分位数

分位数︵ぶんいすう︶、分位点︵ぶんいてん︶、分位値︵ぶんいち︶、クォンタイル (英: quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 $q\in [0,1]$$q\in [0,1]$に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を $q:1-q$$q:1-q$に分割する値である。

ある種の正の整数 $m$$m$に対し、分布を $m$$m$等分する $m-1$$m-1$個の値、つまり、$i=1,\dotsc ,m-1$$i=1,\dotsc ,m-1$ に対する $i/m$$i/m$分位数を、m 分位数︵ただし $m$$m$は漢数字︶という。$i=1,\dotsc ,m-1$$i=1,\dotsc ,m-1$ 番目の m分位数を第 im分位数といい、また、$m$$m$ 等分された分布の $k=1,\dotsc ,m$$k=1,\dotsc ,m$番目の部分を、第 km分位、または単に第 k分位という。

ただし、英語のquantileには、等分割する値︵value︶の意味と、そのようにして分割された群︵group︶の二つの意味がある。

定義

変量統計における分位数

$n$$n$ 個のデータ $x$$x$に対する q分位数 $Q_{q}$$Q_{q}$は、昇順にソートしたデータを $x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}$$x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}$とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x($t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x(t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}$
と定義される。ここで、$\lfloor \cdot \rfloor$$\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数、$\lceil \cdot \rceil$$\lceil \cdot \rceil$ は天井関数、$\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ は自然数の集合である。

関数 ${\displaystyle x($t),\ 1\leq t\leq n} $x(t),\ 1\leq t\leq n$は、数列 $x_{1,\dotsc ,n}$$x_{1,\dotsc ,n}$の線形内挿数関数への拡張である。関数 $x(\cdot )$$x(\cdot )$の引数 $1-q+qn$$1-q+qn$は、範囲 $[1,n]$$[1,n]$を $q:1-q$$q:1-q$に内分している。

確率分布の分位数

1次元確率分布 $f(x)$ に対する q 分位数 $Q_{q}$ は

$\int _{-\infty }^{Q_{q}}f(x)dx\geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }f(x)dx\geq 1-q$

を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 $F(x)$ または確率 $P(X)$ を使って、

$\int _{-\infty }^{Q_{q}}dF(x)\ \geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }dF(x)\ \geq 1-q$

または

$P(X\leq Q_{q})\geq q,\ P(X\geq Q_{q})\geq 1-q$

とも表せる。

特別な分位数

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

中央値

詳細は「中央値」を参照

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

四分位数

$q/4$$q/4$ 分位数を、第 q四分位数、第 q四分位点、第 q四分位値、第 qヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数︵第1四分位数︶を下側四分位数、3 / 4 分位数︵第3四分位数︶を上側四分位数ともいう。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 $Q_{3/4}-Q_{1/4}$$Q_{3/4}-Q_{1/4}$は、四分位範囲︵英: interquartile range, IQR︶といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

${\text{IQR}}/2$${\text{IQR}}/2$ を四分位偏差、${\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}$${\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}$ を正規四分位範囲︵英: normalized interquartile range, NIQR︶といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、${\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490$${\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ︵第2ヒンジは中央値︶と呼ぶ。ヒンジは、︵厳密に計算した︶四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる 。

三分位数・五分位数・十分位数

$q/3$$q/3$ 分位数を、第 q三分位数、第 q三分位点、第 q三分位値 (tertile) という。

$q/5$$q/5$ 分位数を、第 q五分位数、第 q五分位点、第 q五分位値 (quintile) という。

$q/10$$q/10$ 分位数を、第 q十分位数、第 q十分位点、第 q十分位値 (decile) という。

パーセンタイル

$q/100$$q/100$ 分位数を、q パーセンタイル、︵第︶q 百分位数、︵第︶q 百分位点、︵第︶q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

$1-q/100$$1-q/100$ 分位数を上側 qパーセント点という。これと対比するときには、$q/100$$q/100$ 分位数は下側 qパーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、$1/2+q/200$$1/2+q/200$ 分位数を両側 qパーセント点という。このとき、絶対値が両側 qパーセント点以内に、分布の q%が含まれている。

最大値・最小値

0分位数は最小値、1分位数は最大値である。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（英: range）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

五数要約

詳細は「箱ひげ図」を参照

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

日本産業規格

日本産業規格では、分位点を、﹁$p$$p$分位点とは，分布関数が $p$$p$に一致するか，又は$p$$p$より小さな値から $p$$p$より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率$p$$p$ を $100p$$100p$% で表すときは $100p$$100p$パーセント点 (100p percentile) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値$p$$p$となる場合は，その区間内の任意の値が$p$$p$分位点とされる。ただし，$0\leqq p\leqq 1$$0\leqq p\leqq 1$である。 2. $p=1/2$$p=1/2$に対応する確率変数の値をメディアン中央値 (median) という。3. $p=1/4$$p=1/4$および$p=3/4$$p=3/4$に対応する確率変数の値を四分位点 (quartile) という。﹂と定義している。

参考文献

• 西岡康夫『やさしく語る 確率統計』オーム社〈数学チュートリアル〉、2013年。ISBN 978-4-274-21407-3。https://books.google.co.jp/books?id=AUY2AgAAQBAJ。 

外部リンク

• Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている