出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
y = Γ(x ) のグラフ
Γ(x + iy ) の絶対値 (グラフ中「Re」は x に相当、「Im」は y に相当)
ガ ン マ 関 数 ︵ ガ ン マ か ん す う 、 英 : g a m m a f u n c t i o n ︶ と は 、 数 学 に お い て 階 乗 の 概 念 を 複 素 数 全 体 に 拡 張 し た 特 殊 関 数 。 複 素 階 乗 と も 。 一 般 に
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z )}
と 表 記 さ れ る 。
自 然 数
n
{\displaystyle n}
に 対 し て は 、 ガ ン マ 関 数 と
n
{\displaystyle n}
の 階 乗 と の 間 で は 次 の 関 係 式 が 成 り 立 つ ‥
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
,
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
.
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1),\ \Gamma (n )=(n-1)!.}
1 7 2 9 年 に 数 学 者 レ オ ン ハ ル ト ・ オ イ ラ ー に よ っ て 無 限 乗 積 の 形 で 、 最 初 に 導 入 さ れ た [ 1 ] 。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
と い う 記 号 は 、 1 8 1 4 年 に ル ジ ャ ン ド ル が 導 入 し た [ 1 ] 。 ま た 、 そ れ 以 前 に ガ ウ ス が 得 て お り
Π
{\displaystyle \Pi }
な ど と 表 記 し て い た ︵ た だ し 、
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Pi (z )=\Gamma (z+1)}
で あ っ た ︶ 。
実 部 が 正 と な る 複 素 数
z
{\displaystyle z}
に 対 し て 、 次 の 広 域 積 分 で 定 義 さ れ る 複 素 関 数 ‥
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
(
ℜ
z
>
0
,
)
{\displaystyle \Gamma (z )=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\qquad (\Re {z}>0,)}
を ガ ン マ 関 数 と 呼 ぶ [ 2 ] 。 こ の 積 分 表 示 は 第 二 種 オ イ ラ ー 積 分 と も 呼 ば れ る 。
一 般 の 複 素 数
z
{\displaystyle z}
に 対 し て は 解 析 接 続 も し く は 次 の 極 限 で 定 義 さ れ る 。
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
.
{\displaystyle \Gamma (z )=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}.}
他 に も 互 い に 同 値 と な る い く つ か の 定 義 が 存 在 す る 。
基 本 的 性 質 [ 編 集 ]
0
{\displaystyle 0}
ま た は 負 の 整 数 で な い 、 か つ 実 部 が 正 の 任 意 の 複 素 数
z
{\displaystyle z}
に 対 し て 、
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
t
z
d
t
=
[
−
e
−
t
t
z
]
0
∞
+
z
∫
0
∞
e
−
t
t
z
−
1
d
t
=
z
Γ
(
z
)
(
∵
[
−
e
−
t
t
z
]
0
∞
=
0
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t\\&={\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,{\rm {d}}t\\&=z\Gamma (z )\qquad \left(\because {\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=0\right)\!,\end{aligned}}}
と な る こ と か ら 、
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z )}
が 成 り 立 つ 。 ま た さ ら に 、
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
[
−
e
−
t
]
0
∞
=
lim
t
→
∞
(
−
e
−
t
+
1
)
=
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1 )&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,{\rm {d}}t={\Bigl [}-e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\lim _{t\to \infty }\!\left(-e^{-t}+1\right)\\&=1,\end{aligned}}}
で あ る 。 こ れ ら の 性 質 か ら 、 任 意 の 正 の 整 数
n
{\displaystyle n}
に 対 し て 、
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
n
(
n
−
1
)
Γ
(
n
−
1
)
=
⋯
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
,
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n )=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1 )=n!,}
よ り
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
が 成 り 立 つ 。 そ の 意 味 で ガ ン マ 関 数 は 階 乗 の 定 義 域 を 複 素 平 面 に 拡 張 し た も の と な っ て い る 。
歴 史 的 に は 、 ガ ン マ 関 数 は ﹁ 階 乗 の 複 素 数 へ の 拡 張 と な る も の ﹂ ︵ 複 素 階 乗 ︶ の 実 例 と し て 、 オ イ ラ ー に よ り 考 案 さ れ た 。 階 乗 の 複 素 数 へ の 拡 張 と な る 関 数 は 無 数 に 存 在 す る が ﹁ 正 の 実 軸 上 で 対 数 凸 で あ る 解 析 関 数 ﹂ と い う 条 件 を 付 け れ ば 、 そ れ は 一 意 に 定 ま り ガ ン マ 関 数 に 他 な ら な い ︵ ボ ー ア ・ モ レ ル ッ プ の 定 理 ︶ 。
