は定義されない︵ゼロ除算を参照︶。

四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。

除算は乗算の逆の演算になっている; a× b= cならば、a = c/b = c÷ b, b= c/a = c÷ aが成り立つ。a × b= 1 となるような乗法の逆元 bを aの逆数といい、1/a と表す。つまり、以下のように表せる。

a × 1/a = 1/a × a= 1.

従って除算は除数の逆数に関する乗算に置き換えられる。

a ÷ b= a× 1/b.

減算は加算の逆の演算になっている; a+ b= cならば a= c− b, b= c− aであるから、乗算 × が加算 + に、除算 ÷ が減算 − に置き代わっただけで、乗算と除算の場合と全く同じことが起こっている。つまり、減算は加算の逆の演算である。ここから自然に、a + b= 0 となるような加法の逆元 bを考えることに導かれる。a の逆元 bは −a と表される︵これは aの反数と呼ばれる︶。つまり次のような関係が常に成り立つ。

a + (−a) = (−a) + a= 0.

数 aが正ならば −a は負の数であり、a が負ならば −a は正の数となる。また、a が 0 なら −a もまた 0 となる。 従って正の数の減算は負の数の加算に、負の数の減算は正の数の加算に置き換えられる。

a − b= a+ (−b).

加法の逆元を与える演算子としての − と、2数の間の減算を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。

算術演算

コンピュータの用語として、論理和や論理積など、ブール値やビットを扱う﹁論理演算﹂に対して、整数の加減乗除を扱う演算を﹁算術演算﹂と呼ぶ。

また、右シフト操作において、その操作で空くビットに、最上位ビットを複製して埋めるシフトを算術シフト、0 で埋めるシフトを論理シフトと言う。これは歴史的にそのように呼ばれているが、符号付き (signed) のシフトと、符号無し (unsigned) のシフト、と呼ぶのが理にかなっている︵符号付数値表現#2の補数︶。

関連項目

• 算術の基本定理
• 合同式
• 素数
• 数論
• 可換体
• 算法
• 算術平均
• 算術級数
• ビット演算
• 和算
• 演算子の優先順位
• 逆元
• 反数
• 逆数
• 単位元
• 加法単位元