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原 文 と 比 べ た 結 果 、 こ の 記 事 に は 多 数 の ︵ ま た は 内 容 の 大 部 分 に 影 響 あ る ︶ 誤 訳 が あ る こ と が 判 明 し て い ま す 。 情 報 の 利 用 に は 注 意 し て く だ さ い 。 正 確 な 表 現 に 改 訳 で き る 方 を 求 め て い ま す 。
アンリ・パデ
数 学 に お い て パ デ 近 似 ︵ パ デ き ん じ 、 英 : P a d é a p p r o x i m a n t ︶ と は 、 関 数 を 近 似 す る ﹁ 最 良 ﹂ の 有 理 関 数 の こ と 。 た と え ば
x
/
(
1
+
1
2
x
)
{\displaystyle x/(1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x)}
は l o g ( 1 + x ) の パ デ 近 似 の ひ と つ で あ る ‥
log
(
1
+
x
)
=
x
1
+
1
2
x
+
O
(
x
3
)
.
{\displaystyle \log(1+x)={\frac {x}{1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}}+O(x^{3}).}
パ デ 近 似 の テ イ ラ ー 級 数 は 関 数 の テ イ ラ ー 級 数 と 与 え ら れ た 次 数 ま で 一 致 す る 。 こ の 近 似 法 は 1 8 9 0 年 頃 に ア ン リ ・ パ デ ︵ 英 語 版 ︶ が 発 展 さ せ た が 、 冪 級 数 の 有 理 関 数 に よ る 近 似 と い う 考 え を 始 め 、 そ の 特 徴 を 研 究 し た の は ゲ オ ル ク ・ フ ロ ベ ニ ウ ス に ま で 遡 る 。
多 く の 場 合 、 パ デ 近 似 は 、 テ イ ラ ー 級 数 を 有 限 項 で 切 り 捨 て る よ り 良 い 近 似 を 与 え る が 、 テ イ ラ ー 級 数 が 収 束 し な い 場 合 で も 機 能 す る 。 こ れ ら の 理 由 か ら 、 パ デ 近 似 は コ ン ピ ュ ー タ ー 計 算 で 広 く 使 用 さ れ て い る 。 ま た 、 パ デ 近 似 は デ ィ オ フ ァ ン ト ス 近 似 お よ び 超 越 数 論 に お い て 補 助 関 数 ︵ 英 語 版 ︶ と し て 使 用 さ れ る が 、 よ り 正 確 な 評 価 の た め に は パ デ 近 似 を 応 用 し た ア ド ホ ッ ク な 手 法 を 使 う こ と が 一 般 的 で あ る 。
ま た 、 有 理 関 数 で あ る が た め に 近 似 と し て 人 工 的 な 特 異 点 が 発 生 す る お そ れ が あ る が 、 こ れ は ボ レ ル ・ パ デ 解 析 に よ っ て 回 避 す る こ と が で き る 。
パ デ 近 似 が マ ク ロ ー リ ン 展 開 よ り 良 い 近 似 に な り や す い 理 由 は 、 多 点 総 和 法 の 観 点 か ら 見 れ ば 明 ら か で あ る 。 そ れ は 無 限 遠 で の 漸 近 展 開 が 0 や 定 数 に な る 例 が 多 い た め 、 ﹁ 不 完 全 な 2 点 パ デ 近 似 ﹂ と し て 、 通 常 の パ デ 近 似 が マ ク ロ ー リ ン 展 開 を 改 良 し て い る も の と 解 釈 出 来 る か ら で あ る 。
滑 ら か な 関 数 f ( x ) と 非 負 整 数 m , n に 対 し て f ( x ) の [ m / n ] 次 パ デ 近 似 と は 有 理 関 数
R
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
1
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
⋯
+
b
n
x
n
{\displaystyle R(x )={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}}}
で あ っ て
f
(
k
)
(
0
)
=
R
(
k
)
(
0
)
(
0
≤
k
≤
m
+
n
)
{\displaystyle f^{(k )}(0)=R^{(k )}(0)\qquad (0\leq k\leq m+n)}
を 満 た す も の を い う 。 ︵ 特 に n = 0 の と き は 原 点 に お け る m 次 テ イ ラ ー 多 項 式 に 他 な ら な い 。 ︶
有 理 関 数 R ( x ) の 原 点 に お け る テ イ ラ ー 級 数 は 先 頭 の m + n + 1 項 が f ( x ) の そ れ と 相 殺 さ れ 、
f
(
x
)
=
R
(
x
)
+
O
(
x
m
+
n
+
1
)
{\displaystyle f(x )=R(x )+O(x^{m+n+1})}
と な る 。
パ デ 近 似 は 与 え ら れ た 非 負 整 数 m , n に 対 し て ︵ 存 在 す れ ば ︶ 一 意 的 に 決 ま る — — つ ま り 係 数
a
0
,
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}}