右 半 平 面 に お い て オ イ ラ ー 積 分 で 定 義 さ れ た ガ ン マ 関 数 は 全 平 面 に 有 理 型 に 解 析 接 続 す る 。
ガ ン マ 関 数 は 零 点 を 持 た ず 、 原 点 と 負 の 整 数 に 一 位 の 極 を 持 つ 。 そ の 留 数 は 、
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,\,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
で あ る 。
ま た 、
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
に 対 す る ガ ン マ 関 数 の 値 は 、 ガ ウ ス 積 分 の 結 果 に 一 致 す る 。
Γ
(
1
2
)
=
π
.
{\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
こ れ よ り 、 自 然 数
n
{\displaystyle n}
に 対 し て 、
Γ
(
1
2
+
n
)
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
,
{\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }},}
が 成 立 す る こ と が わ か る 。 こ こ で
!
!
{\displaystyle !!}
は 二 重 階 乗 を 表 す 。 こ の 性 質 を 利 用 し て 高 次 元 の 球 の 体 積 と 表 面 積 を 求 め る こ と が で き る 。 ま た 、
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
2
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
π
.
{\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}.}
定 義 の 整 合 性 [ 編 集 ]
定 義 の 積 分 表 示 と 極 限 表 示 が 一 致 す る こ と を 示 す 。
G
n
(
z
)
=
∫
0
n
t
z
−
1
(
1
−
t
n
)
n
d
t
{\displaystyle G_{n}(z )=\int _{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}}{\rm {d}}t}
と す れ ば
lim
n
→
∞
(
1
−
t
n
)
n
=
e
−
t
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left(1-{\dfrac {t}{n}}\right)^{n}}=e^{-t}}
で あ る か ら 直 感 的 に は
lim
n
→
∞
G
n
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{G_{n}(z )}=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t}
で あ る 。 ︵ 厳 密 に は は さ み う ち の 原 理 に よ っ て 証 明 さ れ る ︶ t = nu の 置 換 に よ り
G
n
(
z
)
=
n
z
∫
0
1
u
z
−
1
(
1
−
u
)
n
d
u
{\displaystyle G_{n}(z )=n^{z}\int _{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}{\rm {d}}u}
と な る . n z を 除 く 部 分 を g n ( z ) と し て
g
0
(
z
)
=
∫
0
1
u
z
−
1
d
u
=
[
u
z
z
]
u
=
0
1
=
1
z
{\displaystyle g_{0}(z )=\int _{0}^{1}{u^{z-1}}{\rm {d}}u=\left[{\frac {u^{z}}{z}}\right]_{u=0}^{1}={\frac {1}{z}}}
g
n
(
z
)
=
∫
0
1
(
u
z
z
)
′
(
1
−
u
)
n
d
u
=
n
z
∫
u
=
0
1
u
z
(
1
−
u
)
n
−
1
d
u
=
n
z
g
n
−
1
(
z
+
1
)
{\displaystyle g_{n}(z )=\int _{0}^{1}{\left({\frac {u^{z}}{z}}\right)'(1-u)^{n}}{\rm {d}}u={\frac {n}{z}}\int _{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}{\rm {d}}u={\frac {n}{z}}g_{n-1}(z+1)}
こ れ に よ り
G
n
(
z
)
=
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
{\displaystyle G_{n}(z )={\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}}
を 得 る 。 故 に
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
=
lim
n
→
∞
G
n
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\ d}t=\lim _{n\to \infty }G_{n}(z )=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}}
で あ る 。
ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 乗 積 表 示 [ 編 集 ]
オ イ ラ ー の 乗 積 表 示 か ら オ イ ラ ー の 定 数
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
log
n
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
を 括 り 出 す と ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 乗 積 表 示 が 得 ら れ る 。 ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス は ガ ン マ 関 数 が 負 の 整 数 に 極 を 持 つ こ と を 嫌 っ て 逆 数 を 用 い た [ 要 出 典 ] 。 ガ ン マ 関 数 の 逆 数 は 複 素 平 面 全 体 で 正 則 で あ る 。
1
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
n
z
n
!
