曲率

曲率︵きょくりつ、英: curvature︶とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。

例えば、半径 rの円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。

曲線の曲率

定義

ある任意の曲線において、線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上の任意点 P︵位置ベクトル r_Pで表されるとする︶までの距離を sとする。︵この場合のsは一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。︶

このとき点 Pの位置は、

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} ($s)} $\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} (s)$
のように、変数 sの関数として表すことができる。︵以下、特に断らない限り r_P= rとする。︶

このとき、点 Pで接する方向の単位ベクトル︵これを t_Pとする︶は、

${\displaystyle \mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} ($s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}} $\mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} (s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}$
となる。︵位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。︶

同様に、$\mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} (s+\Delta s)$$\mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} (s+\Delta s)$ と表される点 Qを考えるとき、点 Q上の単位接線ベクトル t_Qは、

$\mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)$$\mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)$
であり、二つの単位接線ベクトル t_P、t_Q のなす角度を Δθ とすると、

${\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}$${\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}$
である。

Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、

$\Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|$$\Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|$
と見做せる。

従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。

${\displaystyle \chi ($s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}} $\chi (s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}$
一般に χ を曲率、χ の逆数 Rを曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 Pにおける接触平面と言う。

性質

更に、t を sで微分すると、

${d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}$${d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}$
が得られる。ここで nが主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは dr/ds が単位ベクトルのため、

$\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1$$\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1$
となり、これを sについて微分すると、

${d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0$${d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0$
となるためである︵ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している︶。

ベクトル tと nの外積、

$\mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b}$$\mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b}$
で得られるベクトル bが陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

出典

(一)^ "曲率". 百科事典マイペディア. コトバンクより2022年2月10日閲覧。

(二)^  小林昭七﹃曲線と曲面の微分幾何﹄裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193。 

関連項目

●ガウス・ボネの定理

●オイラーの定理 (微分幾何学)

●ムーニエの定理

●フレネ・セレの公式

●捩率

●物理学 - 力学

●主曲率 - ガウス曲率

●断面曲率

●リーマン曲率テンソル - リッチ曲率 - スカラー曲率

●曲率形式

参考文献

●小林昭七﹃曲線と曲面の微分幾何﹄︵改訂版︶裳華房、1995年。ISBN 978-4-7853-1091-2。http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm。