逆数

関数 y = 1/x のグラフ。0 を除くすべての x について y はその逆数を表している。

逆数︵ぎゃくすう、英: reciprocal︶とは、ある数に掛け算した結果が 1となる数である。すなわち、数 xの逆数 yとは次のような関係を満たす。

$x\times y=y\times x=1.$$x\times y=y\times x=1.$
通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x⁻¹ のように表される。

1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元︵じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse︶の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。

上述の式から明らかなように、x と yの役割を入れ替えれば、x は yの逆数であると言える。従って、x の逆数が yであるとき yの逆数は xである。

x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、︵0 ≠ 1 であれば︶0 に対する逆数は存在しない。

また、任意の xについて必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x= y= 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 xについて逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。

逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。

1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの︵代数的構造︶はループと呼ばれる。

例

以下に具体例をいくつか挙げる。ここで eはネイピア数、i は虚数単位、r は複素数の絶対値、θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 zの共役複素数、|a| は数 aの絶対値を表す。

●9 の逆数は 1/9。同様に 1/9 の逆数は 9。

●2/3 の逆数は 3/2。同様に 3/2 の逆数は 2/3。

●0.3 の逆数は 1/0.3 = 10/3。同様に 10/3 の逆数は 3/10 = 0.3。

●−5 の逆数は 1/−5 = −1/5 = −0.2。

●−|a| の逆数は 1/−|a| = −1/|a|。

●i の逆数は 1/i = i⁻¹ = −i。

●3 + 4i の逆数は 1/3 + 4i = 3 − 4i/25。

●x + yi の逆数は 1/ x + yi = x − yi/x² + y ²。

●re^iθ の逆数は (re^iθ)⁻¹ = 1/re^−iθ。

●複素数 zの逆数は 1/z = 1/|z|²z。

合同式での逆数

詳細は「モジュラ逆数」を参照

合同式において逆数を考えることができる。a × bを mで割ると 1余るとき、b を aの mを法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。 

$a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.$$a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.$
例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7において 2は 4の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1 や −1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ±1) の逆数はそれ自身になる。

定義上、a は mと互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、7 × b≡ 1 (mod 42) や 12 × b≡ 1 (mod 4) を満たす bは存在しない。

素数 pを法とする場合、0 以外の全ての元が逆数を持つ。法 17を例とすると次のようになる。

元	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
逆数	なし	1	9	6	13	7	3	5	15	2	12	14	10	4	11	8	16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。a に逆数 bが存在するならば

${\displaystyle a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi ($m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}} $a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}$
なので、

${\displaystyle b\equiv a^{\varphi ($m)-1}{\pmod {m}}} $b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}$
︵ここで φ はオイラーのφ関数︶であり、逆に aと mが互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる︵フェルマーの小定理から直接導かれる︶。

$b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.$$b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.$
また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式︵ディオファントス方程式の一種︶が bと nについて整数解を持つことと同値である。

$a\times b+m\times n=1.$$a\times b+m\times n=1.$
この式の解は、a と mが互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。

日本における学校教育

日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、x︵実際には具体的な数を用いる︶で割ることと 1/x を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

関連項目

• 反比例
• 単位分数
• エジプト式分数
• 反数
• 逆元
• 単位元
• 吸収元
• 逆行列
• 群 (数学)
• 準群#ループ