=
lim
n
→
∞
z
n
−
z
(
∏
k
=
1
n
e
z
/
k
)
(
∏
m
=
1
n
z
+
m
m
e
−
z
/
m
)
=
z
e
γ
z
∏
m
=
1
∞
(
1
+
z
m
)
e
−
z
/
m
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z )}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^{z}n!}}=\lim _{n\to \infty }zn^{-z}\left(\prod _{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod _{m=1}^{n}{\frac {z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m}}
ハ ン ケ ル の 積 分 表 示 [ 編 集 ]
ガ ン マ 関 数 は 次 の 周 回 積 分 で 表 さ れ る [ 5 ] 。 積 分 経 路 は 正 の 無 限 大 か ら 実 軸 の 上 側 に 沿 っ て 原 点 に 至 り 、 原 点 を 正 の 向 き に 回 り 、 実 軸 の 下 側 に 沿 っ て 無 限 大 に 戻 る も の と す る 。 但 し 、 そ の 偏 角 は
−
π
≤
arg
(
−
t
)
≤
π
,
0
≤
arg
(
s
)
≤
2
π
{\displaystyle -\pi \leq \arg(-t)\leq \pi ,0\leq \arg(s )\leq 2\pi }
と す る 。
Γ
(
z
)
=
i
2
sin
π
z
∫
C
(
−
t
)
z
−
1
e
−
t
d
t
(
z
∈
C
∖
Z
)
Γ
(
z
)
=
1
e
2
π
i
z
−
1
∫
C
s
z
−
1
e
−
s
d
s
(
z
∈
C
∖
Z
)
1
Γ
(
z
)
=
i
2
π
∫
C
(
−
t
)
−
z
e
−
t
d
t
(
z
∈
C
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (z )={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&\Gamma (z )={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-s}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&{\frac {1}{\Gamma (z )}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}}
こ れ を ハ ン ケ ル の 積 分 表 示 と 呼 ぶ 。 こ の ハ ン ケ ル の 積 分 表 示 は 、 積 分 経 路 を 適 当 に 変 形 し 、 数 値 積 分 で ガ ン マ 関 数 の 値 を 求 め る た め に 使 わ れ る こ と が あ る [ 6 ] 。
ハ ン ケ ル の 積 分 表 示 の 導 出 [ 編 集 ]
極 座 標 表 示
(
−
t
)
=
r
e
i
θ
{\displaystyle (-t)=re^{i\theta }}
を 用 い る と 、 実 軸 の 上 側 に 沿 う 部 分 は
θ
=
−
π
{\displaystyle \theta =-\pi }
で
r
=
∞
{\displaystyle r=\infty }
か ら
r
=
δ
{\displaystyle r=\delta }
ま で 、 原 点 を 回 る 部 分 は
r
=
δ
{\displaystyle r=\delta }
で
θ
=
−
π
{\displaystyle \theta =-\pi }
か ら
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
ま で 、 実 軸 の 下 側 に 沿 う 部 分 は
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
で
r
=
δ
{\displaystyle r=\delta }
か ら
r
=
∞
{\displaystyle r=\infty }
ま で と な る 。
∫
C
(
−
t
)
z
−
1
e
−
t
d
t
=
∫
∞
δ
(
r
e
−
π
i
)
z
−
1
e
−
r
d
r
+
∫
−
π
π
(
δ
e
i
θ
)
z
−
1
e
δ
e
i
θ
(
−
i
δ
e
i
θ
)
d
θ
+
∫
δ
∞
(
r
e
π
i
)
z
−
1
e
−
r
d
r
=
∫
∞
δ
r
z
−
1
e
−
π
i
(
z
−
1
)
e
−
r
d
r
−
∫
−
π
π
i
δ
z
e
i
θ
z
e
δ
e
i
θ
d
θ
+
∫
δ
∞
r
z
−
1
e
π
i
(
z
−
1
)
e
−
r
d
r
=
(
−
e
−
π
i
(
z
−
1
)
+
e
π
i
(
z
−
1
)
)
∫
δ
∞
r
z
−
1
e
−
r
d
r
−
∫
−
π
π
i
δ
z
e
i
θ
z
e
δ
e
i
θ
d
θ
=
−
2
i
sin
π
z
∫
δ
∞
r
z
−
1
e
−
r
d
r
−
∫
−
π
π
i
δ
z
e
i
θ
z
e
δ
e
i
θ
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=\int _{\infty }^{\delta }(re^{-{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r+\int _{-\pi }^{\pi }({\delta }e^{i\theta })^{z-1}e^{{\delta }e^{i\theta }}(-i{\delta }e^{i\theta }){\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }(re^{{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\int _{\infty }^{\delta }r^{z-1}e^{-{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\left(-e^{-{\pi }i(z-1)}+e^{{\pi }i(z-1)}\right)\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\&=-2i\sin {\pi }z\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\\end{aligned}}}