は 一 意 的 に 決 ま る 。 パ デ 近 似 R ( x ) に お け る 分 母 の 定 数 項 と し て 1 を 選 ぶ の は こ の 一 意 性 の た め で あ り 、 こ の 正 規 化 を し な い と き 分 母 と 分 子 の 一 意 性 は 定 数 倍 の 違 い を 除 い て し か 成 り 立 た な い 。
こ の よ う に 定 義 さ れ た パ デ 近 似 R ( x ) を
[
m
/
n
]
f
(
x
)
{\displaystyle [m/n]_{f}(x )}
と 表 し ︵ 関 数 f や 変 数 x は 省 略 さ れ る こ と も あ る ︶ 、 こ れ ら を 並 べ た 表 を パ デ 表 ︵ 英 語 版 ︶ と い う 。
指数関数 exp(x ) のパデ表 [m /n ](x )の一部
m \ n
0
1
2
3
0
1
1
{\displaystyle {\frac {1}{1}}}
1
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
1
1
−
x
+
1
2
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}}}}
1
1
−
x
+
1
2
x
2
−
1
6
x
3
{\displaystyle {\frac {1}{1-x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{3}}}}
1
1
+
x
1
{\displaystyle {\frac {1+x}{1}}}
1
+
1
2
x
1
−
1
2
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}}}
1
+
1
3
x
1
−
2
3
x
+
1
6
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{2}}}}
1
+
1
4
x
1
−
3
4
x
+
1
4
x
2
−
1
24
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}x^{3}}}}
2
1
+
x
+
1
2
x
2
1
{\displaystyle {\frac {1+x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}}{1}}}
1
+
2
3
x
+
1
6
x
2
1
−
1
3
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}x}}}
1
+
1
2
x
+
1
12
x
2
1
−
1
2
x
+
1
12
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}x^{2}}}}
1
+
2
5
x
+
1
20
x
2
1
−
3
5
x
+
3
20
x
2
−
1
60
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}x^{3}}}}
3
1
+
x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
1
{\displaystyle {\frac {1+x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{3}}{1}}}
1
+
3
4
x
+
1
4
x
2
+
1
24
x
3
1
−
1
4
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x}}}
1
+
3
5
x
+
3
20
x
2
+
1
60
x
3
1
−
2
5
x
+
1
20
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}x^{2}}}}
1
+
1
2
x
+
1
10
x
2
+
1
120
x
3
1
−
1
2
x
+
1
10
x
2
−
1
120
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}x^{3}}}}
た と え ば 指 数 関 数 e x p ( x ) の [ m / n ] 次 パ デ 近 似 は 一 般 化 さ れ た 超 幾 何 関 数 を 用 い て
[
m
/
n
]
(
x
)
=
1
F
1
(
−
m
−
m
−
n
;
x
)
/
1
F
1
(
−
n
−
m
−
n
;
−
x
)
{\displaystyle [m/n](x )={}_{1}F_{1}\left({\scriptstyle {\begin{matrix}-m\\-m-n\end{matrix}}};x\right){\big /}{}_{1}F_{1}\left({\scriptstyle {\begin{matrix}-n\\-m-n\end{matrix}}};-x\right)}
と 表 さ れ る 。
指 定 さ れ た x に 対 し て 、 パ デ 近 似 は W y n n の イ プ シ ロ ン ・ ア ル ゴ リ ズ ム [ 1 ] に よ っ て 計 算 で き る が 、 f の テ イ ラ ー 級 数 の 部 分 和
T
N
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
N
x
N
{\displaystyle T_{N}(x )=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}
か ら 数 列 の 変 形 に よ っ て 計 算 す る こ と も で き る [ 2 ] 。 こ こ で
c
k
=
f
(
k
)
(
0
)
k
!
.
{\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k )}(0)}{k!}}.}
f は 形 式 的 な べ き 級 数 と し て も よ く 、 そ の た め 、 パ デ 近 似 を 発 散 級 数 の 総 和 を と る と い う 目 的 で 使 用 す る こ と も で き る 。
パ デ 近 似 を 計 算 す る 1 つ の 方 法 は 、 多 項 式 最 大 公 約 数 の 拡 張 ユ ー ク リ ッ ド ア ル ゴ リ ズ ム を 使 用 す る こ と で あ る 。 [ 3 ] 関 係
R
(
x
)
=
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
=
T
m
+
n
(
x
)
mod
x
m
+
n
+
1
{\displaystyle R(x )=P(x )/Q(x )=T_{m+n}(x ){\text{ mod }}x^{m+n+1}}
は 、 次 の よ う な 因 子 K ( x ) の 存 在 と 同 値 で あ る ‥
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
T
m
+
n
(
x
)
+
K
(
x
)
x
m
+
n
+
1
.
{\displaystyle P(x )=Q(x )T_{m+n}(x )+K(x )x^{m+n+1}.}
こ れ は 、
T
m
+
n
(
x
)
{\displaystyle T_{m+n}(x )}
と
x
m
+
n
+
1
{\displaystyle x^{m+n+1}}
の 最 大 公 約 数 を 求 め る 計 算 に お け る 1 つ の ス テ ッ プ の ベ ズ ー 恒 等 式 と し て 解 釈 で き る 。
2 つ の 多 項 式 p と q の 最 大 公 約 数 を 計 算 す る に は 、 筆 算 に よ っ て 余 り の 列
r
0
=
p
,
r
1
=
q
,
r
k
−
1
=
q
k
r
k
+
r
k
+
1
,
deg
r
k
+
1
<
deg
r
k
(
k
=
1
,
2
,
3...
)
{\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},\;\deg r_{k+1}<\deg r_{k}\;(k=1,2,3...)}
を
r
k
+
1
=
0
{\displaystyle r_{k+1}=0}
と な る ま で 計 算 し た こ と を 思 い 出 す 。 拡 張 最 大 公 約 数 の ベ ズ ー 恒 等 式 で は 、 2 つ の 多 項 式 列
u
0
=
1
,
v
0
=
0
,
u
1
=
0
,
v
1
=
1
,
u
k
+
1
=
u
k
−
1
−
q
k
u
k
,
v
k
+
1
=
v
k
−
1
−
q
k
v
k
{\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}
を 同 時 に 計 算 す る 。 こ れ に よ っ て 、 各 ス テ ッ プ で ベ ズ ー 恒 等 式
r
k
(
x
)
=
u
k
(
x
)
p
(
x
)
+
v
k
(
x
)
q
(
x
)
.
{\displaystyle r_{k}(x )=u_{k}(x )p(x )+v_{k}(x )q(x ).}
を 得 る 。
[ m / n ] 近 似 の 場 合 、 次 の 拡 張 ユ ー ク リ ッ ド ア ル ゴ リ ズ ム を 実 行 す る 。
r
0
=
x
m
+
n
+
1
,
r
1
=
T
m
+
n
(
x
)
{\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x )}
そ し て
v
k
{\displaystyle v_{k}}
の 次 数 が n 以 下 で あ る 最 後 の 段 階 に そ れ を 停 止 す る 。
次 に 、 多 項 式
P
=
r
k
,
Q
=
v
k
{\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}
[ m / n ] パ デ 近 似 を 与 え る 。 拡 張 最 大 公 約 数 計 算 の す べ て の ス テ ッ プ を 計 算 す る と 、 パ デ 表 の 対 角 線 が 得 ら れ る 。
リ ー マ ン ・ パ デ ゼ ー タ 関 数 [ 編 集 ]
発 散 級 数 の 再 足 し 上 げ ( r e s u m m a t i o n ) 、 す な わ ち
∑
z
=
1
∞
f
(
z
)
{\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z )}
を 調 べ る に は 、 パ デ ま た は 単 に 有 理 ゼ ー タ 関 数 を 次 の よ う に 導 入 す る と 便 利 で あ る 。
ζ
R
(
s
)
=
∑
z
=
1
∞
R
(
z
)
z
s
,
{\displaystyle \zeta _{R}(s )=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z )}{z^{s}}},}
こ こ で 、
R
(
x
)
=
[
m
/
n
]
f
(
x
)
{\displaystyle R(x )=[m/n]_{f}(x )\,}
は 関 数 f ( x ) の 次 数 ( m , n ) の パ デ 近 似 で あ る 。 s = 0 で の ゼ ー タ 正 則 化 値 は 、 発 散 級 数 の 和 と 見 な さ れ る 。
こ の パ デ ゼ ー タ 関 数 の 関 数 方 程 式 は 次 の と お り で あ る 。
∑
j
=
0
n
a
j
ζ
R
(
s
−
j
)
=
∑
j
=
0
m
b
j
ζ
0
(
s
−
j
)
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}
こ こ で 、 a j と b j は パ デ 近 似 の 係 数 で あ る 。 下 付 き 文 字 ﹁ 0 ﹂ は 、 パ デ が 次 数 [ 0 / 0 ] で あ る こ と を 意 味 す る 。 し た が っ て 、 こ の 場 合 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 と な る 。
D L o g P a d é メ ソ ッ ド [ 編 集 ]
パ デ 近 似 を 使 用 す る と 、 関 数 の 臨 界 点 と 指 数 を 抽 出 で き る 。 熱 力 学 で は 、 関 数 f ( x ) が 点 x = r の 近 く で
f
(
x
)
∼
|
x
−
r
|
p
{\displaystyle f(x )\sim |x-r|^{p}}
の よ う に 非 解 析 的 に ふ る ま う と き 、 x = r を 臨 界 点 、 p を f の 関 連 す る 臨 界 指 数 と 呼 ぶ 。 f の 級 数 展 開 の 十 分 な 項 が 分 か っ て い る 場 合 、 パ デ 近 似
[
n
/
n
+
1
]
g
(
x
)
{\displaystyle [n/n+1]_{g}(x )}
の 極 と 残 差 か ら 臨 界 点 と 臨 界 指 数 を そ れ ぞ れ 見 積 も る こ と が で き る 。 こ こ で 、
g
=
f
′
f
{\displaystyle g={\frac {f'}{f}}}
で あ る 。
一 般 化 [ 編 集 ]
パ デ 近 似 は 、 1 つ の 変 数 で 関 数 を 近 似 す る 。 2 つ の 変 数 に よ る 近 似 は 、 チ ザ ム 近 似 ︵ J . S . R . チ ザ ム に ち な む ︶ [ 4 ] と 呼 ば れ 、 複 数 の 変 数 に よ る 近 似 は カ ン タ ベ リ ー 近 似 ︵ カ ン タ ベ リ ー に あ る ケ ン ト 大 学 に い た グ レ イ ブ ス ゠ モ リ ス に ち な む ︶ [ 5 ] と 呼 ば れ る 。
2 点 パ デ 近 似 [ 編 集 ]
従 来 の パ デ 近 似 は 、 マ ク ロ ー リ ン 展 開 を 与 え ら れ た 次 数 ま で 再 現 す る よ う に 決 定 さ れ て い る 。 そ の た め 、 展 開 点 か ら 離 れ た 箇 所 で の 値 で の 近 似 が 悪 く な る こ と が あ る 。 こ れ を 回 避 す る の が 多 点 総 和 法 の 1 種 で あ る 2 点 パ デ 近 似 で あ る [ 6 ] 。
x
=
0
{\displaystyle x=0}
で 、 関 数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x )}
が あ る 漸 近 関 数
f
0
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x )}
を 用 い て 、
f
∼
f
0
(
x
)
+
o
(
f
0
(
x
)
)
(
x
→
0
)
{\displaystyle f\sim f_{0}(x )+o(f_{0}(x ))(x\rightarrow 0)}
と 表 さ れ 、 更 に 、
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
で は 、 あ る 漸 近 関 数
f
∞
(
x
)
{\displaystyle f_{\infty }(x )}
を 用 い て 、
f
(
x
)
∼
f
∞
(
x
)
+
o
(
f
∞
(
x
)
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x )\sim f_{\infty }(x )+o(f_{\infty }(x ))(x\rightarrow \infty )}
と 表 さ れ る 場 合 を 考 え る 。 適 切 に
f
0
(
x
)
,
f
∞
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x ),f_{\infty }(x )}
の 主 要 な ふ る ま い を 選 び 出 す こ と で 、 パ デ 近 似 を 拡 張 し て 用 い る こ と に よ り 、 こ れ ら の 漸 近 的 振 舞 い を 同 時 に 再 現 す る 近 似 関 数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x )}
を 様 々 な 場 合 に 見 つ け る こ と が で き る 。 こ れ に よ り 、 通 常 の パ デ 近 似 で 近 似 の 精 度 が 最 も 悪 く な る 恐 れ の あ る
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
で 、 精 度 が 良 く な る こ と が 保 証 さ れ る 。 そ の た め 、 2 点 パ デ 近 似 は
x
=
0
∼
∞
{\displaystyle x=0\sim \infty }
で 大 域 的 に 良 い 近 似 を 与 え る 手 法 と な り う る 。
f
0
(
x
)
,
f
∞
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x ),f_{\infty }(x )}
が 多 項 式 や 負 べ き の 級 数 で 表 さ れ る 場 合 や 、 指 数 関 数 、 対 数 関 数 で 表 さ れ る 場 合 、
x
ln
x
{\displaystyle x\ln x}
と 表 さ れ る 場 合 な ど に 適 用 可 能 で あ る 。 こ れ を 用 い て 微 分 方 程 式 の 近 似 解 を 精 度 よ く 与 え る 方 法 が 存 在 す る [ 6 ] 。 ま た 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 の 非 自 明 な 零 点 に つ い て も 実 軸 上 の 漸 近 的 ふ る ま い か ら 、 最 初 の 非 自 明 な 零 点 を あ る 程 度 の 精 度 で 見 積 も る こ と が で き る [ 6 ] 。
多 点 パ デ 近 似 [ 編 集 ]
2 点 パ デ 近 似 を さ ら に 拡 張 し た も の が 多 点 パ デ 近 似 で あ る [ 6 ] 。 こ れ は 、
x
=
x
j
(
j
=
1
,
2
,
3
⋯
,
N
)
{\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3\cdots ,N)}
に お い て 、 近 似 し た い 関 数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x )}
が は 指 数
n
j
{\displaystyle n_{j}}
で 表 さ れ る 特 異 点
f
(
x
)
∼
A
j
(
x
−
x
j
)
n
j
(
x
→
x
j
)
{\displaystyle f(x )\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}}(x\rightarrow x_{j})}
を 持 つ 場 合 に 、 2 点 パ デ 近 似 の
x
=
0
,
x
→
∞
{\displaystyle x=0,x\rightarrow \infty }
に 加 え て 、 こ れ ら の 点
x
∼
x
j
{\displaystyle x\sim x_{j}}
で 発 散 す る と い う 性 質 を 再 現 す る よ う に 近 似 す る 方 法 で あ る 。 こ れ に よ り 、 関 数 の 特 異 性 の 情 報 を 取 り 込 む た め 、 さ ら に 良 い 精 度 で 関 数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x )}
の 近 似 が 可 能 と な る 。
ま た 、 区 間 を い く つ か の 有 限 ま た は 半 無 限 区 間 に 分 割 す る こ と で 、 そ の 区 間 を 変 数 変 換 に よ り 、 通 常 の 2 点 パ デ 近 似 が 適 用 可 能 な 形 式 に す る こ と が で き る 。 そ の よ う に し て 、 各 区 間 ご と に 得 ら れ た 2 点 パ デ 近 似 を 繋 ぎ 合 わ せ た も の を 多 点 パ デ 近 似 と 呼 ぶ こ と も あ る 。
