等差数列

数学における等差数列︵とうさすうれつ︶または算術数列︵さんじゅつすうれつ、︵英: arithmetic progression, arithmetic sequence︶とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差︵こうさ、︵英: common difference︶という。

例えば、5, 7, 9, … は初項 5, 公差 2の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … は公差 6の等差数列である。

等差数列の初項を a₀ とし、その公差を dとすれば、第n 項 a_nは

$a_{n}=a_{0}+nd$$a_{n}=a_{0}+nd$
であり、一般に

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d$$a_{n}=a_{m}+(n-m)d$
と書ける。

等差数列の和は算術級数 (arithmetic series) という。等差数列の無限和︵無限算術級数︶は発散級数である。

総和

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

和 2 + 5 + 8 + 11 + 14 の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す︵その値はもとの数列の初項と末項の和︶。ゆえに、2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80 が求める和の2倍に等しい。

「無限算術級数」も参照

有限の等差数列の和を算術級数と言う。公差 dの等差数列の第 n項まで a₀, a₁, …, a_nの総和は、

${\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}$
と表される。この種の式は、フィボナッチの﹃算盤の書﹄︵"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12︶に登場する。

GIF動画: 自然数の和 1 + 2 + … + nを求める公式の導出

算術級数の公式は、算術級数 S_nの各項を初項 a₀ で書き換えたものと、末尾の項 a_nで書き換えたもの和から 2S_nを求めることで得られる‥

${\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}$${\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}$
右辺では公差 dを含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 2S_n= (n + 1)(a₀ + a_n) となる。両辺を 2で割れば

$S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$$S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$
を得る。そして算術級数の平均値 S_n/n + 1 は、明らかに a₀ + a_n/2 である。499年に、インド数学・天文学古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya (section 2.18) でこのような方法を与えている。

総乗

初項 a₀ で、公差 dの等差数列に対して、初項から 第 n項までの総乗

${\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}$︵$x^{\overline {n}}$$x^{\overline {n}}$ は上昇階乗冪︶はガンマ関数 Γ を用いて

$P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}$$P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}$
という閉じた式によって計算できる︵ただし、a₀/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない︶。Γ(n + 1) = n!に注意すれば、上記の式は、1 から nまでの積 1 × 2 × ⋯ × n= n!および正の整数 mから nまでの積 m× (m + 1) × ⋯ × (n − 1) × n= n!/(m − 1)! を一般化するものであることが分かる。

共通項

任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を︵項の前後関係は変えずに︶並べて与えられる数列︵数列の﹁交わり﹂︶は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである︵中国の剰余定理から示せる︶。両側無限等差数列からなる族に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はヘリー族である。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

注釈・出典

注釈

出典

参考文献

• Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259-260. ISBN 0-387-95419-8 

関連項目

• 線型差分方程式
• 等差×等比数列
• 一般化算術数列：算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
• 調和数列
• 三辺が算術整数列を成すヘロン三角形
• 算術数列を含む問題
• Utonality
• 等比数列
• 算術級数定理

外部リンク

• 『等差数列の和』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". mathworld.wolfram.com (英語).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Arithmetic progression”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetic_progression 
• arithmetic progression - PlanetMath.（英語）
• Definition:Arithmetic Progression at ProofWiki
• Sum of Arithmetic Progression at ProofWiki