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re {z}>0}
と す る と
δ
→
0
{\displaystyle \delta \to 0}
で
δ
z
→
0
{\displaystyle \delta ^{z}\to 0}
で あ る か ら
∫
C
(
−
t
)
z
−
1
e
−
t
d
t
=
−
2
i
sin
π
z
∫
0
∞
r
z
−
1
e
−
r
d
r
=
−
2
i
sin
π
z
Γ
(
z
)
(
ℜ
z
>
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=-2i\sin {\pi }z\int _{0}^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=-2i\sin {\pi }z\Gamma (z )\qquad (\Re {z}>0)\\\end{aligned}}}
で あ る 。 し か し 、 左 辺 の 被 積 分 関 数 は
z
{\displaystyle z}
が 有 界 で あ る か ぎ り 正 則 で あ る か ら 、 左 辺 は 複 素 平 面 全 体 に 解 析 接 続 す る 。 従 っ て 、
Γ
(
z
)
=
i
2
sin
π
z
∫
C
(
−
t
)
z
−
1
e
−
t
d
t
(
z
∈
C
∖
Z
)
{\displaystyle \Gamma (z )={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )}
で あ る 。
s
=
r
e
i
θ
{\displaystyle s=re^{i\theta }}
と す れ ば 、 同 様 に し て
Γ
(
z
)
=
1
e
2
π
i
z
−
1
∫
C
s
z
−
1
e
−
t
d
s
(
z
∈
C
∖
Z
)
{\displaystyle \Gamma (z )={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )}
を 得 る 。 ま た 、 相 反 公 式 に よ り 、
1
Γ
(
z
)
=
sin
π
z
π
Γ
(
1
−
z
)
=
i
2
π
∫
C
(
−
t
)
−
z
e
−
t
d
t
(
z
∈
C
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z )}}={\frac {\sin {\pi }z}{\pi }}\Gamma (1-z)={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )}
を 得 る 。
スターリングの公式 [ 編集 ]
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
で の 漸 近 展 開 と し て 、 ガ ン マ 関 数 は ス タ ー リ ン グ の 公 式 で 近 似 さ れ る 。 こ の 漸 近 近 似 は 複 素 平 面 全 体 ( 負 の 実 数 を 除 く ) で 成 立 す る が 、
|
arg
z
|
=
π
{\displaystyle |{\arg z}|={\pi }}
に 近 づ く に つ れ 近 似 の 誤 差 が 大 き く な る ( 極 限 の 収 束 が 遅 く な る ) た め 、 応 用 上 は 相 反 公 式 な ど を 用 い て
|
arg
z
|
≤
π
/
2
{\displaystyle |{\arg z}|\leq {\pi }/2}
程 度 に 制 限 す る こ と も あ る 。
Γ
(
z
+
1
)
≈
2
π
z
(
z
e
)
z
(
|
arg
z
|
<
π
,
|
z
|
≫
0
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)\approx {\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (|{\arg z}|<{\pi },|z|\gg 0)}
lim
z
→
∞
Γ
(
z
+
1
)
2
π
z
(
z
e
)
z
=
1
(
|
arg
z
|
<
π
)
{\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|{\arg z}|<{\pi })}
相 反 公 式 [ 編 集 ]
次 の 恒 等 式 を 相 反 公 式 ( r e f l e c t i o n f o r m u l a ) と い う [ 7 ] 。
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
−
z
Γ
(
z
)
Γ
(
−
z
)
=
π
sin
π
z
,
z
∉
Z
{\displaystyle \Gamma (z )\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z )\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }
相 補 公 式 と も 呼 ば れ る 。
こ の 恒 等 式 は オ イ ラ ー の 乗 積 表 示 か ら 得 ら れ る 。
−
z
Γ
(
z
)
Γ
(
−
z
)
=
−
z
(
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
)
(
lim
n
→
∞
n
−
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
−
z
+
k
)
)
=
1
z
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
z
2
=
π
π
z
∏
k
=
1
∞
k
2
−
z
2
k
2