sin(x) [7]
sin
(
x
)
≈
(
12671
/
4363920
)
x
5
−
(
2363
/
18183
)
x
3
+
x
1
+
(
445
/
12122
)
x
2
+
(
601
/
872784
)
x
4
+
(
121
/
16662240
)
x
6
{\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/18183)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2}+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}}
exp(x) [8]
exp
(
x
)
≈
1
+
(
1
/
2
)
x
+
(
1
/
9
)
x
2
+
(
1
/
72
)
x
3
+
(
1
/
1008
)
x
4
+
(
1
/
30240
)
x
5
1
−
(
1
/
2
)
x
+
(
1
/
9
)
x
2
−
(
1
/
72
)
x
3
+
(
1
/
1008
)
x
4
−
(
1
/
30240
)
x
5
{\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}
ヤコビの楕円関数 sn(z|3) [9]
s
n
(
z
|
3
)
≈
−
(
9851629
/
283609260
)
z
5
−
(
572744
/
4726821
)
z
3
+
z
1
+
(
859490
/
1575607
)
z
2
−
(
5922035
/
56721852
)
z
4
+
(
62531591
/
2977897230
)
z
6
{\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-(9851629/283609260)z^{5}-(572744/4726821)z^{3}+z}{1+(859490/1575607)z^{2}-(5922035/56721852)z^{4}+(62531591/2977897230)z^{6}}}}
ベッセル関数 J5 (x)
J
5
(
x
)
≈
−
(
107
/
28416000
)
x
7
+
(
1
/
3840
)
x
5
1
+
(
151
/
5550
)
x
2
+
(
1453
/
3729600
)
x
4
+
(
1339
/
358041600
)
x
6
+
(
2767
/
120301977600
)
x
8
{\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-(107/28416000)x^{7}+(1/3840)x^{5}}{1+(151/5550)x^{2}+(1453/3729600)x^{4}+(1339/358041600)x^{6}+(2767/120301977600)x^{8}}}}
erf(x)
erf
(
x
)
≈
(
2
/
15
)
⋅
(
49140
x
+
3570
x
3
+
739
x
5
)
π
⋅
(
165
x
4
+
1330
x
2
+
3276
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {(2/15)\cdot (49140x+3570x^{3}+739x^{5})}{{\sqrt {\pi }}\cdot (165x^{4}+1330x^{2}+3276)}}}
フレネル積分 C(x)
C
(
x
)
≈
(
1
/
135
)
⋅
(
990791
x
9
π
4
−
147189744
x
5
π
2
+
8714684160
x
)
(
1749
π
4
x
8
+
523536
π
2
x
4
+
64553216
)
{\displaystyle C(x)\approx {\frac {(1/135)\cdot (990791x^{9}\pi ^{4}-147189744x^{5}\pi ^{2}+8714684160x)}{(1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216)}}}
(一) ^ T h e o r e m 1 i n W y n n , P e t e r ( M a r 1 9 6 6 ) , “ O n t h e C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y o f t h e E p s i l o n A l g o r i t h m ” , S I A M J o u r n a l o n N u m e r i c a l A n a l y s i s 3 ( 1 ) : 9 1 – 1 2 2 , B i b c o d e : 1 9 6 6 S J N A . . . . 3 . . . 9 1 W , d o i : 1 0 . 1 1 3 7 / 0 7 0 3 0 0 7 , J S T O R 2 9 4 9 6 8 8 , https://jstor.org/stable/2949688
(二) ^ B r e z e n s k i , C . ( 1 9 9 6 ) , “ E x t r a p o l a t i o n a l g o r i t h m s a n d P a d é a p p r o x i m a t i o n s ” , A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s 20 ( 3 ) : 2 9 9 – 3 1 8 , d o i : 1 0 . 1 0 1 6 / 0 1 6 8 - 9 2 7 4 ( 95 ) 0 0 1 1 0 - 7
(三) ^ P r o b l e m 5 . 2 b a n d A l g o r i t h m 5 . 2 ( p . 4 6 ) i n B i n i , D a r i o ; P a n , V i c t o r ( 1 9 9 4 ) , P o l y n o m i a l a n d M a t r i x c o m p u t a t i o n s - V o l u m e 1 . F u n d a m e n t a l A l g o r i t h m s , P r o g r e s s i n T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , B i r k h ä u s e r , I S B N 9 7 8 - 0 - 8 1 7 6 - 3 7 8 6 - 6
(四) ^ C h i s h o l m , J . S . R . ( 1 9 7 3 ) . “ R a t i o n a l a p p r o x i m a n t s d e f i n e d f r o m d o u b l e p o w e r s e r i e s ” . M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n 27 ( 1 2 4 ) : 8 4 1 – 8 4 8 . d o i : 1 0 . 1 0 9 0 / S 0 0 2 5 - 5 7 1 8 - 1 9 7 3 - 0 3 8 2 9 2 8 - 6 . I S S N 0 0 2 5 - 5 7 1 8 .
(五) ^ G r a v e s - M o r r i s , P . R . ; R o b e r t s , D . E . ( 1 9 7 5 ) . “ C a l c u l a t i o n o f C a n t e r b u r y a p p r o x i m a n t s ” . C o m p u t e r P h y s i c s C o m m u n i c a t i o n s 10 ( 4 ) : 2 3 4 – 2 4 4 . B i b c o d e : 1 9 7 5 C o P h C . . 1 0 . . 2 3 4 G . d o i : 1 0 . 1 0 1 6 / 0 0 1 0 - 4 6 5 5 ( 75 ) 9 0 0 6 8 - 5 .
(六) ^ a b c d 上 岡 , 良 季 . 多 点 総 和 法 入 門 高 校 生 で も わ か る ! ! コ コ と 無 限 の か な た を つ な ぐ 現 代 応 用 数 学 : テ イ ラ ー 展 開 か ら 微 分 方 程 式 の 応 用 ま で . https://www.amazon.co.jp/dp/B08DV9TZVD/
(七) ^ “ s i n ( x ) の パ デ 近 似 ” . W o l f r a m A l p h a . 2 0 2 2 年 1 月 16 日 閲 覧 。
(八) ^ “ e x p ( x ) の パ デ 近 似 ” . W o l f r a m A l p h a . 2 0 2 2 年 1 月 16 日 閲 覧 。
(九) ^ “ s n ( x | 3 ) の パ デ 近 似 ” . W o l f r a m A l p h a . 2 0 2 2 年 1 月 16 日 閲 覧 。
参考文献 [ 編集 ]
Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge U.P., 1996
Baker, G. A., Jr. Padé approximant, Scholarpedia , 7(6):9756. doi :10.4249/scholarpedia.9756
Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice . North-Holland, 1991
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), “Section 5.12 Padé Approximants” , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 , http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=245
Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles , Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
Wynn, P. (1966), “Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table”, Numerische Mathematik 8 (3): 264–269, doi :10.1007/BF02162562
関連項目 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]