{\displaystyle {\begin{aligned}-z\Gamma (z )\Gamma (-z)&=-z\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(-z+k)}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-z^{2}}}\\&={\frac {\pi }{{\pi }z\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\displaystyle {\frac {k^{2}-z^{2}}{k^{2}}}}}\\\end{aligned}}}
こ の 分 母 は 正 弦 関 数 の 無 限 乗 積 展 開 で あ る か ら 、
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
−
z
Γ
(
z
)
Γ
(
−
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z )\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z )\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}}}
で あ る 。 相 反 公 式 に
z
=
1
2
{\displaystyle z={\frac {1}{2}}}
を 代 入 す れ ば
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
−
1
2
)
=
π
sin
π
2
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{\sin {\frac {\pi }{2}}}}=\pi }
と な り
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
を 得 る 。
ル ジ ャ ン ド ル の 倍 数 公 式 [ 編 集 ]
次 の 恒 等 式 を ル ジ ャ ン ド ル の 倍 数 公 式 と 呼 ぶ 。 こ れ は ガ ウ ス の 乗 法 公 式 の 特 別 な 場 合 で あ る 。
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z )\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}
ベ ー タ 関 数 は 以 下 の よ う に 表 さ れ る 。
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
=
∫
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}
こ こ で
z
1
=
z
2
=
z
{\displaystyle z_{1}=z_{2}=z}
と お く と 、
Γ
2
(
z
)
Γ
(
2
z
)
=
∫
0
1
t
z
−
1
(
1
−
t
)
z
−
1
d
t
{\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z )}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt}
t
=
1
+
x
2
{\displaystyle t={\frac {1+x}{2}}}
と お く と
Γ
2
(
z
)
Γ
(
2
z
)
=
1
2
2
z
−
1
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
z
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z )}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx}
(
1
−
x
2
)
z
−
1
{\displaystyle (1-x^{2})^{z-1}}
は 偶 関 数 な の で
2
2
z
−
1
Γ
2
(
z
)
=
2
Γ
(
2
z
)
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
z
−
1
d
x
{\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z )=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx}
こ こ で
B
(
1
2
,
z
)
=
∫
0
1
t
1
2
−
1
(
1
−
t
)
z
−
1
d
t
,
t
=
s
2
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}}
と す る と
B
(
1
2
,
z
)
=
2
∫
0
1
(
1
−
s
2
)
z
−
1
d
s
=
2
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
z
−
1
d
x
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx}
よ っ て
2
2
z
−
1
Γ
2
(
z
)
=
Γ
(
2
z
)
B
(
1
2
,
z
)
{\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z )=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)}
よ っ て
B
(
1
2
,
z
)
=
Γ
(
1
2
)
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
,
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z )}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
よ っ て 以 下 の 式 が 成 り 立 つ 。
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z )\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
乗 法 公 式 [ 編 集 ]
次 の 恒 等 式 を ガ ウ ス の 乗 法 公 式 ( m u l t i p l i c a t i o n f o r m u l a ) と い う 。
Γ
(
n
z
)
=
n
n
z
−
1
/
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
∏
k
=
0
n
−
1
Γ
(
z
+
k
n
)
{\displaystyle \Gamma (nz )={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}
両 辺 の 比 を
f
(
z
)
{\displaystyle f(z )}
と す る と
f
(
z
)
=
n
n
z
−
1
/
2
∏
k
=
0
n
−
1
Γ
(
z
+
k
n
)
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
Γ
(
n
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z )=&{\frac {n^{nz-1/2}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\Gamma (nz )}}\\\end{aligned}}}
f
(
z
+
1
)
=
n
n
z
−
1
/
2
n
n
[
∏
k
=
0
n
−
1
(
z
+
k
n
)
Γ
(
z
+
k
n
)
]
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
(
n
z
+
k
)
]
Γ
(
n
z
)
=
n
n
z
−
1
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
(
n
z
+
k
)
]
∏
k
=
0
n
−
1
Γ
(
z
+
k
n
)
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
(
n
z
+
k
)
]
Γ
(
n
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z+1)&={\frac {n^{nz-1/2}n^{n}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(z+{\frac {k}{n}}\right)\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz )}}\\&={\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod _{k=0}^{n-1}\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz )}}\\&=f(z )\\\end{aligned}}}
故 に 、 任 意 に 大 き な 自 然 数
m
{\displaystyle m}
に つ い て
f
(
z
+
m
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle f(z+m)=f(z )}
が 成 立 す る 。 ス タ ー リ ン グ の 公 式 に よ り
lim
ℜ
z
→
+
∞
f
(
z
)
=
lim
ℜ
z
→
+
∞
n
n
z
−
1
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
2
π
z
+
k
/
n
(
z
+
k
/
n
e
)
z
+
k
/
n
]
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
2
π
n
z
(
n
z
e
)
n
z
=
lim
ℜ
z
→
+
∞
z
1
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
z
k
/
n
−
1
/
2
(
1
+
k
/
n
z
)
z
+
k
/
n
−
1
/
2
e
−
k
/
n
]
=
lim
ℜ
z
→
+
∞
z
1
/
2
[
∏
k
=
0
n
−
1
z
k
/
n
−
1
/
2
e
k
/
n
e
−
k
/
n
]
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\Re {z}\to +\infty }f(z )&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }{\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}{{\sqrt {\frac {2{\pi }}{z+k/n}}}\left({\frac {z+k/n}{e}}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}{\sqrt {\frac {2{\pi }}{nz}}}\left({\frac {nz}{e}}\right)^{nz}}}\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\&=1\end{aligned}}}
途 中 で
lim
ℜ
z
→
+
∞
(
1
+
k
/
n
z
)
z
+
k
/
n
−
1
/
2
=
lim
ℜ
z
→
+
∞
(
1
+
k
/
n
z
)
z
=
e
n
/
k
{\displaystyle \lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}}
を 適 用 し た 。
f
(
z
)
=
lim
n
→
∞
f
(
z
+
n
)
=
1
{\displaystyle f(z )=\lim _{n\to \infty }f(z+n)=1}
で あ り 、 故 に
Γ
(
n
z
)
=
n
n
z
−
1
/
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
∏
k
=
0
n
−
1
Γ
(
z
+
k
n
)
{\displaystyle \Gamma (nz )={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}
が 成 立 す る 。
微 分 方 程 式 [ 編 集 ]
(
x
,
y
,
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle (x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})}
を 変 数 と す る 多 項 式
F
(
x
,
y
,
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle F(x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})}
に 対 し 、
F
(
x
,
y
,
y
1
,
⋯
,
y
n
)
=
0
,
y
i
=
d
i
y
d
x
i
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle F(x,y,y_{1},\cdots ,y_{n})=0,\quad y_{i}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}\quad (i=1,\cdots ,n)}
の 形 で 表 さ れ る 微 分 方 程 式 を 代 数 的 微 分 方 程 式 と い う 。 ガ ン マ 関 数 は い か な る 代 数 的 微 分 方 程 式 も 満 た さ な い こ と が 知 ら れ て い る [ 7 ] 。 ヘ ル ダ ー が 1 8 8 7 年 に 最 初 に 証 明 を 与 え た 後
[ 9 ] 、 E . H . ム ー ア [ 1 0 ] 、 A . オ ス ト ロ フ ス キ ︵ 英 語 版 ︶ [ 1 1 ] [ 1 2 ] 、 E . バ ー ン ズ ︵ 英 語 版 ︶ [ 1 3 ] 、 ハ ウ ス ド ル フ [ 1 4 ] に よ り 、 別 証 明 や 一 般 化 が な さ れ た 。
いくつかの具体的な値 [ 編集 ]
Γ
(
−
3
2
)
=
4
π
3
≈
2.363
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2.363\,}
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.545
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,=-2{\sqrt {\pi }}\approx -3.545\,}
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
1.772
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,={\sqrt {\pi }}\approx 1.772\,}
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)\,=0!=1\,}
Γ
(
3
2
)
=
π
2
≈
0.886
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0.886\,}
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
{\displaystyle \Gamma (2)\,=1!=1\,}
Γ
(
5
2
)
=
3
π
4
≈
1.329
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1.329\,}
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
{\displaystyle \Gamma (3)\,=2!=2\,}
Γ
(
7
2
)
=
15
π
8
≈
3.323
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3.323\,}
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle \Gamma (4)\,=3!=6\,}
ポリガンマ関数 [ 編集 ]
ガンマ関数の対数微分
ψ
(
z
)
=
d
d
z
log
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)}
をディガンマ関数 (Digamma function)と呼ぶ。同様の対数微分を繰り返した関数
ψ
(
n
)
(
z
)
=
d
n
+
1
d
z
n
+
1
log
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\log \Gamma (z)}
を、ポリガンマ関数 (Polygamma function)と呼ぶ。
^ a b E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927), Chapter XII, §12.1
^ Wolfram mathworld: Gamma Function
^ Springer Online Reference Works: Gamma-function
^ Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
^ a b 小松 (2004)、第2章
^ Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Ann. , 28 , (1887) pp. 1–13. doi :10.1007/BF02430507
^ Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions," Math. Ann. , 48 (1897), pp. 49–74. doi :10.1007/BF01446334
^ A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt." Math. Ann. 79 (1919), pp. 286–288. doi :10.1007/BF01458212
^ A. Ostrowski, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). Math. Ann. 94 (1925), pp. 248–251. doi :10.1007/BF01208657
^ E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," Messenger of Math. 29 (1900), pp. 64–128.
^ F. Hausdorff, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x)," Math. Ann. 94 (1925), pp. 244–247. doi :10.1007/BF01208656